Formula di ricorrenza, coefficiente binomiale

[curcied]

Salve, vorrei avere una delucidazione sulla formula di ricorrenza del coefficiente binomiale.
Il libro me la propone e mi dice di provare a verificarla, ma esce una cosa come $((0),(k!+1))$ e credo sia sbagliata..
Vedendo su internet ho visto che la formula si presenta in forma diversa..
Sul libro è così: $((n),(k))=((n-1),(k-1))+((n-1),(k))$ mi suggerisce di riscrivere il secondo membro mediante la definizione di coeff. , fare denominatore comune e semplificare.

[billyballo2123]

\[
\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}
=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}+\frac{(n-1)!}{k(k-1)!(n-k-1)!}
=\frac{(n-1)!(n-k+k)}{k(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}.
\]

[curcied]

"billyballo2123":\[
\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}
=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}+\frac{(n-1)!}{k(k-1)!(n-k-1)!}
=\frac{(n-1)!(n-k+k)}{k(k-1)!(n-k-1)!(n-k)}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}.
\]

può spiegarmi più semplicemente gli ultimi due passaggi per arrivare a $((n),(k))$ ? per favore. Sono un bel po arrugginito..

[billyballo2123]

\[
(n-1)!(n-k+k)=(n-1)!n=n!,
\]
\[
k(k-1)!=k!
\]
e infine
\[
(n-k-1)!(n-k)=(n-k)!
\]