Fibonacci e i conigli

[paperino001]

Salve, ho letto che la serie di fibonacci ha avuto origine da questo problema:

"Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?"

ma se le coppie possono fare nascere un'altra coppia dopo due mesi, come fanno a farla nascere dopo un mese? non è una contraddizione?

grazie!

[j18eos]

Certo che la prima coppia da alla luce una coppia il secondo mese; non c'è nessuna contraddizione poiché la successione di Fibonacci inizia da [tex]$0$[/tex] prosegue con [tex]$1$[/tex] eppoi... L'errore di tantissimi testi stà nell'iniziare la successione di Fibonacci da [tex]$1$[/tex]!

[Injo]

"paperino00":ma se le coppie possono fare nascere un'altra coppia dopo due mesi, come fanno a farla nascere dopo un mese? non è una contraddizione?

Il problema è di comprensione del testo. Una coppia diventa "matura" dopo due mesi e da quel momento produce un'altra coppia ogni mese. Ovvero il primo mese i conigli sono ancora piccoli e non possono procreare, ma dal secondo in avanti sì.

Per quanto riguarda la definizione della successione di Fibonacci data da j18eos non credo sia un grande errore. Definendo le due condizioni iniziali ad [tex]1[\tex] e definendo i successivi nel solito modo si ottengono i medesimi valori (escluso lo [tex]0[\tex]) che si otterrebbero con le condizioni iniziali [tex]0[\tex] ed [tex]1[\tex]. Partire da [tex]1[\tex] credo sia più un fatto convenzionale per dare un po' più senso alla storia dei conigli: come fanno zero coppie a generarne una?

[Lord K]

E' una successione, non deve avere necessariamente un senso reale... in ogni caso si può anche cominciare da [tex]1[/tex], infatti

[tex]1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \cdots[/tex]

[Injo]

Questo lo so, cercavo di spiegare perchè secondo me nelle opere divulgative si parte da [tex]1[/tex] e non da [tex]0[/tex]

Generalmente quando si tratta l'argomento in modo più approfondito si parte da [tex]0[/tex] (molte proprietà vengono molto meglio in questo modo come ad esempio quella che dice che se [tex]n[/tex] divide [tex]m[/tex] allora [tex]F_n[/tex] divide [tex]F_m[/tex]).

[Studente Anonimo]

Preciso una cosa. Quando dite "si parte da zero" intendete che [tex]F_0=0,\ F_1=1[/tex] vero? Immagino di si', dato che e' questa la convenzione piu' usata.

"Injo":Generalmente quando si tratta l'argomento in modo più approfondito si parte da [tex]0[/tex] (molte proprietà vengono molto meglio in questo modo come ad esempio quella che dice che se [tex]n[/tex] divide [tex]m[/tex] allora [tex]F_n[/tex] divide [tex]F_m[/tex]).

Oppure quella che dice che [tex](F_n,F_m)=F_{(n,m)}[/tex]

[gugo82]

Inoltre con le condizioni iniziali [tex]$F_0=0,\ F_1=1$[/tex] viene meglio scritta la formula di Binet, nonché escono più semplici i conti se si vuole risolvere la ricorrenza con la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex].

[Lord K]

...a questo proposito, ci sono dei dettagli bibliografici che potete darmi per vedere come si ricava la formula chiusa dei numeri di Fibonacci?

[j18eos]

Io conosco questa formula per ricorrenza: [tex]$\begin{cases}F_0=0,\,F_1=1\\\forall n\in\mathbb{N}_0,\,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\end{cases}$[/tex]

[Studente Anonimo]

"Lord K":...a questo proposito, ci sono dei dettagli bibliografici che potete darmi per vedere come si ricava la formula chiusa dei numeri di Fibonacci?

Chiama [tex]a[/tex] l'unica soluzione positiva di [tex]x^2=x+1[/tex], e chiama [tex]b[/tex] la sua soluzione negativa. Allora usando la notazione che j18eos ha chiarito (cioe' [tex]F_0=0[/tex], [tex]F_1=1[/tex] e [tex]F_{n+2}=F_n+F_{n+1}[/tex]) si ha [tex]a^n=F_n a+F_{n-1}[/tex] (si dimostra facilmente per induzione) e anche [tex]b^n=F_n b+F_{n-1}[/tex]. Sottraendo queste due relazioni e dividendo per [tex]a-b[/tex] si ottiene [tex]F_n = (a^n-b^n)/(a-b)[/tex].

