Gruppo, anello e campo

[Slashino1]

Mi servirebbero le definizioni corrette seguite dalla relative proprietà per le strutture algebriche elencate nel titolo. Ho cercato molto in rete ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio, spero possiate aiutarmi

[garnak.olegovitc1]

Salve Slashino,

"Slashino":L'ultima risposta di garnak mi ha confuso le idee
Allora, per quanto riguarda il gruppo ci siamo.
Per quanto riguarda l'anello: vi sono definite due operazioni. La moltlipicazione rispetta le proprietà distributiva ( rispetto alla somma ) e associativa, in più esiste anche l'elemento neutro per la moltiplicazione giusto? La somma rispetta la proprietà associativa e ammette l'elemento neutro.

Il campo: è un anello commutativo e " non ammette l'elemento neutro additivo ". Si intende dire che non esiste l'elemento neutro per la somma?

Scusate ma preferisco chiarire questi dubbi una volta per tutte!

un anello con elemento neutro "moltiplicativo" dicesi "anello unitario".

Prova guardare qui: http://users.unimi.it/barbieri/NoteA1-III.pdf

Cordiali saluti

[garnak.olegovitc1]

Salve GundamRX91,

"GundamRX91":No aspetta. Un campo è una struttura algebrica, che denoti come un'anello: $(A,+,*)$, in cui valgono
tutte le rispettive proprietà dei corrispondenti gruppi: $(A,+)$ e $(A,*)$, quindi l'elemento neutro
additivo esiste, ma è specifico del gruppo additivo $(A,+)$, idem per l'elemento neutro moltiplicativo
che è specifico del gruppo moltiplicativo $(A,*)$. Questo perchè altrimenti non potresti fare sempre
le operazioni di somma e prodotto con l'insieme di supporto del campo, ok?

in realtà io sapevo che in un campo $((A-{0}),*)$ è un gruppo, e non $(A,*)$ , se no, come scrivi tu, si può determinare l'inverso di $0$ e sarebbe fantastico.
Cordiali saluti

[Slashino1]

Ok, gli do uno sguardo!

[gundamrx91-votailprof]

Garnak, scusami ma relativamente alla teoria dei gruppi conosco giusto le basi, per cui potrei aver scritto una fesseria, seppure magari solo di notazione (almeno spero sia così )

[garnak.olegovitc1]

Salve,
ho già definito precedentemente cos'è il gruppo, adesso definisco l'anello:

$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $+$ ed $*$ due operazioni, non per forza addizione e moltiplicazione, binarie definite ovunque su $G$. Si dice che $+$ ed $*$ dotano $G$ della struttura di anello se:

1) $+$ dota $G$ della struttura di gruppo abeliano
2) $AAa,b,c in G:(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c$
3) $AAa,b,c in G:a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$
4) $AAa,b,c in G:(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$


$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $+$ ed $*$ due operazioni binarie definite ovunque su $G$. Si dice che $+$ ed $*$ dotano $G$ della struttura di anello commutativo se:

1) $+$ ed $*$ dotano $G$ della struttura di anello
2) $AAa,b in G:(a*b)=(b*a)$


$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $+$ ed $*$ due operazioni binarie definite ovunque su $G$. Si dice che $+$ ed $*$ dotano $G$ della struttura di anello unitario se:

1) $+$ ed $*$ dotano $G$ della struttura di anello
2)$AAa in G, EE e in G: (e*a)=(a*e)=a$ (ovviamente se $*$ è l'usuale operazione di moltiplicazione allore $e=1$)

E' possibile combinare le def., avendo anche anelli commutativi unitari...

Cordiali saluti

[Slashino1]

10+! Grazie mille!