Gruppo, anello e campo
Mi servirebbero le definizioni corrette seguite dalla relative proprietà per le strutture algebriche elencate nel titolo. Ho cercato molto in rete ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio, spero possiate aiutarmi 
Risposte
Salve Slashino,
hai provato a guardare topic-t53831.html . Non è possibile elencare tutti i teoremi o le proprietà delle strutture algebriche, se proprio occorre allora bisogna rifarsi a dei libri che trattino, rispettivamente, teoria dei gruppi, teoria degli anelli e teoria dei campi, tutti aggiornati continuamente.
Cordiali saluti
P.S.=Prova anche a cercare su wikipedia
hai provato a guardare topic-t53831.html . Non è possibile elencare tutti i teoremi o le proprietà delle strutture algebriche, se proprio occorre allora bisogna rifarsi a dei libri che trattino, rispettivamente, teoria dei gruppi, teoria degli anelli e teoria dei campi, tutti aggiornati continuamente.
Cordiali saluti
P.S.=Prova anche a cercare su wikipedia
A me servono solo le basi! Per esempio, per quanto riguarda un gruppo:
esso è definito come un insieme non vuoto sul quale è definita una sola operazione binaria ( ovvero che associa ad una coppia ab un elemento che appartiene allo stesso all'insieme preso in considerazione ). Tale operazione può essere o la moltlipicazione o la somma oppure solo una delle due?
Successivamente trovo scritto:
Tale operazione deve soddisfare queste condizioni:
- (ab)c=a(bc)
-deve esistere un elemento neutro tale che aE=Ea=a
deve esistere un elemento B (l'inverso) tale che aB=Ba=E ( elemento neutro )
Da ciò devo dedurre che l'operazione unica presente in un gruppo è la moltiplicazione?
esso è definito come un insieme non vuoto sul quale è definita una sola operazione binaria ( ovvero che associa ad una coppia ab un elemento che appartiene allo stesso all'insieme preso in considerazione ). Tale operazione può essere o la moltlipicazione o la somma oppure solo una delle due?
Successivamente trovo scritto:
Tale operazione deve soddisfare queste condizioni:
- (ab)c=a(bc)
-deve esistere un elemento neutro tale che aE=Ea=a
deve esistere un elemento B (l'inverso) tale che aB=Ba=E ( elemento neutro )
Da ciò devo dedurre che l'operazione unica presente in un gruppo è la moltiplicazione?
Salve Slashino,
se ho capito bene, tu vuoi definire un gruppo con l'operazione di addizione , ed un gruppo con l'operazione di moltiplicazione? Per informazione, esistono non solo questi due gruppi, esistono gruppi con altre operazione. (vedasi gli esercizi di questa pagina web http://books.google.it/books?id=beymx5G ... &q&f=false)
Cordiali saluti
"Slashino":
A me servono solo le basi! Per esempio, per quanto riguarda un gruppo:
esso è definito come un insieme non vuoto sul quale è definita una sola operazione binaria ( ovvero che associa ad una coppia ab un elemento che appartiene allo stesso all'insieme preso in considerazione ). Tale operazione può essere o la moltlipicazione o la somma oppure solo una delle due?
Successivamente trovo scritto:
Tale operazione deve soddisfare queste condizioni:
- (ab)c=a(bc)
-deve esistere un elemento neutro tale che aE=Ea=a
deve esistere un elemento B (l'inverso) tale che aB=Ba=E ( elemento neutro )
Da ciò devo dedurre che l'operazione unica presente in un gruppo è la moltiplicazione?