[Lord K]

Grazie Martino!

[Studente Anonimo]

Prego

[gugo82]

@Lord K: Propongo un approccio un po' più costruttivo, ché la dimostrazione per induzione sembra venga fuori dal cilindro del prestigiatore.

L'idea è quella di pensare [tex]$F_n$[/tex] come coefficienti di una serie di potenze di [tex]$\tfrac{1}{z}$[/tex] con [tex]$z\in \mathbb{C}$[/tex].
In altre parole, fissata una qualsiasi successione [tex]$(a_n)$[/tex] si definisce formalmente la serie [tex]$\sum_{n\geq 0} \tfrac{a_n}{z^n}$[/tex] e si istituisce un operatore tra lo spazio delle successioni reali [tex]$\mathbb{R}^\mathbb{N}$[/tex] e l'insieme delle serie di potenze inverse [tex]$\mathbb{C} [[ \tfrac{1}{z}]]$[/tex] ponendo:

[tex]$\mathcal{Z} : \mathbb{R}^\mathbb{N} \ni (a_n)\mapsto \sum \frac{a_n}{z^n} \in \mathbb{C} [[ \tfrac{1}{z}]]$[/tex],

tale operatore si chiama trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex].
Si vede dalla definizione che se al posto della successione [tex]$(a_n)$[/tex] si considera la successione [tex]$(a_{n+k})$[/tex] (ottenuta da [tex]$(a_n)$[/tex] sopprimendo i termini d'indice [tex]$0,1,\ldots ,k-1$[/tex]) si ottiene:

(*) [tex]$\mathbb{Z}[a_{n+k}] =\sum_{n\geq 0} \frac{a_{n+k}}{z^n} $[/tex]
[tex]$=z^k \sum_{n\geq k} \frac{a_n}{z^n}$[/tex]
[tex]$=z^k \left( -a_0-\frac{a_1}{z} -\ldots -\frac{a_{k-1}}{z^{k-1}} +\mathcal{Z}[a_n]\right)$[/tex]
[tex]$=z^k \mathcal{Z}[a_n] -a_0z^k -a_1z^{k-1}-\dots -a_{k-1} z$[/tex].

Inoltre segue dalla definizione che: 1) la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex] è lineare, ossia [tex]$\mathcal{Z}[\alpha a_n+\beta b_n]=\alpha \mathcal{Z}[a_n] +\beta \mathcal{Z}[b_n]$[/tex] e 2) la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex] è biiettiva.

Applicando la tresformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex] ad ambo i membri della ricorrenza che individua i numeri di Fibobnacci si trova:

[tex]$\mathcal{Z}[F_{n_2}] =\mathcal{Z}[F_n]+\mathcal{Z}[F_{n+1}]$[/tex]

e tenendo presenti la proprietà di traslazione (*) si può scrivere:

[tex]$z^2 \mathcal{Z}[F_n] -F_0z^2-F_1z=\mathcal{Z}[F_n]+z\mathcal{Z}[F_n]-F_0z$[/tex]

onde per le condizioni iniziali [tex]$F_0=0,F_1=1$[/tex] la precedente diventa:

(**) [tex]$(z^2-z-1)\mathcal{Z}[F_n] =z$[/tex]

che è una "equazione algebrica" nell'incognita [tex]$\mathcal{F} =\mathcal{Z}[F_n]$[/tex].
Formalmente, quindi, il problema che basta risolvere per determinare [tex]$\mathcal{F}$[/tex] è: esiste una serie formale di potenze negative di [tex]$z$[/tex] tale che sussista l'uguaglianza (**)?
Per risolvere tale problema, operiamo come farebbe un bimbo qualsiasi: dividiamo per [tex]$z^2-z-1$[/tex] ad ambo i membri ed otteniamo:

[tex]$\mathcal{F} = \frac{z}{z^2-z-1}$[/tex];

al secondo membro abbiamo un'espressione formale di [tex]$z$[/tex] della quale a noi interessa dimostrare che si può mettere nella forma [tex]$\sum \tfrac{a_n}{z^n}$[/tex] con i coefficienti [tex]$a_n$[/tex] determinati in modo esplicito: infatti, se ciò fosse possibile, avremmo [tex]$\mathcal{F} =\mathcal{Z}[a_n]$[/tex] e dunque [tex]$F_n=a_n$[/tex] (per la biiettività della [tex]$\mathcal{Z}$[/tex]).
Ma notato che, posto [tex]$\phi =\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}$[/tex] e dunque [tex]$\tfrac{1}{\phi} =\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}$[/tex], si ha:

