Funzioni e relazioni di equivalenza
Ciao a tutti
Potreste aiutarmi a chiarirmi dei dubbi?
Devo dimostrare che una funzione $f:Z->Z^2$ che ad N->(n+1,n) è suriettiva.
Secondo me dovrei prendere una coppia in $Z^2$ affinchè questa coppia sia uguale a (n+1,n), allora n=x-1 ed n=y; però
come faccio a dimostrare che f(x)=y?
Per quanto riguarda, invece, le relazioni di equivalenza come faccio a trovare un sistema di rappresentanti per una classe di equivalenza? Ad esempio quale è il sistema di rappresentati per la relazione di equivalenza su $nxn$ dove (a,b) è in relazione con (c,d) se e solo se a+d=b+c , con a,b,c,d numeri naturali?
Grazie mille, Annamaria
Potreste aiutarmi a chiarirmi dei dubbi?
Devo dimostrare che una funzione $f:Z->Z^2$ che ad N->(n+1,n) è suriettiva.
Secondo me dovrei prendere una coppia in $Z^2$ affinchè questa coppia sia uguale a (n+1,n), allora n=x-1 ed n=y; però
come faccio a dimostrare che f(x)=y?
Per quanto riguarda, invece, le relazioni di equivalenza come faccio a trovare un sistema di rappresentanti per una classe di equivalenza? Ad esempio quale è il sistema di rappresentati per la relazione di equivalenza su $nxn$ dove (a,b) è in relazione con (c,d) se e solo se a+d=b+c , con a,b,c,d numeri naturali?
Grazie mille, Annamaria
Risposte
mah forse non ho capito bene. Tu dici: per ogni $n\inZZ$, $f(n)=(n, n+1)\inZZtimesZZ$? Se è così questa non è una applicazione suriettiva. Ad esempio per nessuna $n$ $(0,2)$ è uguale ad $f(n)$. O forse volevi dire iniettiva?
Se è così le cose sono diverse. Quello che bisogna dimostrare è che, se $f(n)=f(m)$, necessariamente $n=m$. Il che segue subito dalla definizione: $f(n)=(n, n+1)=(m, m+1)=f(m)$ implica che $n=m$.
Se è così le cose sono diverse. Quello che bisogna dimostrare è che, se $f(n)=f(m)$, necessariamente $n=m$. Il che segue subito dalla definizione: $f(n)=(n, n+1)=(m, m+1)=f(m)$ implica che $n=m$.
No, devo dimostrare che è suriettiva. Perchè hai usato (0,2) che non appartiene all'immagine della funzione?
Perché se tu scrivi: $f:ZZ\toZZtimesZZ$ e dici: $f$ è suriettiva, io capisco che tu vuoi dimostrare $f$ essere suriettiva come funzione di $ZZ$ in $ZZtimesZZ$. E questo non è vero.
Se invece dici: consideriamo $f$ come funzione di $ZZ$ sull'immagine di $f$, allora non c'è bisogno di aggiungere altro: $f$ è automaticamente suriettiva. Ma questo a prescindere dalla tua $f$, da $ZZ$ e da tutto. E' una cosa vera per qualsiasi funzione: se prendiamo una $g:X\toY$, con $X, Y$ insiemi qualsiasi, allora $g$ definisce una funzione suriettiva da $X$ nell'immagine di $g$. Questo perché, comunque scegliamo un elemento $y$ nell'immagine di $g$, per definizione di immagine esiste $x$ in $X$ tale che $g(x)=y$. E quindi $g:X\to"im"(g)$ è suriettiva. Spero di essere abbastanza chiaro.