se ho capito bene, tu vuoi definire un gruppo con l'operazione di addizione , ed un gruppo con l'operazione di moltiplicazione? Per informazione, esistono non solo questi due gruppi, esistono gruppi con altre operazione. (vedasi gli esercizi di questa pagina web http://books.google.it/books?id=beymx5G ... &q&f=false)
Cordiali saluti
Gruppo
Sia $G$ un insieme e sia $*$ un'operazione binaria definita su $G$. Si dice che $*$ dota $G$ della struttura di gruppo se:
1) è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c, in G$ si ha che $(a*b)*c=a*(b*c)$
2) esiste l'elemento neutro: $1_g$ tale che $1*a=a*1=a$, $AAa in G$
3) esiste l'elemento opposto: $AAa in G, EEa^-1 in G$ tale che $a*a^-1=a^-1*a=1_g$
Se poi è verificata anche la proprietà commutativa allora si definisce come Gruppo commutativo o abeliano,
però in questo caso si preferisce usare la notazione additiva piuttosto che la moltiplicativa:
1) proprietà associativa: $AAa,b,c, in G$ si ha che $(a+b)+c=a+(b+c)$
2) elemento neutro: $0_g$ tale che $0+a=a+0=a$, $AAa in G$
3) elemento opposto: $AAa in G, EE-a in G$ tale che $a+(-a)=(-a)+a=0_g$
4) proprietà commutativa: $AAa,b in G$ si ha che $a+b=b+a$
Sia $G$ un insieme e sia $*$ un'operazione binaria definita su $G$. Si dice che $*$ dota $G$ della struttura di gruppo se:
1) è verificata la proprietà associativa: $AAa,b,c, in G$ si ha che $(a*b)*c=a*(b*c)$
2) esiste l'elemento neutro: $1_g$ tale che $1*a=a*1=a$, $AAa in G$
3) esiste l'elemento opposto: $AAa in G, EEa^-1 in G$ tale che $a*a^-1=a^-1*a=1_g$
Se poi è verificata anche la proprietà commutativa allora si definisce come Gruppo commutativo o abeliano,
però in questo caso si preferisce usare la notazione additiva piuttosto che la moltiplicativa:
1) proprietà associativa: $AAa,b,c, in G$ si ha che $(a+b)+c=a+(b+c)$
2) elemento neutro: $0_g$ tale che $0+a=a+0=a$, $AAa in G$
3) elemento opposto: $AAa in G, EE-a in G$ tale che $a+(-a)=(-a)+a=0_g$
4) proprietà commutativa: $AAa,b in G$ si ha che $a+b=b+a$
Salve.
io preferirei dare queste def. più precise:
$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $f$ un'operazione binaria definita ovunque su $G$. Si dice che $f$ dota $G$ della struttura di gruppo se:
1) $AAa,b,c in G:(afb)fc=af(bfc)=(afbfc)$
2)$AAa in G, EE e in G: (efa)=(afe)=a$
3) $AAa in G, EE a^I in G: (a^I fa)=(afa^I)=e$
$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $f$ un'operazione binaria definita ovunque su $G$. Si dice che $f$ dota $G$ della struttura di gruppo abeliano se:
1) $f$ dota $G$ della struttura di gruppo
2) $AAa,b in G:(afb)=(bfa)$
Ora $f$ può essere sia $+$ che $*$. Nel caso di $+$ si ha che $e=0$ ed $a^I=-a$, mentre nel caso di $*$ si ha che $e=1$ ed $a^I=1/a$ (oppure: $a^I=a^-1$).
Cordiali saluti
io preferirei dare queste def. più precise:
$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $f$ un'operazione binaria definita ovunque su $G$. Si dice che $f$ dota $G$ della struttura di gruppo se:
1) $AAa,b,c in G:(afb)fc=af(bfc)=(afbfc)$
2)$AAa in G, EE e in G: (efa)=(afe)=a$
3) $AAa in G, EE a^I in G: (a^I fa)=(afa^I)=e$
$Def.$: Sia $G$ un insieme , con $G!= O/$, e sia $f$ un'operazione binaria definita ovunque su $G$. Si dice che $f$ dota $G$ della struttura di gruppo abeliano se:
1) $f$ dota $G$ della struttura di gruppo
2) $AAa,b in G:(afb)=(bfa)$
Ora $f$ può essere sia $+$ che $*$. Nel caso di $+$ si ha che $e=0$ ed $a^I=-a$, mentre nel caso di $*$ si ha che $e=1$ ed $a^I=1/a$ (oppure: $a^I=a^-1$).
Cordiali saluti
Perfetto ragazzi. Davvero chiarissimi entrambi, ciò che mi portava confusione era semplicemente la notazione poichè associavo al punto il significato di "per"! Potreste darmi analoghe definizioni per anello e campo?