[tex]$\frac{z}{z^2-z-1}=\frac{z}{(z-\phi )(z-\tfrac{1}{\phi})}$[/tex]
[tex]$=\frac{\phi}{\phi^2-1} \left( \frac{z}{z-\phi} -\frac{z}{z-\frac{1}{\phi}}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{\phi}{\phi^2-1} \left( \frac{1}{1-\frac{\phi}{z}} -\frac{1}{1-\frac{1}{\phi z}}\right)$[/tex],

ricordando la notissima formula per la somma della serie geometrica si trova:

[tex]$\frac{z}{z^2-z-1}= \frac{\phi}{\phi^2-1} \left( \sum_{n\geq 0} \frac{\phi^n}{z^n} - \sum_{n\geq 0} \frac{1}{\phi^n z^n}\right)$[/tex]
[tex]$=\frac{\phi}{\phi^2-1} \sum_{n\geq 0} \left( \phi^n -\frac{1}{\phi^n}\right)\ \frac{1}{z^n}$[/tex],

cosicché:

[tex]$\mathcal{F} =\sum_{n\geq 0} \frac{\phi}{\phi^2-1} \left( \phi^n -\frac{1}{\phi^n}\right)\ \frac{1}{z^n}$[/tex]

e per quanto detto più sopra:

[tex]$F_n=\frac{\phi}{\phi^2-1} \left( \phi^n -\frac{1}{\phi^n}\right)$[/tex].

Se proprio si vuole si può semplificare un po' la faccenda: infatti è molto semplice dalla definizione di $\phi$ desumere che:

[tex]$\frac{\phi}{\phi^2-1} =\frac{1}{\phi -\frac{1}{\phi}} =\frac{1}{\sqrt{5}}$[/tex]

[tex]$\frac{1}{\phi} =1-\phi$[/tex]

quindi vale la classica formula di Binet:

[tex]$F_n=\frac{\phi^n -(1-\phi)^n}{\sqrt{5}}$[/tex],

che è simile ad una formula magica, che combina tante potenze strane del numero irrazionale [tex]$\sqrt{5}$[/tex] per fornire addirittura un numero naturale!

[Studente Anonimo]

@gugo: approccio interessante. Comunque ti faccio notare che quella che ho proposto io non e' la dimostrazione per induzione della formula chiusa, e non ritengo che sembri venuta fuori dal cilindro.

[j18eos]

"gugo82":...operiamo come farebbe un bimbo qualsiasi...

Sì ma di quanti punti di quoziente intellettivo!
Scherzi a parte, hai dato prova del fatto che la trasformata zeta è più trattabile con l'iniziare la successione di Fibonacci da 0 ed 1! Così mi hai levato una curiosità.

[gugo82]

@Martino:

"Martino":@gugo: approccio interessante. Comunque ti faccio notare che quella che ho proposto io non e' la dimostrazione per induzione della formula chiusa, e non ritengo che sembri venuta fuori dal cilindro.

Martino, non era una critica alla tua risposta, né intendevo criticare il tuo approccio alla faccenda.

Però devi ammettere che quella dimostrazione per induzione delle due relazioni che portano alla formula di Binet (che è quello che proponevi... Basta rileggersi il tuo post: facendo [tex]$a=\phi$[/tex] e [tex]$b=\tfrac{1}{\phi} =1-\phi$[/tex] nella tua formula, essa diventa quella riportata nel mio post) sembra balzata fuori dal cilindro.
Cioè almeno a me non verrebbe mai in mente di mettere in mezzo ai calcoli, di primo acchitto partendo dalla ricorrenza, il numero [tex]$\phi$[/tex] (infatti, [tex]$\phi$[/tex] è irrazionale, mentre gli [tex]$F_n$[/tex] naturali) e nemmeno di fare i primi passi per verificare che [tex]$\phi^2=\phi\ F_2 +F_1$[/tex], [tex]$\phi^3 =\phi\ F_3+F_2$[/tex], [tex]$\phi^4=\phi\ F_4+F_3$[/tex]...

