Gruppo abeliano con prodotto tra matrici
Sia \(\displaystyle G \) l'insieme delle matrici reali 2x2 $ ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) ) $ con $ a != 0 $ .
Dimostrare che \(\displaystyle G \) è un gruppo abeliano rispetto al prodotto tra matrici.
Procedo verificando la chiusura.
$ ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) ) = ( ( ax , ay+bx^-1 ),( 0 , (ax)^-1 ) ) $
essendo $ a!=0, x!=0 rArr (ax)!=0 $
Inoltre, il prodotto tra matrice gode della proprietà associativa, pertanto la legge associativa vale anche anche in \(\displaystyle G \)
Se non erro posso considerare la seguente uguaglianza: $ 1^-1=1/1^1=1/1=1 $ pertanto esiste il seguente elemento identico $ e= ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ con $ 1 != 0 $, infatti:
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) ) $
Esiste anche l'elemento inverso, il quale, dopo breve calcolo, mi risulta essere $ ( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) ) $
Infatti, se non sbaglio:
$ ( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) )( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )
( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) ) =( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Dimostrato che questo è un gruppo non mi torna che sia abeliano, nel senso che per due matrici del gruppo ho:
$ ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) )=( ( ax , ay+bx^-1 ),( 0 , (ax)^-1 ))!=( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) )( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) ) $
quindi per me non sarebbe abeliano, ma non potendo contraddire il testo dell'esercizio mi chiedo, dove sto sbagliando ?
Dimostrare che \(\displaystyle G \) è un gruppo abeliano rispetto al prodotto tra matrici.
Procedo verificando la chiusura.
$ ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) ) = ( ( ax , ay+bx^-1 ),( 0 , (ax)^-1 ) ) $
essendo $ a!=0, x!=0 rArr (ax)!=0 $
Inoltre, il prodotto tra matrice gode della proprietà associativa, pertanto la legge associativa vale anche anche in \(\displaystyle G \)
Se non erro posso considerare la seguente uguaglianza: $ 1^-1=1/1^1=1/1=1 $ pertanto esiste il seguente elemento identico $ e= ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ con $ 1 != 0 $, infatti:
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) ) $
Esiste anche l'elemento inverso, il quale, dopo breve calcolo, mi risulta essere $ ( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) ) $
Infatti, se non sbaglio:
$ ( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) )( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )=( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )
( ( a^-1 , -b ),( 0 , (a^-1)^-1 ) ) =( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Dimostrato che questo è un gruppo non mi torna che sia abeliano, nel senso che per due matrici del gruppo ho:
$ ( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) )( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) )=( ( ax , ay+bx^-1 ),( 0 , (ax)^-1 ))!=( ( x , y ),( 0 , x^-1 ) )( ( a , b ),( 0 , a^-1 ) ) $
quindi per me non sarebbe abeliano, ma non potendo contraddire il testo dell'esercizio mi chiedo, dove sto sbagliando ?
Risposte
Non stai sbagliando, il gruppo NON è abeliano.
"@melia":
Non stai sbagliando, il gruppo NON è abeliano.
Grazie mille.
Eppure nel testo di algebra mi si chiede testualmente di "Dimostrare che \(\displaystyle G \) è un gruppo abeliano rispetto al prodotto di matrici."
Strano.
Comunque grazie ancora !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo