Gruppo Ciclico o meno
Chi mi sa spiegare se
Si decida se il gruppo $U(ZZ_35)$ è ciclico o meno.
Si decida se il gruppo $U(ZZ_35)$ è ciclico o meno.
Risposte
Mi sono dato una risposta da solo
Sappiamo che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p e q ha ordine pq ed è ciclico se è solo se p e q sono coprimi.
Ragionando posso dire che $ZZ_35= ZZ_5$ X $ZZ_7$
posso dimostrare che $ZZ_5 $ è ciclico perchè ha ordine 2 è per definizione se che un gruppo $ZZ_n$ è ciclico se $MCD(n,k)=1$
con k è il suo ordine. Stessa cosa vale per $ZZ_7$ il $MCD(7,3)=1$
Quindi siccome entrambi gli ordini sono coprimi tra loro e i gruppi sono ciclici $ZZ_35$ è ciclico
GIUSTO??
Sappiamo che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p e q ha ordine pq ed è ciclico se è solo se p e q sono coprimi.
Ragionando posso dire che $ZZ_35= ZZ_5$ X $ZZ_7$
posso dimostrare che $ZZ_5 $ è ciclico perchè ha ordine 2 è per definizione se che un gruppo $ZZ_n$ è ciclico se $MCD(n,k)=1$
con k è il suo ordine. Stessa cosa vale per $ZZ_7$ il $MCD(7,3)=1$
Quindi siccome entrambi gli ordini sono coprimi tra loro e i gruppi sono ciclici $ZZ_35$ è ciclico
GIUSTO??
Ma il gruppo che hai tra le mani non è il gruppo additivo [tex]\mathbb{Z}_{35}[/tex] ma il gruppo moltiplicativo [tex]U(\mathbb{Z}_{35})[/tex], cioè il gruppo degli elementi invertibili dell'anello [tex]\mathbb{Z}_{35}[/tex].
"Martino":
Ma il gruppo che hai tra le mani non è il gruppo additivo [tex]\mathbb{Z}_{35}[/tex] ma il gruppo moltiplicativo [tex]U(\mathbb{Z}_{35})[/tex], cioè il gruppo degli elementi invertibili dell'anello [tex]\mathbb{Z}_{35}[/tex].
Ah quindi la mia soluzione è errata?
io ho usato il gruppo moltiplicativo $g^n , n in ZZ $
Se scrivi [tex]\mathbb{Z}_{35} = \{0,1,2,...,34\}[/tex] allora
\[
G = U(\mathbb{Z}_{35}) = \{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}.
\]
Questo è un gruppo moltiplicativo con 24 elementi. Per esempio le potenze di 2 in [tex]G[/tex] sono 2, 4, 8, 16, 32, 29, 23, 11, 22, 9, 18, 1. Quindi 2 ha ordine 12 in [tex]G[/tex]. Per mostrare che [tex]G[/tex] è ciclico devi trovare un elemento di [tex]G[/tex] le cui potenze esauriscono tutto [tex]G[/tex]. Cioè un elemento di [tex]G[/tex] di ordine 24.
\[
G = U(\mathbb{Z}_{35}) = \{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}.
\]
Questo è un gruppo moltiplicativo con 24 elementi. Per esempio le potenze di 2 in [tex]G[/tex] sono 2, 4, 8, 16, 32, 29, 23, 11, 22, 9, 18, 1. Quindi 2 ha ordine 12 in [tex]G[/tex]. Per mostrare che [tex]G[/tex] è ciclico devi trovare un elemento di [tex]G[/tex] le cui potenze esauriscono tutto [tex]G[/tex]. Cioè un elemento di [tex]G[/tex] di ordine 24.
usando la funzione φ(n) di Eulero posso ricavarmi l'ordine, e poi mi scrivo tutti i generatori di $ZZ_35$.
ma c'è un modo veloce per trovarmi un elemento di $G$ di ordine 24?
ma c'è un modo veloce per trovarmi un elemento di $G$ di ordine 24?