Se fossi tanto gentile da illustrarmi come nasce quell'approccio, probabilmente non mi parrebbe più tanto strano.


@Lord K: Un altro modo costruttivo di approcciare la faccenda nasce dall'osservazione delle somiglianze tra le ricorrenze lineari omogenee a coefficienti costanti e le EDO lineari omogenee a coefficienti costanti; in particolare, lavorandoci, ci si rende conto che le ricorrenze sono la "versione discreta" delle EDO.

L'osservazione fondamentale è la seguente: così come nelle EDO lineari omogenee a coefficienti costanti si cerca sempre di determinare l'integrale generale usando una funzione esponenziale [tex]$e^{\lambda x}$[/tex] (o combinazioni lineari di funzioni di tale tipo), nelle ricorrenze lineari omogenee a coefficienti costanti si cerca sempre di determinare la soluzione nella forma [tex]$\lambda^n$[/tex] (o combinazioni lineari di successioni di tale tipo).
Allora, così come nella teoria delle EDO, diventa fondamentale determinare i valori di [tex]$\lambda$[/tex] tali che la successione [tex]$\lambda^n$[/tex] soddisfa la relazione di ricorrenza.
Nel caso in esame, si trova che [tex]$\lambda^n$[/tex] soddisfa la ricorrenza fibonacciana se e solo se [tex]$\lambda$[/tex] è tale che:

[tex]$\lambda^2-\lambda-1=0$[/tex],

ossia se [tex]$\lambda=\phi,\ \tfrac{1}{\phi}$[/tex].

A questo punto si dice che ogni soluzione della ricorrenza si può esprimere come combinazione delle successioni [tex]$\phi^n,\ \tfrac{1}{\phi^n}$[/tex], ossia che [tex]$(a_n)$[/tex] è soluzione della ricorrenza se e solo se esistono costanti [tex]$\alpha,\beta$[/tex] tali che [tex]$a_n=\alpha\ \phi^n+\beta\ \tfrac{1}{\phi^n}$[/tex].
Anche questo step va interpretato alla luce della teoria delle EDO: così come ogni EDO lineare omogenea a coefficienti costanti ha l'integrale generale che si esprime come combinazione lineare delle funzioni esponenziali caratteristiche [tex]$e^{\lambda x}$[/tex], ogni ricorrenza lineare omogenea ha la soluzione generale che si esprime come combinazione lineare delle soluzioni caratteristiche [tex]$\lambda^n$[/tex].

Rimane infine da determinare [tex]$\alpha$[/tex] e [tex]$\beta$[/tex] nella formula affinché [tex]$a_n=\alpha\ \phi^n +\beta\ \tfrac{1}{\phi^n}$[/tex] soddisfi anche le condizioni iniziali: si ha:

[tex]$\begin{cases} \alpha +\beta=0 \\ \alpha\ \phi^2 +\beta =1\end{cases}$[/tex],

quindi:

[tex]$\alpha = \frac{\phi}{\phi^2-1} =\frac{\phi}{\phi (\phi -\frac{1}{\phi})} =\frac{1}{\sqrt{5}}$[/tex]
[tex]$\beta=-\frac{1}{\sqrt{5}}$[/tex],

e perciò si ritrova la formula di Binet:

[tex]$F_n= \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \phi^n-(1-\phi)^n\right]$[/tex].

@j18eos: Intendevo, facciamo come chi non si preoccupa dell'aspetto rigoroso e gioca con le cose che ha sotto occhio... Perciò "bimbo".

[Studente Anonimo]

"gugo82":@Martino:
[quote="Martino"]@gugo: approccio interessante. Comunque ti faccio notare che quella che ho proposto io non e' la dimostrazione per induzione della formula chiusa, e non ritengo che sembri venuta fuori dal cilindro.

Martino, non era una critica alla tua risposta, né intendevo criticare il tuo approccio alla faccenda.

Però devi ammettere che quella dimostrazione per induzione delle due relazioni che portano alla formula di Binet (che è quello che proponevi... Basta rileggersi il tuo post: facendo [tex]$a=\phi$[/tex] e [tex]$b=\tfrac{1}{\phi} =1-\phi$[/tex] nella tua formula, essa diventa quella riportata nel mio post) sembra balzata fuori dal cilindro.
Cioè almeno a me non verrebbe mai in mente di mettere in mezzo ai calcoli, di primo acchitto partendo dalla ricorrenza, il numero [tex]$\phi$[/tex] (infatti, [tex]$\phi$[/tex] è irrazionale, mentre gli [tex]$F_n$[/tex] naturali) e nemmeno di fare i primi passi per verificare che [tex]$\phi^2=\phi\ F_2 +F_1$[/tex], [tex]$\phi^3 =\phi\ F_3+F_2$[/tex], [tex]$\phi^4=\phi\ F_4+F_3$[/tex]...

