Gruppi Simmetrici
Aiuto ragazzi....Non riesco proprio a capire i gruppi simmetrici 
Ho capito che si tratta di un gruppo composto dall'insieme di tutte le applicazioni biiettive in se con l'operazione di composizione, però appena cerco di capire l'esempio presente nelle dispense mi perdo
Ve lo espongo, sicuramente per voi sarà di una facilità sconcertante
Consideriamo il gruppo simmetrico su 3 elementi, ossia $S_3$ e $O(S_3)=(3!)=6$. Posto $I={1,2,3}$ gli elementi di $S_3$ saranno
$s_1=((1,2,3),(1,2,3)); s_2=((1,2,3),(1,3,2)); s_3=((1,2,3),(3,2,1));$
$s_4=((1,2,3),(2,1,3)); s_5=((1,2,3),(2,3,1)); s_6=((1,2,3),(3,1,2));$
ed $S_3={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6}$.
E fin quì ci sono... Mi confondo nel momento in cui cerca di fare $s_2 * s_4$ che sarebbe, per definizione, la composizione di $s_4$ rispetto $s_2$ ($f * g = g \circ f$)
$s_2 * s_4 =((1,2,3),(1,3,2))*((1,2,3),(2,1,3)) = ((1,2,3),(2,3,1)) = s_5$
ho capito che la moltiplicazione va fatta da destra a sinistra, ho anche considerato che siamo in un insieme ristretto ma proprio non ne vengo a capo... Sicuramente quì mi perdo con la composizione di matrici...
Grazie in anticipo
Ho capito che si tratta di un gruppo composto dall'insieme di tutte le applicazioni biiettive in se con l'operazione di composizione, però appena cerco di capire l'esempio presente nelle dispense mi perdo
Ve lo espongo, sicuramente per voi sarà di una facilità sconcertante
Consideriamo il gruppo simmetrico su 3 elementi, ossia $S_3$ e $O(S_3)=(3!)=6$. Posto $I={1,2,3}$ gli elementi di $S_3$ saranno
$s_1=((1,2,3),(1,2,3)); s_2=((1,2,3),(1,3,2)); s_3=((1,2,3),(3,2,1));$
$s_4=((1,2,3),(2,1,3)); s_5=((1,2,3),(2,3,1)); s_6=((1,2,3),(3,1,2));$
ed $S_3={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6}$.
E fin quì ci sono... Mi confondo nel momento in cui cerca di fare $s_2 * s_4$ che sarebbe, per definizione, la composizione di $s_4$ rispetto $s_2$ ($f * g = g \circ f$)
$s_2 * s_4 =((1,2,3),(1,3,2))*((1,2,3),(2,1,3)) = ((1,2,3),(2,3,1)) = s_5$
ho capito che la moltiplicazione va fatta da destra a sinistra, ho anche considerato che siamo in un insieme ristretto ma proprio non ne vengo a capo... Sicuramente quì mi perdo con la composizione di matrici...
Grazie in anticipo
Risposte
Eeehm.....rieccomi quì 
Sto svolgendo questo esercizio, anzi, sto cercando di svolgere questo esercizio
Siano $\sigma$ e $\tau$ due permutazioni di $S_4$
$\sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$
$\tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$
si determini il sottogruppo $H$ generato da queste 2 permutazioni
Quì penso che devo considerare tutti gli elementi di $S_4$ e moltiplicarli (ricordandomi che si tratta di composizione) prima con $\sigma$ e poi $\tau$, e poi verificare che $H$ così ottenuto è un sottogruppo vedendo che se $a,b in H$ deve aversi che anche $ab in H$, trattandosi di gruppi finiti.
Il ragionamento è corretto?
Grazie mille
Sto svolgendo questo esercizio, anzi, sto cercando di svolgere questo esercizio
Siano $\sigma$ e $\tau$ due permutazioni di $S_4$
$\sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$
$\tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$
si determini il sottogruppo $H$ generato da queste 2 permutazioni
Quì penso che devo considerare tutti gli elementi di $S_4$ e moltiplicarli (ricordandomi che si tratta di composizione) prima con $\sigma$ e poi $\tau$, e poi verificare che $H$ così ottenuto è un sottogruppo vedendo che se $a,b in H$ deve aversi che anche $ab in H$, trattandosi di gruppi finiti.
