Funzione sigma
Sia n un numero intero.
Sia $\sigma(n)=\sum_{d|n, d>0} d$
Nel caso in cui $n=p^a$, con p primo, i suoi divisori sono gli elementi dell'insieme ${1, p, p^2, ... , p^(a-1), p^a}$
Dunque $\sigma(p^a)=(p^(a+1)-1)/(p-1)$
A questo punto prima di passare al caso generale si osserva che:
Se $(m,n)=1$ e $D_s$ è l'insieme dei divisori di s,
Allora esiste una corrispondenza biunivoca tra $D_(mn)$ e $D_m X D_n$ (prodotto cartesiano) data da $f: D_m X D_n \to D_(mn)$ con $f(d_1, d_2)=d_1*d_2$
Provato che tale funzione è effettivamente bigettiva, si passa al caso generale.
Nel caso $n=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_k^(a_k)$, poiché $(p_1^(a_1), ... , p_n^(a_n))=1$
allora $\sigma(n)=\sigma(p_1^(a_1))*\sigma(p_2^(a_2))*...*\sigma(p_k^(a_k))=\prod_{i=1}^k (p_i^(a_i+1)-1)/(p_i-1)$
La mia domanda è: Perchè le varie $\sigma(p_j^(a_j))$ si devono moltiplicare fra loro? So che dipende dall'osservazione ma non riesco a capire il nesso. Grazie a tutti!
Sia $\sigma(n)=\sum_{d|n, d>0} d$
Nel caso in cui $n=p^a$, con p primo, i suoi divisori sono gli elementi dell'insieme ${1, p, p^2, ... , p^(a-1), p^a}$
Dunque $\sigma(p^a)=(p^(a+1)-1)/(p-1)$
A questo punto prima di passare al caso generale si osserva che:
Se $(m,n)=1$ e $D_s$ è l'insieme dei divisori di s,
Allora esiste una corrispondenza biunivoca tra $D_(mn)$ e $D_m X D_n$ (prodotto cartesiano) data da $f: D_m X D_n \to D_(mn)$ con $f(d_1, d_2)=d_1*d_2$
Provato che tale funzione è effettivamente bigettiva, si passa al caso generale.
Nel caso $n=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_k^(a_k)$, poiché $(p_1^(a_1), ... , p_n^(a_n))=1$
allora $\sigma(n)=\sigma(p_1^(a_1))*\sigma(p_2^(a_2))*...*\sigma(p_k^(a_k))=\prod_{i=1}^k (p_i^(a_i+1)-1)/(p_i-1)$
La mia domanda è: Perchè le varie $\sigma(p_j^(a_j))$ si devono moltiplicare fra loro? So che dipende dall'osservazione ma non riesco a capire il nesso. Grazie a tutti!
Risposte
Stranamente quella biezione mi sembra più un'argomentazione che una giustificazione...
Nel caso che ti interessa: come sono fatti i vari \(d\)? Ricordati che nella sommatoria compare l'\(1\)!
Nel caso che ti interessa: come sono fatti i vari \(d\)? Ricordati che nella sommatoria compare l'\(1\)!
Si sono in grado di capire che è giusto. Eseguendo quel prodotto si vengono a creare tutte le possibili combinazioni di divisori che sommate danno il risultato corretto. Il fatto è che negli appunti avevo scritto quel risultato subito dopo quell'osservazione e credevo che vi fosse un nesso che non riuscivo a vedere.
L'idea può essere che mediante quella osservazione ottieni subito che ogni termine di quel prodotto è in corrispondenza biunivoca con un termine della "formula grezza", e con semplici ragionamenti ottieni sic et impliciter l'eguaglianza!
Ho capito. Beh, grazie di tutto!
Prego, se hai ancora dubbi parlane con\colla docente! 
[size=85]Qualora fosse argomento di lezione.[/size]
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