Se fossi tanto gentile da illustrarmi come nasce quell'approccio, probabilmente non mi parrebbe più tanto strano. [/quote]Beh, come al solito abbiamo interpretazioni diverse

L'idea non e' tirare in ballo il numero [tex]\phi[/tex], chiaro che non l'ho tirato fuori dal nulla. L'idea e' dare un'interpretazione moltiplicativa alla relazione [tex]F_{n+2}=F_n+F_{n+1}[/tex], che e' di natura additiva (c'e' una somma). Il modo piu' economico di fare questo e' considerare la relazione [tex]x^2=x+1[/tex] (che in qualche senso converte un prodotto in una somma). La trattabilita' della cosa sta nel fatto che detto [tex]a[/tex] uno zero di [tex]x^2=x+1[/tex] si ha [tex]a^n=F_n a + F_{n-1}[/tex], che permette di calcolare il numero di Fibonacci n-esimo semplicemente effettuando una potenza n-esima. Non mi sembra un'idea cosi' inarrivabile. Certo, ci avevo pensato perche' sapevo che c'entrava l'equazione [tex]x^2-x-1=0[/tex], ma almeno a posteriori a me sembra un'idea naturale.

Oltretutto la relazione [tex]a^n=F_na+F_{n-1}[/tex] permette di dimostrare moltissime proprieta' dei numeri di Fibonacci facendo conticini di riscrittura (per non chiamarli "algebrici"), per esempio [tex](F_n,F_m)=F_{(n,m)}[/tex].

Non so se sono stato esaustivo, in ogni caso penso che l'idea che ho proposto apparirebbe legittima e naturale a qualsiasi teorico dei numeri algebrico. E' questione di mentalita': chiaro che a me non poteva venire in mente il tuo approccio con la trasformata zeta, non ho la mentalita' adatta.

Aggiungo che mi sembra almeno curioso che parli di "tirare fuori dal cilindro" quando il tuo argomento inizia con:

L'idea è quella di pensare [tex]$F_n$[/tex] come coefficienti di una serie di potenze di [tex]$\tfrac{1}{z}$[/tex] con [tex]$z\in \mathbb{C}$[/tex].
In altre parole, fissata una qualsiasi successione [tex]$(a_n)$[/tex] si definisce formalmente la serie [tex]$\sum_{n\geq 0} \tfrac{a_n}{z^n}$[/tex] e si istituisce un operatore tra lo spazio delle successioni reali [tex]$\mathbb{R}^\mathbb{N}$[/tex] e l'insieme delle serie di potenze inverse [tex]$\mathbb{C} [[ \tfrac{1}{z}]]$[/tex] ponendo:

[tex]$\mathcal{Z} : \mathbb{R}^\mathbb{N} \ni (a_n)\mapsto \sum \frac{a_n}{z^n} \in \mathbb{C} [[ \tfrac{1}{z}]]$[/tex],

tale operatore si chiama trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex].

Tutte queste cose non le hai forse tirate fuori dal cilindro? Mi rispondo da solo: no, perche' chi fa analisi e' abituato a pensare in questi termini. Quello che vorrei farti capire e' che chi fa algebra e' abituato a pensare in altri termini, e a volte potresti cercare di capirlo ed esimerti dal parlare di "cilindri".

[Lord K]

"gugo82":@Lord K: Un altro modo costruttivo di approcciare la faccenda nasce dall'osservazione delle somiglianze tra le ricorrenze lineari omogenee a coefficienti costanti e le EDO lineari omogenee a coefficienti costanti; in particolare, lavorandoci, ci si rende conto che le ricorrenze sono la "versione discreta" delle EDO.

Questa la conoscevo anche io e mi sono accorto di avere anche un bel libro che ne parla ^_^

[gugo82]

@Martino: Ecco...