Se invece dici: consideriamo $f$ come funzione di $ZZ$ sull'immagine di $f$, allora non c'è bisogno di aggiungere altro: $f$ è automaticamente suriettiva. Ma questo a prescindere dalla tua $f$, da $ZZ$ e da tutto. E' una cosa vera per qualsiasi funzione: se prendiamo una $g:X\toY$, con $X, Y$ insiemi qualsiasi, allora $g$ definisce una funzione suriettiva da $X$ nell'immagine di $g$. Questo perché, comunque scegliamo un elemento $y$ nell'immagine di $g$, per definizione di immagine esiste $x$ in $X$ tale che $g(x)=y$. E quindi $g:X\to"im"(g)$ è suriettiva. Spero di essere abbastanza chiaro.
per il secondo usa il teorema 2.14 ti trovi la funzione f :$N*N$$\rightarrow$ $Z$ che è (x,y) $\rightarrow$ $x-y$
il sistema di rappresentanti è dato dall' unione di:
z>0 (z,0) infatti $f(z,0)=z$
z<0 (0,-z) infatti $f(0,-z)=z$
lo abbiamo fatto in classe con Catino... ciao handball
ps peccato che hanno messo queste cose all' esonero....
il sistema di rappresentanti è dato dall' unione di:
z>0 (z,0) infatti $f(z,0)=z$
z<0 (0,-z) infatti $f(0,-z)=z$
lo abbiamo fatto in classe con Catino... ciao handball
ps peccato che hanno messo queste cose all' esonero....
per dissonance
anche io ho qualhe dubbio sul primo quesito. all' inizio avrei dato la tua prima risposta, però ho dei dubbi se vuoi l'esercizio è questo
http://www.dm.unile.it/upload/utente/58 ... cizi_I.pdf
capitolo 1 esercizio 6.5 grazie ciao
anche io ho qualhe dubbio sul primo quesito. all' inizio avrei dato la tua prima risposta, però ho dei dubbi se vuoi l'esercizio è questo
http://www.dm.unile.it/upload/utente/58 ... cizi_I.pdf
capitolo 1 esercizio 6.5 grazie ciao
Ciao tutti. Ciao Annamaria. La traccia non dice di dimostrare CHE é suriettiva ma chiede di verificare SE é suriettiva. Nella fattispecie è iniettiva. Ci sono molti modi di vederlo, uno più banale dell'altro, c'è solo da scegliere. Ad esempio.
$n mapsto n$ e $n mapsto n+1$ sono entrambe iniettive come funzioni da N in N, e poichè l'uguaglianza di coppie equivale all'uguaglianza di tutte le componenti l'iniettività è assicurata.
La surgettività non c'è e dissonance ha già mostrato un esempio.
Giusto una pignoleria: sarebbe più corretto scrivere $n mapsto f(n)$ invece di $n to f(n)$.... così giusto per pignolare
$n mapsto n$ e $n mapsto n+1$ sono entrambe iniettive come funzioni da N in N, e poichè l'uguaglianza di coppie equivale all'uguaglianza di tutte le componenti l'iniettività è assicurata.
La surgettività non c'è e dissonance ha già mostrato un esempio.
Giusto una pignoleria: sarebbe più corretto scrivere $n mapsto f(n)$ invece di $n to f(n)$.... così giusto per pignolare
"Megan00b":
Ciao tutti. Ciao Annamaria. La traccia non dice di dimostrare CHE é suriettiva ma chiede di verificare SE é suriettiva. Nella fattispecie è iniettiva. Ci sono molti modi di vederlo, uno più banale dell'altro, c'è solo da scegliere. Ad esempio.
$n mapsto n$ e $n mapsto n+1$ sono entrambe iniettive come funzioni da N in N, e poichè l'uguaglianza di coppie equivale all'uguaglianza di tutte le componenti l'iniettività è assicurata.
La surgettività non c'è e dissonance ha già mostrato un esempio.
Giusto una pignoleria: sarebbe più corretto scrivere $n mapsto f(n)$ invece di $n to f(n)$.... così giusto per pignolare
grazie megan00b... abbiamo l'esonero martedi e ci stiamo esercitando. penso che ti chiederò un paio di cose sugli eercizi. grazie di nuovo ciao
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