Un anello è un insieme non vuoto con "associate" due operazioni binarie: $(A,+,*)$ dove valgono le
proprietà del gruppo additivo $(A,+)$ e di quello moltiplicativo $(A,*)$ ed è verificata la proprietà
distributiva del prodotto rispetto la somma: $(a+b)*c = ac + ab, AAa,b,c in A$
Un campo è un anello commutativo unitario $(A,+,*)$ in cui $AAa in A, EEx in A$ tale che $a*x=x*a=1_a$
proprietà del gruppo additivo $(A,+)$ e di quello moltiplicativo $(A,*)$ ed è verificata la proprietà
distributiva del prodotto rispetto la somma: $(a+b)*c = ac + ab, AAa,b,c in A$
Un campo è un anello commutativo unitario $(A,+,*)$ in cui $AAa in A, EEx in A$ tale che $a*x=x*a=1_a$
come va interpretato il numero uno con il pedice a?
Gundam intendeva sicuramente scrivere $1_A$.
Rappresenta l'unità (moltiplicativa) dell'anello $A$.
Il pedice $A$ sta ad indicare di quale struttura algebrica è unità quell'elemento
Rappresenta l'unità (moltiplicativa) dell'anello $A$.
Il pedice $A$ sta ad indicare di quale struttura algebrica è unità quell'elemento
E' l'elemento neutro del gruppo moltiplicativo $(A,*)$. Diciamo che è una notazione in quanto avrei potuto usare un altro simbolo, come $e_A$, ma dato che parliamo di numeri e per rendere più chiaro il concetto ho usato il simbolo $1$, che poi corrisponde effettivamente all'elemento neutro moltiplicativo.
Edit: Gi8, si in effetti era quello che intendevo scrivere
Edit: Gi8, si in effetti era quello che intendevo scrivere
Ok. Ricapitolando quindi un anello è un'"estensione" di un gruppo dove valgono le operazioni somma e prodotto contemporaneamente ( e entrambe rispettano le proprietà citate nella descrizione del gruppo ). Inoltre in un anello è verificata la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
Un campo è semplicemente un particolare anello commutativo che rispetta ( in quanto commutativo e unitario) la proprietà descritta sotto.
ho sbagliato qualcosa?
Un campo è semplicemente un particolare anello commutativo che rispetta ( in quanto commutativo e unitario) la proprietà descritta sotto.
ho sbagliato qualcosa?
Si è corretto.
Perfetto. Grazie a tutti quelli che mi hanno prestato attenzione! 
Salve Slashino,
è in parte giusta, in un anello "la moltiplicazione" è solamente associativa e distributiva, quindi non soddisfa tutte le proprietà del gruppo. Mentre in un campo "la moltiplicazione" soddisfa le proprietà del gruppo ad esclusione del neutro additivo. Per il resto è tutto ok.
Cordiali saluti
"Slashino":
Ok. Ricapitolando quindi un anello è un'"estensione" di un gruppo dove valgono le operazioni somma e prodotto contemporaneamente ( e entrambe rispettano le proprietà citate nella descrizione del gruppo ). Inoltre in un anello è verificata la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
Un campo è semplicemente un particolare anello commutativo che rispetta ( in quanto commutativo e unitario) la proprietà descritta sotto.
ho sbagliato qualcosa?
è in parte giusta, in un anello "la moltiplicazione" è solamente associativa e distributiva, quindi non soddisfa tutte le proprietà del gruppo. Mentre in un campo "la moltiplicazione" soddisfa le proprietà del gruppo ad esclusione del neutro additivo. Per il resto è tutto ok.
Cordiali saluti
garnak, scusa, ma quando si fa riferimento ad un gruppo moltiplicativo non è implicito che l'elemento neutro sia... moltiplicativo?? Mi viene male a pensare all'elemento neutro $0_A$ con l'operazione binaria di moltiplicazione
Salve GundamRX91,
in tal caso si, giacchè le operazioni sono le usuali di addizione e moltiplicazione, il mio era un ragionamento più astratto.