Il ragionamento è corretto?
Grazie mille
Hey, ciao !
Io farei così:
Per prima cosa scrivo $sigma$ come ciclo: $(134)$. Il sottogruppo (ciclico) generato da $sigma$ ha ordine 3 (ti invito a pensare perchè ).
Quindi,
[tex]\langle \sigma \rangle =\{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex]
perchè, per definizione, il sottogruppo ciclico generato da un elemento $a$ comprende tutte le potenze (distinte) di $a$ stesso (se ti aiuta, pensa questa cosa in notazione additiva). Allora basta calcolarsi $\sigma^2$ e hai finito.
Prova a fare il ragionamento analogo con $tau$.
Hai capito? Se ci sono dubbi scrivi ancora, siamo qui.
Buono studio.
! Io farei così:
"Samy21":
E
Siano $\sigma$ e $\tau$ due permutazioni di $S_4$
$\sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$
$\tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$
si determini il sottogruppo $H$ generato da queste 2 permutazioni
Per prima cosa scrivo $sigma$ come ciclo: $(134)$. Il sottogruppo (ciclico) generato da $sigma$ ha ordine 3 (ti invito a pensare perchè
). Quindi,
[tex]\langle \sigma \rangle =\{id, \sigma, \sigma^2\}[/tex]
perchè, per definizione, il sottogruppo ciclico generato da un elemento $a$ comprende tutte le potenze (distinte) di $a$ stesso (se ti aiuta, pensa questa cosa in notazione additiva). Allora basta calcolarsi $\sigma^2$ e hai finito.
Prova a fare il ragionamento analogo con $tau$.
Hai capito? Se ci sono dubbi scrivi ancora, siamo qui.
Buono studio.
EDIT: Scusa, ho riletto e mi sono accorto che non volevi i sottogruppi, ma il sottogruppo. Mmmm, le cose cambiano un pochino allora...
"Paolo90":
Il sottogruppo (ciclico) generato da $sigma$ ha ordine 3 (ti invito a pensare perchè
Perchè $\sigma^3$ è uguale alla permutazione identica
Svolgendo i calcoli ottengo
$\sigma^2= (143)=(1,3)(1,4)$
e invece $\tau$ ha ordine $2$ e quindi alla fine si ha $H={id,\sigma,\sigma^2, \tau}$ e in effetti facendo così si ottiene la soluzione corretta
Grazie, io al solito mi stavo complicando la vita
"Paolo90":
EDIT: Scusa, ho riletto e mi sono accorto che non volevi i sottogruppi, ma il sottogruppo. Mmmm, le cose cambiano un pochino allora...
Cioè?
Perdonami, ma il testo esatto del problema qual è? E la soluzione qual è?
Tu hai scritto "il sottogruppo generato da queste due permutazioni". Quelli che abbiamo trovato sono "i sottogruppi generati da queste due permutazioni".
Capisci ciò che intendo? Magari sono solo io he ho frainteso il testo e la soluzione è quella che abbiamo dato...
Tu hai scritto "il sottogruppo generato da queste due permutazioni". Quelli che abbiamo trovato sono "i sottogruppi generati da queste due permutazioni".
Capisci ciò che intendo? Magari sono solo io he ho frainteso il testo e la soluzione è quella che abbiamo dato...
Il testo è quello che ho scritto, ossia il sottogruppo. La soluzione dell'esercizio è $H={id, (1,3,4),(1,4,3),(1,3),(3,4),(1,4)}$ a parte $(3,4)$ mi pare ci sono tutte.....
Sì, be', una strada potrebbe essere quella di costruire "a mano" il sottogruppo che ci serve, mettendo insieme i vari pezzi. Però dobbiamo essere sicuri che sia un sottogruppo, quindi dobbiamo fare in modo che per ogni elemento ci sia l'inverso e il composto di due elementi qualunque stia ancora nel sottoinsieme.
Perciò, noi mettiamo $id$; poi mettiamo $(13)$, $(14)(13)$ e $(13)(14)$; mancano però sia $(14)$ (che deve esserci perchè è il risultato della composizione $(14)(13) circ (13)$) e $(34)=(13)(134)$. Dovrebbero esserci tutti...
Perciò, noi mettiamo $id$; poi mettiamo $(13)$, $(14)(13)$ e $(13)(14)$; mancano però sia $(14)$ (che deve esserci perchè è il risultato della composizione $(14)(13) circ (13)$) e $(34)=(13)(134)$. Dovrebbero esserci tutti...
SI infatti....$(1,4)$ e $(3,4)$ li trovo facendo prima $\sigma * \tau$ e poi $\tau * \sigma$.
Alla fine quindi per ottenere gli altri elementi abbiamo usato il metodo di prima, no?
Alla fine quindi per ottenere gli altri elementi abbiamo usato il metodo di prima, no?
"Samy21":In questi casi fare i conti a mano è abbastanza tedioso. Propongo un procedimento senza conti.
Siano $\sigma$ e $\tau$ due permutazioni di $S_4$
$\sigma=((1,2,3,4),(3,2,4,1))$
$\tau=((1,2,3,4),(3,2,1,4))$
si determini il sottogruppo $H$ generato da queste 2 permutazioni
Siccome $sigma$ e $tau$ fissano 2, è ovvio che $H subseteq "Stab"(2)$ ($"Stab"(2)$ è il sottogruppo che consiste delle permutazioni che fissano 2). D'altra parte $sigma$ ha ordine 3 e $tau$ ha ordine 2, quindi 2 e 3 dividono l'ordine di H, cioè 6 divide l'ordine di H. Siccome H è contenuto in $"Stab"(2)$ e $|"Stab"(2)|=6$, si ottiene che $H="Stab"(2) cong S_3$.
Si in effetti riosservando le soluzioni tutte fissano $2$. Così facendo allora gli elementi del sottogruppo saranno tutte le possibili permutazioni con $2$ fissato senza fare alcun controllo?
Si vede che "la classe non è acqua"... Martino, sei sempre un grande. Grazie per i tuoi interventi.
"Paolo90":
Si vede che "la classe non è acqua"... Martino, sei sempre un grande. Grazie per i tuoi interventi.
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Ma no, è solo questione di esperienza 
dico sul serio.
dico sul serio.
Naaaa non penso, conosco persone esperienti con l'algebra ma non così "raffinate" nello svolgere gli esercizi
"Samy21":Ok, ma considera che la teoria dei gruppi è il mio campo di ricerca!
Naaaa non penso, conosco persone esperienti con l'algebra ma non così "raffinate" nello svolgere gli esercizi
Il che dimostra che svolgi bene il tuo lavoro di ricerca
"Paolo90":
Sì, be', una strada potrebbe essere quella di costruire "a mano" il sottogruppo che ci serve, mettendo insieme i vari pezzi. Però dobbiamo essere sicuri che sia un sottogruppo, quindi dobbiamo fare in modo che per ogni elemento ci sia l'inverso e il composto di due elementi qualunque stia ancora nel sottoinsieme.
Perciò, noi mettiamo $id$; poi mettiamo $(13)$, $(14)(13)$ e $(13)(14)$; mancano però sia $(14)$ (che deve esserci perchè è il risultato della composizione $(14)(13) circ (13)$) e $(34)=(13)(134)$. Dovrebbero esserci tutti...
Scusate per l'intromissione. Quando vado a calcolare le classi laterali, ma più in generale quando vado a fare un prodotto tra dei cicli, come può essere ad esempio $ ( 1 2) ( 2 3 5) $ in $S_5$, come faccio la composizione tra i due cicli senza dover scrivere tutta la permutazione scritta in forma "normale" ? In quel modo mi sembra un po lungo come procedimento...
Grazie
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