Ricorda che è un generatore di [tex]G[/tex] che devi trovare. Prova un po' a trovarne uno e poi vediamo se il ragionamento si può semplificare.
sinceramente mi sto esaurendo 
solo facendo con 3 arrivo a potenze enormi, e cmq 3 non è un elemento di G di ordine 24
solo facendo con 3 arrivo a potenze enormi, e cmq 3 non è un elemento di G di ordine 24
Siccome 2 ha ordine 12 ti basta trovare un elemento il cui quadrato è uguale a 2.
"Martino":
Siccome 2 ha ordine 12 ti basta trovare un elemento il cui quadrato è uguale a 2.
quindi 4, giusto?
Anche a me interessa la richiesta di banino84. Martino posso chiederti una cortesia? Mi puoi spiegare perché la soluzione di banino84 non è corretta? Ho provato a ragionarci su e non ho capito xchè non dovrebbe essere corretta
Scusami Martino, ti faccio una risposta secca, perchè a questo punto non sto capendo più nulla 
$ZZ_35$ e ciclico o no? mi spieghi velocemente il perchè con un esempio?
$ZZ_35$ e ciclico o no? mi spieghi velocemente il perchè con un esempio?
Ciao banino, credo che tu stia facendo un bel po' di confusione.
Ti ricordo un po' di questioni :
1) un gruppo $G$ si dice ciclico se esiste $g \in G$ tale per cui $G={ g^k | k \in \mathbb{Z} } $. $g$ prende il nome di generatore e si usa, generalmente, la notazione $G=$. Se l'ordine di $g$ è finito allora sarà finito anche l'ordine di $G$ e in particolare coinciderà con l'ordine di $g$. Se l'ordine di $g$ è infinito, lo sarà anche quello di $G$.
2) In generale se $G$ è un gruppo, $g \in G$ si ha che l'ordine di $g$ divide l'ordine del gruppo.
3) Ogni altro generatore di $G$ ha come ordine quello del gruppo.
Ora considera il tuo gruppo $U:=U(ZZ_35)$, se fosse ciciclo allora devi riuscire a trovare un elemento di $U$ di periodo 24, riesci a trovarlo?
PS : La tua risoluzione precedente non va bene perché $ZZ_35$ e $U$ sono due oggetti diversi.
Ti ricordo un po' di questioni :
1) un gruppo $G$ si dice ciclico se esiste $g \in G$ tale per cui $G={ g^k | k \in \mathbb{Z} } $. $g$ prende il nome di generatore e si usa, generalmente, la notazione $G=
2) In generale se $G$ è un gruppo, $g \in G$ si ha che l'ordine di $g$ divide l'ordine del gruppo.
3) Ogni altro generatore di $G$ ha come ordine quello del gruppo.
Ora considera il tuo gruppo $U:=U(ZZ_35)$, se fosse ciciclo allora devi riuscire a trovare un elemento di $U$ di periodo 24, riesci a trovarlo?
PS : La tua risoluzione precedente non va bene perché $ZZ_35$ e $U$ sono due oggetti diversi.
"Kashaman":
Ciao banino, credo che tu stia facendo un bel po' di confusione.
Ti ricordo un po' di questioni :
1) un gruppo $G$ si dice ciclico se esiste $g \in G$ tale per cui $G={ g^k | k \in \mathbb{Z} } $. $g$ prende il nome di generatore e si usa, generalmente, la notazione $G=$. Se l'ordine di $g$ è finito allora sarà finito anche l'ordine di $G$ e in particolare coinciderà con l'ordine di $g$. Se l'ordine di $g$ è infinito, lo sarà anche quello di $G$.
2) In generale se $G$ è un gruppo, $g \in G$ si ha che l'ordine di $g$ divide l'ordine del gruppo.
3) Ogni altro generatore di $G$ ha come ordine quello del gruppo.
