Gruppo di Klein

[Cantor99]

Salve, ho una serie di dubbi sulla definizione di gruppo di Klein

Il mio libro la definisce così: dati due gruppi $<>,<>$ di ordine 2, si dice gruppo quadrinomio o di Klein il prodotto diretto $V_4=<> \times<>$.

Fin qui, tutto ok.
Poi asserisce che risulta $V_4={1,a,b,ab}$ e che non può essere cicliclo.

Il mio dubbio è allora: quando scrive $ab$ che intende?
Mettiamo che $a=[1]_2$ e che $b : x\in A->x^-1 \inA $, dove $A$ è un gruppo abeliano non identico. $ <> $ e $ <> $ hanno ordine 2: ma cosa dovrebbe essere $ab$ in questo caso? Cioè sto moltiplicando cose di natura diversa...

Per quanto riguarda la non ciclicità: $V_4$ non è cilcico perché non ha elementi di periodo $4$?

Spero di essere stato chiaro

[Settevoltesette]

se A e B sono gruppi di ordine 2 allora A ={1, a} B= { e, b}

il prodotto sarà {(1,e) , (1, b) , (a, e) , (a, b)}

(1,e) è l'identità dunque (1,e)^2 = (1,e)
(1, b)^2 = (1,e)
(a, e)^2 = (1, e)
(a,b)^2 = (1 ,e)


nessun elemento genera il gruppo.


chiama (1,e) 1 , (1,b) b , (a, e) a e (a,b) ab e ottieni la "forma" del tuo gruppo

[Cantor99]

Perfetto ora ha tutto senso! Grazie mille

Anche con i prodotto semidiretti si ragiona così? Ad esempio, a proposito dei gruppi diedrali?