Cordiali saluti
"GundamRX91":
garnak, scusa, ma quando si fa riferimento ad un gruppo moltiplicativo non è implicito che l'elemento neutro sia... moltiplicativo?? Mi viene male a pensare all'elemento neutro $0_A$ con l'operazione binaria di moltiplicazione
in tal caso si, giacchè le operazioni sono le usuali di addizione e moltiplicazione, il mio era un ragionamento più astratto.
Cordiali saluti
[OT] Perdomani Slashino, ma volevo chiedere una cosa a garnak, poi non farò altri OT.
Garnak, ok che la matematica è precisione e anche formalismo, ma non ti scoccia ogni volta rispondere con "Salve GundamRX91..." e finire con "Cordiali saluti" ??? A me piace di più un amichevole "ciao"
[/OT]
Garnak, ok che la matematica è precisione e anche formalismo, ma non ti scoccia ogni volta rispondere con "Salve GundamRX91..." e finire con "Cordiali saluti" ??? A me piace di più un amichevole "ciao"
[/OT]
Salve GundamRX91,
oramai è diventata una prassi automatica, se guardi i miei messaggi più dell' $80\text{%}$ di questi iniziano e finiscono in questo modo, e poi all'interno del messaggio dò del "tu", così facendo indirizzo il mio messaggio ad una persona specifica senza alcun fraintendimento o confusione.
Cordiali saluti
"GundamRX91":
[OT] Garnak, ok che la matematica è precisione e anche formalismo, ma non ti scoccia ogni volta rispondere con "Salve GundamRX91..." e finire con "Cordiali saluti" ??? A me piace di più un amichevole "ciao"
[/OT]
oramai è diventata una prassi automatica, se guardi i miei messaggi più dell' $80\text{%}$ di questi iniziano e finiscono in questo modo, e poi all'interno del messaggio dò del "tu", così facendo indirizzo il mio messaggio ad una persona specifica senza alcun fraintendimento o confusione.
Cordiali saluti
L'ultima risposta di garnak mi ha confuso le idee
Allora, per quanto riguarda il gruppo ci siamo.
Per quanto riguarda l'anello: vi sono definite due operazioni. La moltlipicazione rispetta le proprietà distributiva ( rispetto alla somma ) e associativa, in più esiste anche l'elemento neutro per la moltiplicazione giusto? La somma rispetta la proprietà associativa e ammette l'elemento neutro.
Il campo: è un anello commutativo e " non ammette l'elemento neutro additivo ". Si intende dire che non esiste l'elemento neutro per la somma?
Scusate ma preferisco chiarire questi dubbi una volta per tutte!
Allora, per quanto riguarda il gruppo ci siamo.
Per quanto riguarda l'anello: vi sono definite due operazioni. La moltlipicazione rispetta le proprietà distributiva ( rispetto alla somma ) e associativa, in più esiste anche l'elemento neutro per la moltiplicazione giusto? La somma rispetta la proprietà associativa e ammette l'elemento neutro.
Il campo: è un anello commutativo e " non ammette l'elemento neutro additivo ". Si intende dire che non esiste l'elemento neutro per la somma?
Scusate ma preferisco chiarire questi dubbi una volta per tutte!
No aspetta. Un campo è una struttura algebrica, che denoti come un'anello: $(A,+,*)$, in cui valgono
tutte le rispettive proprietà dei corrispondenti gruppi: $(A,+)$ e $(A,*)$, quindi l'elemento neutro
additivo esiste, ma è specifico del gruppo additivo $(A,+)$, idem per l'elemento neutro moltiplicativo
che è specifico del gruppo moltiplicativo $(A,*)$. Questo perchè altrimenti non potresti fare sempre
le operazioni di somma e prodotto con l'insieme di supporto del campo, ok?
tutte le rispettive proprietà dei corrispondenti gruppi: $(A,+)$ e $(A,*)$, quindi l'elemento neutro
additivo esiste, ma è specifico del gruppo additivo $(A,+)$, idem per l'elemento neutro moltiplicativo
che è specifico del gruppo moltiplicativo $(A,*)$. Questo perchè altrimenti non potresti fare sempre
le operazioni di somma e prodotto con l'insieme di supporto del campo, ok?
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