"Martino":La trattabilita' della cosa sta nel fatto che detto [tex]a[/tex] uno zero di [tex]x^2=x+1[/tex] si ha [tex]a^n=F_n a + F_{n-1}[/tex]

Quello che non capivo era proprio questo.
Detto fra noi, non è immediato passare dall'equazione [tex]x^2=x+1[/tex] alla relazione [tex]a^n=F_n a + F_{n-1}[/tex] per chi non ha l'occhio allenato a queste cose... Non l'avevo capito affatto il perchè, prima di mettermi a fare i passaggi che hai accuratamente omesso dal tuo post.
Infatti, fin qui:

"Martino":Il modo piu' economico di fare questo e' considerare la relazione [tex]x^2=x+1[/tex] (che in qualche senso converte un prodotto in una somma).

tutto chiaro, spieghi quale è il meccanismo che ti porta verso una soluzione (anche se il polinomio non è detto da dove lo si prenda; ma probabilmente la sua costruzione è legata agli indici della ricorrenza, vero?)... Ma poi si perde il filo ed arrivava la frase che non capivo.

Provo a spiegare il tuo percorso, tu dimmi se ci ho preso.
Tu vedi [tex]$x\cdot x=x+1$[/tex], cosa che ti consente di "trasformare" una prodotto in una somma per qualche valore di [tex]$x$[/tex]. Quindi, tu dici, prendo un numero [tex]$a$[/tex] per cui [tex]$a\cdot a=a+1$[/tex] (un tale numero è [tex]$\phi$[/tex], ad esempio, ma nell'economia astratta del ragionamento non importa il suo valore numerico) e provo a vedere che cosa succede con le potenze [tex]$a^n$[/tex]: iterativamente:

[tex]$a^3=a\cdot a^2=a(a+1)=a^2+a=a+1+a=2a+1$[/tex]

[tex]$a^4=a\cdot a^3=a(2a+1)=2a^2+a=2(a+1)+a=3a+2$[/tex]

[tex]$a^5=a\cdot a^4=a(3a+2)=3a^2+2a=3(a+1)+2a=5a+3$[/tex]

etc... Allora, ricordandoti che [tex]$F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5$[/tex], ti fai persuaso che [tex]$a^n=F_n a+F_{n-1}$[/tex] e lo provi per induzione.
Questa è la spiegazione del tuo modo di procedere, giusto?
Che ci voleva a raccontarlo tutto?

Per quanto riguarda la trasformata [tex]$\mathcal{Z}$[/tex], ho ritenuto di far vedere come si usa* solo perchè l'avevo nominata in precedenza (e perchè mi pare Lord K sia ingegnere... O forse ricordo male?); se non l'avessi fatto, avrei proceduto più naturalmente come ho indicato nel mio penultimo post, ossia sfruttando l'analogia EDO/ricorrenze.
Ma di modi per trattare Fibonacci ne esistono a bizzeffe... Un altro modo (sempre legato parzialmente alle EDO, ma con radici di Algebra Lineare) è fare in modo da ottenere un sistema di due ricorrenze lineari, la cui matrice associata è diagonalizzabile, se non ricordo male.

Detto ciò, permettimi un consiglio: va bene il tuo non voler sprecare parole, ma a volte due paroline in più possono fare la differenza per chi ti ascolta/legge tra il capire ed il credere in un miracolo.


@Lord K: Che libro?


__________
* Tra l'altro, ho usato la "scappatoia formale" proprio perchè non volevo scendere nei dettagli: infatti, se non l'avessi fatto, mi sarei dovuto preoccupare (da buon analista) di andare a vedere se la serie convergesse effettivamente in qualche regione del piano complesso... Ma ciò avrebbe reso la trattazione più noiosa di quanto già non fosse.

[Lord K]

"gugo82":(e perchè mi pare Lord K sia ingegnere... O forse ricordo male?)

Ricordi male, sono un matematico

@Lord K: Che libro?

E' un libro che ho trovato in biblioteca che parla delle serie famose approfondendo alcuni dettagli.

[gugo82]

"Lord K":[quote="gugo82"](e perchè mi pare Lord K sia ingegnere... O forse ricordo male?)

Ricordi male, sono un matematico [/quote]
Evidentemente confondevo il tuo con qualche altro nick con la K.

"Lord K":

@Lord K: Che libro?

E' un libro che ho trovato in biblioteca che parla delle serie famose approfondendo alcuni dettagli.

Ma il titolo è coperto dal segreto di stato?