Gruppo Ciclico o meno
Chi mi sa spiegare se
Si decida se il gruppo $U(ZZ_35)$ è ciclico o meno.
Si decida se il gruppo $U(ZZ_35)$ è ciclico o meno.
Risposte
Allora sappiamo che
[tex]U(\mathbb{Z}_{35}) = U(\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_5) \cong U(\mathbb{Z}_7) \times U(\mathbb{Z}_5) \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4[/tex] non è ciclico perché ha almeno due sottogruppi di ordine 2 e sono:
$ZZ_6 $= 5 è un sottogruppo di ordine 2
$ZZ_4 $= 3 è un sottogruppo di ordine 2
Il gruppo ciclico di ordine 24 ha solo un sottogruppo di ordine 2.
\( \mathbb{Z}_{35} = \{0,1,2,...,34\} \) allora
\[ G = U(\mathbb{Z}_{35}) = \{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}. \]
e questo sottogruppo è 6 ... quindi affermo che non è ciclico... falso perchè è ciclico.....
Facendo però questo stesso tuo ragionamento su $ZZ_22$ mi esce che non è ciclico invece è falso, infatti:
[tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_2) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_1[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 2 sottogruppi di ordine 4 e sono 3 e 7
$ZZ_1$ ha un sottogruppo di ordine 1 ed è se stesso
$ZZ_22$ ={1,3,5,7,9,13,15,17,19,21}
non c'è nessun sottogruppo di ordine 4 quindi non è ciclico...
Perchè ?? ho sbagliato qualcosa io?
[tex]U(\mathbb{Z}_{35}) = U(\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_5) \cong U(\mathbb{Z}_7) \times U(\mathbb{Z}_5) \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4[/tex] non è ciclico perché ha almeno due sottogruppi di ordine 2 e sono:
$ZZ_6 $= 5 è un sottogruppo di ordine 2
$ZZ_4 $= 3 è un sottogruppo di ordine 2
Il gruppo ciclico di ordine 24 ha solo un sottogruppo di ordine 2.
\( \mathbb{Z}_{35} = \{0,1,2,...,34\} \) allora
\[ G = U(\mathbb{Z}_{35}) = \{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}. \]
e questo sottogruppo è 6 ... quindi affermo che non è ciclico... falso perchè è ciclico.....
Facendo però questo stesso tuo ragionamento su $ZZ_22$ mi esce che non è ciclico invece è falso, infatti:
[tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_2) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_1[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 2 sottogruppi di ordine 4 e sono 3 e 7
$ZZ_1$ ha un sottogruppo di ordine 1 ed è se stesso
$ZZ_22$ ={1,3,5,7,9,13,15,17,19,21}
non c'è nessun sottogruppo di ordine 4 quindi non è ciclico...
Perchè ?? ho sbagliato qualcosa io?
[tex]\mathbb{Z}_{10}[/tex] non ha sottogruppi di ordine 4, ricorda che in [tex]\mathbb{Z}_{10}[/tex] l'operazione è la +.
Mentre in [tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = \{1,3,5,7,9,13,15,17,19,21\}[/tex] (occhio, l'hai chiamato erroneamente [tex]\mathbb{Z}_{22}[/tex]) l'operazione è la *.
PS. Mi sembra che continui a confondere [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] con [tex]U(\mathbb{Z}_n)[/tex]. Sono due cose diverse.
Mentre in [tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = \{1,3,5,7,9,13,15,17,19,21\}[/tex] (occhio, l'hai chiamato erroneamente [tex]\mathbb{Z}_{22}[/tex]) l'operazione è la *.
PS. Mi sembra che continui a confondere [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] con [tex]U(\mathbb{Z}_n)[/tex]. Sono due cose diverse.
mmm... mi sono rifatto alla tabella che sta alla fine in questo link http://www.dacrema.com/scienza/matemaic ... iclici.htm ...
Sulle dispense del mio prof non parla di $U(ZZ_n)$
da quello che ho capito io invece $U(ZZ_n)$ è un operazione che svolgo su $ZZ_n$ ... almeno credo
come faccio a capire quale operazione è applicata su un gruppo (+ o *)?