Ora considera il tuo gruppo $U:=U(ZZ_35)$, se fosse ciciclo allora devi riuscire a trovare un elemento di $U$ di periodo 24, riesci a trovarlo?
PS : La tua risoluzione precedente non va bene perché $ZZ_35$ e $U$ sono due oggetti diversi.
Ciao... la spiegazione di martino l'ho capita
"Martino":
Se scrivi \( \mathbb{Z}_{35} = \{0,1,2,...,34\} \) allora
\[ G = U(\mathbb{Z}_{35}) = \{1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34\}. \]
Questo è un gruppo moltiplicativo con 24 elementi. Per esempio le potenze di 2 in \( G \) sono 2, 4, 8, 16, 32, 29, 23, 11, 22, 9, 18, 1. Quindi 2 ha ordine 12 in \( G \). Per mostrare che \( G \) è ciclico devi trovare un elemento di \( G \) le cui potenze esauriscono tutto \( G \). Cioè un elemento di \( G \) di ordine 24.
solo che usando il metodo di martino per calcolarmi già le potenze di 3 è stato un lavoraccio per via dei calcoli grossi.... quello che chiedo io , esiste un metodo che mi faccia subito travare se un gruppo è ciclico o meno? ( senza calcolarmi le potenze di ogni elemento per vedere quelle che hanno il periodo che coincide con G)
"banino84":
[quote="Martino"]Siccome 2 ha ordine 12 ti basta trovare un elemento il cui quadrato è uguale a 2.
quindi 4, giusto?[/quote]No perché [tex]4^2 = 16 \neq 2[/tex].
Mi sono confuso, ti ho suggerito di cercare elementi il cui quadrato è 2 ma non ce ne sono.
C'è un teorema generale che dice che se [tex]n,m[/tex] sono coprimi allora [tex]U(\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m) \cong U(\mathbb{Z}_n) \times U(\mathbb{Z}_m)[/tex]. Prova a usarlo.
esiste un metodo che mi faccia subito travare se un gruppo è ciclico o meno?Purtroppo no.
"Martino":
C'è un teorema generale che dice che se \( n,m \) sono coprimi allora \( U(\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m) \cong U(\mathbb{Z}_n) \times U(\mathbb{Z}_m) \). Prova a usarlo.
Mi sono sviluppato tutti i generatori di $U(ZZ_35)$ e non mi sono trovato nessuno di questi che sia di ordine 24, e quindi questo non è un gruppo ciclico. L'unico problema per svilupparmi le potenze ci ho messo un'eternità. sto cercando di capire dalla teoria se c'è un modo veloce per dimostare se un gruppo è ciclico o meno. Qualcuno mi sa dare una mano ??
grazie
nessuno ha suggerimenti o risposte da darmi ?
"banino84":Non c'è purtroppo.
sto cercando di capire dalla teoria se c'è un modo veloce per dimostare se un gruppo è ciclico o meno.
Nel tuo caso puoi applicare l'isomorfismo [tex]U(\mathbb{Z}_{nm}) \cong U(\mathbb{Z}_n) \times U(\mathbb{Z}_m)[/tex] se [tex]n,m[/tex] sono coprimi.
Sono coprimi infatti ... ma nn so come applicarlo ... una mano ?
Grazie
Grazie
[tex]U(\mathbb{Z}_{35}) = U(\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_5) \cong U(\mathbb{Z}_7) \times U(\mathbb{Z}_5) \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4[/tex] non è ciclico perché ha almeno due sottogruppi di ordine 2 (contenuti nei due singoli fattori), mentre il gruppo ciclico di ordine 24 ha solo un sottogruppo di ordine 2.
Ho usato che [tex]U(\mathbb{Z}_p) \cong \mathbb{Z}_{p-1}[/tex] se [tex]p[/tex] è primo.
Ho usato che [tex]U(\mathbb{Z}_p) \cong \mathbb{Z}_{p-1}[/tex] se [tex]p[/tex] è primo.
Allora ci ragiono un po ...se ho ancora problemi scrivo qui
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo