[funzioni]Esercizi problematici
Salve a tutti, ho da poco cominciato a fare esercizi di logica sulle funzioni, ma non capisco cosa mi chiedano e perché abbiano certe risposte:
"Definire due funzioni f e g sui numeri Naturali, diverse dall'identità, la cui composizione sia una relazione d'equivalenza"
La risposta è :
"Definire, se esiste, una funzione f non iniettiva e tale che f = f * f"
"Definire, se esiste, una funzione f non suriettiva e tale che f = f * f"
La risposta per entrambe è:
Non capisco che ragionamento seguire per arrivare a certe risposte, e tanto meno perchè quelle risposte siano date in questo modo (la prima pensavo che per essere corrretta dovesse essere scritta tipo : f={(a,b): ecc...}, e la seconda è una controimmagine ????).
Vi prego di aiutarmi, sono disperato.
"Definire due funzioni f e g sui numeri Naturali, diverse dall'identità, la cui composizione sia una relazione d'equivalenza"
La risposta è :
"Definire, se esiste, una funzione f non iniettiva e tale che f = f * f"
"Definire, se esiste, una funzione f non suriettiva e tale che f = f * f"
La risposta per entrambe è:
Non capisco che ragionamento seguire per arrivare a certe risposte, e tanto meno perchè quelle risposte siano date in questo modo (la prima pensavo che per essere corrretta dovesse essere scritta tipo : f={(a,b): ecc...}, e la seconda è una controimmagine ????).
Vi prego di aiutarmi, sono disperato.
Risposte
Ci sono diversi modi di rispondere, quindi non c'è un vero e proprio "ragionamento" per arrivare alla risposta;
per quanto riguarda la prima domanda, l'identità, oltre che una relazione funzionale, è una relazione di equivalenza (per ovvi motivi). La maniera minimale di costruire l'identità come composizione di funzioni è mediante la composizione $fg$ di una funzione $f$ suriettiva e di una funzione $g$ iniettiva (un'inversa destra di $f$).
Anche per quanto riguarda le altre due, quella funzione fa il lavoro che le viene chiesto, ma ovviamente non è l'unica.
per quanto riguarda la prima domanda, l'identità, oltre che una relazione funzionale, è una relazione di equivalenza (per ovvi motivi). La maniera minimale di costruire l'identità come composizione di funzioni è mediante la composizione $fg$ di una funzione $f$ suriettiva e di una funzione $g$ iniettiva (un'inversa destra di $f$).
Anche per quanto riguarda le altre due, quella funzione fa il lavoro che le viene chiesto, ma ovviamente non è l'unica.
Aah, quindi quando diceva "diversa dall'identità", intendeva "nè f nè g devono essere relazioni equivalenti".
Ok perfetto.
Grazie, mentre la seconda non capisco ancora come faccia a soddisfare la richiesta, alla fine se una funzione è suriettiva o iniettiva dipende dagli insiemi che essa associa.
Per esempio se assoccia 2 insiemi che hanno entrambi come elementi {1,2,3} diventa una relazione di equivalenza.
Un altra cosa che non capisco è come la funzione data (sempre della seconda) soddisfi f = f composto f:
immaginiamo di avere:
A = {1, 2, 3}
E
B = {2, 4, 6}
In questo caso non funzionerebbe l'uguaglianza f = f composto f, perchè ad 1 corrisponde 2, ma a 2 corrisponderebbe 2, giusto?
Help.
Ok perfetto.
Grazie, mentre la seconda non capisco ancora come faccia a soddisfare la richiesta, alla fine se una funzione è suriettiva o iniettiva dipende dagli insiemi che essa associa.
Per esempio se assoccia 2 insiemi che hanno entrambi come elementi {1,2,3} diventa una relazione di equivalenza.
Un altra cosa che non capisco è come la funzione data (sempre della seconda) soddisfi f = f composto f:
immaginiamo di avere:
A = {1, 2, 3}
E
B = {2, 4, 6}
In questo caso non funzionerebbe l'uguaglianza f = f composto f, perchè ad 1 corrisponde 2, ma a 2 corrisponderebbe 2, giusto?
Help.
Una funzione tra insiemi finiti è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è biiettiva, hai poche speranze di trovare un esempio finché consideri solo insiemi finiti.
Also, dovresti renderti conto che $f$ può essere solamente un endomorfismo, affinché sia possibile comporla con sé stessa.
Also, dovresti renderti conto che $f$ può essere solamente un endomorfismo, affinché sia possibile comporla con sé stessa.
Innanzitutto grazie per la risposta immediata! 
Uhm, quindi se considerassi insiemi infiniti mi sarebbe più facile.
Non capisco cosa sia la n nella risposta, secondo me è un qualsiasi numero proveniente da un insieme infinito allora, secondo te?
Scusa se te lo chiedo, ma mi potresti trovare una risposta alternativa a questa, giusto per avere un idea più chiara su come andava risolto l'esercizio 2 e 3? (esatto, ahimè non ho ancora afferrato la logica dietro questa domanda
).
Uhm, quindi se considerassi insiemi infiniti mi sarebbe più facile.
Non capisco cosa sia la n nella risposta, secondo me è un qualsiasi numero proveniente da un insieme infinito allora, secondo te?
Scusa se te lo chiedo, ma mi potresti trovare una risposta alternativa a questa, giusto per avere un idea più chiara su come andava risolto l'esercizio 2 e 3? (esatto, ahimè non ho ancora afferrato la logica dietro questa domanda
).
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