Sulle dispense del mio prof non parla di $U(ZZ_n)$
da quello che ho capito io invece $U(ZZ_n)$ è un operazione che svolgo su $ZZ_n$ ... almeno credo
come faccio a capire quale operazione è applicata su un gruppo (+ o *)?
"banino84":Quella tabella parla di [tex]\mathbb{Z}_{10}^{\ast} = U(\mathbb{Z}_{10})[/tex], non di [tex]\mathbb{Z}_{10}[/tex]. Di nuovo ti consiglio di pensare bene alla differenza sostanziale tra [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] e [tex]U(\mathbb{Z}_n)[/tex]:
mmm... mi sono rifatto alla tabella che sta alla fine in questo link http://www.dacrema.com/scienza/matemaic ... iclici.htm ... ma infatti poi sviluppando $ZZ_10$ non ci sono sottogruppi di ordine 4
[tex]\mathbb{Z}_n[/tex] è un gruppo additivo di ordine [tex]n[/tex] (cioè con [tex]n[/tex] elementi) ed è ciclico sempre.
[tex]U(\mathbb{Z}_n)[/tex] è un gruppo moltiplicativo di ordine [tex]\varphi(n)[/tex] (dove [tex]\varphi[/tex] è la funzione di Eulero), è l'insieme delle classi modulo [tex]n[/tex] del tipo [tex]m + n \mathbb{Z}[/tex] con [tex]m[/tex] coprimo con [tex]n[/tex]. Non è sempre ciclico.
come faccio a capire quale operazione è applicata su un gruppo (+ o *)?Un gruppo viene descritto fornendo il suo supporto (l'insieme degli elementi) e l'operazione. Se l'operazione non viene specificata significa che era stata specificata prima oppure che è chiara dal contesto.
( scusa se vado a tentativi ma non avendo molto materiale ,posso capire solo a tentativi 
)
[tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_2) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_1[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 1 sottogruppi di ordine 1
$ZZ_1$ ha un sottogruppo di ordine 1 ed è se stesso
Giusto??
come posso dire che
$U(ZZ_22)$ ={1,3,5,7,9,13,15,17,19,21}
è ciclico??
)[tex]U(\mathbb{Z}_{22}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_2) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_1[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 1 sottogruppi di ordine 1
$ZZ_1$ ha un sottogruppo di ordine 1 ed è se stesso
Giusto??
come posso dire che
$U(ZZ_22)$ ={1,3,5,7,9,13,15,17,19,21}
è ciclico??
[tex]U(\mathbb{Z}_{22}) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_1 \cong \mathbb{Z}_{10}[/tex] è ciclico.
Un altro modo è trovare un generatore di [tex]U(\mathbb{Z}_{22})[/tex], se provi a mano trovi che 7 è un generatore.
Un altro modo è trovare un generatore di [tex]U(\mathbb{Z}_{22})[/tex], se provi a mano trovi che 7 è un generatore.
vediamo se ho capito ....
[tex]U(\mathbb{Z}_{77}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_7) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_7) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_6[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 1 sottogruppo di ordine 2 ed è {0,5}
$ZZ_6$ ha 1 sottogruppo di ordine 2 ed è {0,3}
$U(ZZ_77)$ =ha ordine 60
facendo i vari calcoli dei sottogruppi su $U(ZZ_77)$ , se non ho sbagliato, ha 3 sottogruppi di ordine 2 e quindi non è ciclico.
che ne pensi?
[tex]U(\mathbb{Z}_{77}) = U(\mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_7) \cong U(\mathbb{Z}_{11}) \times U(\mathbb{Z}_7) \cong \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_6[/tex]
sappiamo che
$ZZ_10$ ha 1 sottogruppo di ordine 2 ed è {0,5}
$ZZ_6$ ha 1 sottogruppo di ordine 2 ed è {0,3}
$U(ZZ_77)$ =ha ordine 60
facendo i vari calcoli dei sottogruppi su $U(ZZ_77)$ , se non ho sbagliato, ha 3 sottogruppi di ordine 2 e quindi non è ciclico.
che ne pensi?
Giusto.
"Martino":
Giusto.
Grazie mille ... avevi ragione tu ero confuso tra $Z_n e U(Z_n)$ ... ho risolto il problema e ho capito... grazie mille per la pazienza e per l'aiuto
Prego
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