Fattorizzazione in K[x]
Come si fattorizza $x^5-1$ in C[x]?
Risposte
Gli zeri del polinomio sono le radici quinte dell'unità. Si può usare quindi la formula di De moivre.
Link: http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/files/complessi/node4.html
Link: http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/files/complessi/node4.html
La radice quinta di 1 non è 1 in C?
"thedarkhero":
La radice quinta di 1 non è 1 in C?
Eh no! In $RR$ si, ma in $CC$, le radici n-esime dell'unità sono esattamente $n$! Leggi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unità
Sul fatto che siano 5 siamo d'accordo ma non sono tutte coincidenti? (Il link che mi hai dato non esiste)
Ecco il link corretto: http://it.wikipedia.org/w/index.php?tit ... d=19973461
No non sono coincidenti, ti faccio un esempio più ovvio delle radici quinte: $x^4=1$. Le radici quarte dell'unità sono appunto 4, e sono $1$, $-1$, $i$, $-i$ (prova a elevarle alla 4, otterrai 1!), e sono tutte diverse... Analogamente funziona per le radici n-esime, e la formula di De Moivre serve appunto a calcolarle tutte...
No non sono coincidenti, ti faccio un esempio più ovvio delle radici quinte: $x^4=1$. Le radici quarte dell'unità sono appunto 4, e sono $1$, $-1$, $i$, $-i$ (prova a elevarle alla 4, otterrai 1!), e sono tutte diverse... Analogamente funziona per le radici n-esime, e la formula di De Moivre serve appunto a calcolarle tutte...
"gygabyte017":
[quote="thedarkhero"]La radice quinta di 1 non è 1 in C?
Eh no! In $RR$ si, ma in $CC$, le radici n-esime dell'unità sono esattamente $n$! Leggi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unità[/quote]
Certo che il punto esclamativo lì fa confondere le persone...
"vict85":
[quote="gygabyte017"][quote="thedarkhero"]La radice quinta di 1 non è 1 in C?
Eh no! In $RR$ si, ma in $CC$, le radici n-esime dell'unità sono esattamente $n$! Leggi qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unità[/quote]
Certo che il punto esclamativo lì fa confondere le persone...
[/quote] Beh però non è blu 
$n!" "!=" "n$!
Applicando De Moivre (devo per forza utilizzare la forma trigonometrica?) si ottiene:
$root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pik/5))+(isin(2\pik/5))]$
k $in$ [0,4]
poi come torno alla forma cartesiana?
$root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pik/5))+(isin(2\pik/5))]$
k $in$ [0,4]
poi come torno alla forma cartesiana?
Calcoli seplicitamente seno e coseno nella formula 
$root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pik/5))+(isin(2\pik/5))]$
con $k=0$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi0/5))+(isin(2\pi0/5))]$ $=1+i0$
con $k=1$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi1/5))+(isin(2\pi1/5))]$ $=???$
con $k=2$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi2/5))+(isin(2\pi2/5))]$ $=???$
con $k=3$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi3/5))+(isin(2\pi3/5))]$ $=???$
con $k=4$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi4/5))+(isin(2\pi4/5))]$ $=???$
Come faccio a calcolare seno e coseno di angoli multipli di $\pi/5$?
con $k=0$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi0/5))+(isin(2\pi0/5))]$ $=1+i0$
con $k=1$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi1/5))+(isin(2\pi1/5))]$ $=???$
con $k=2$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi2/5))+(isin(2\pi2/5))]$ $=???$
con $k=3$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi3/5))+(isin(2\pi3/5))]$ $=???$
con $k=4$ $root(5)(1+i0)=root(5)(1^2+0^2)[(cos(2\pi4/5))+(isin(2\pi4/5))]$ $=???$
Come faccio a calcolare seno e coseno di angoli multipli di $\pi/5$?
Osservazione:
$sin(pi/5) = 1/4sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))$
$sin(pi/5) = 1/4sqrt(2)sqrt(5-sqrt(5))$
Questo come faccio a saperlo?
Prendiamo un pentagono, se ne cerchiamo l'area necessitiamo dell'apotema che è l'altezza di un triangolo con l'angolo "al centro" di 72°...
Una volta trovato (laboriosamente) il seno di quell'angolo, trovi con le formule di bisezione quello da 36° (ovvero $pi/5$)
Una volta trovato (laboriosamente) il seno di quell'angolo, trovi con le formule di bisezione quello da 36° (ovvero $pi/5$)
Comunque non e' necessario esplicitare $sin(pi/5)$ e $cos(pi/5)$, si possono anche lasciare cosi' (se non si e' masochisti ).
).
E se dovessi fattorizzare in C[x] il polinomio $x^5+x^3+x^2+1$?
"thedarkhero":
E se dovessi fattorizzare in C[x] il polinomio $x^5+x^3+x^2+1$?
Innanzitutto fattorizzalo pensandolo in $QQ[x]$, ad esempio con ruffini. I polinomi che ti verranno, saranno tutti o di primo grado (e quindi sono già fattorizzati anche in $CC[x]$), oppure di secondo grado.
Ora passi alla fattorizzazione in $RR[x]$, e puoi provare a risolvere quelli di secondo grado con la classica formula delle equazioni di secondo grado: se hai il $Delta>=0$ trovi due polinomi di grado 1, e che quindi sono già fattorizzati in $CC[x]$, altrimenti se $Delta<0$ sono irriducibili in $RR[x]$.
Ora passi a fattorizzare questi ultimi in $CC[x]$: essi hanno come radici due numeri complessi e coniugati che puoi trovare usando sempre la classica formula delle equazioni di secondo grado, dove verrà ovviamente la radice negativa...
In questo caso:
Noti subito che $-1$ è radice, e quindi inizi a fattorizzare: $(x+1)(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)$
Il rimanente polinomio sembra che non abbia altre radici. Ma allora sicuramente sarà il prodotto di due polinomi di grado 2 (questo è vero già in $QQ[x]$, quindi i calcoli sono molto più semplici):
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax +- 1)(x^2+bx +-1)$ N.B. li ho presi monici, e con il termine noto uguale a $+-1$ perchè qui non può essere altrimenti (siamo in $QQ[x]$!)
Risolviamo il sistema e facciamo l'identità polinomiale:
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=x^4 + (b+a)x^3 + (+-1 + ab +- 1)x^2 + (+-a +-b)x + 1$
Da $b+a = -1$ e $+-(a+b)=-1$ si ottiene subito che $b=-1-a$ e che i termini noti sono entrambi $+1$. E poi $2= +1 +ab +1=2+ab=2+a(-1-a)=2-a-a^2$
Quindi $a^2+a=0 => $ $a=0 b=-1$ oppure $a=-1 b=0$ che sono esattamente la stessa cosa a meno dell'ordine.
Quindi la fattorizzazione finale in $QQ[x]$ è: $(x+1)(x^2 +1)(x^2 -x +1)$
Ora passiamo a $RR[x]$: non possiamo fare niente perchè i due restanti polinomi sono irriducibili in $RR[x]$.
Passiamo a $CC[x]$:
1) $x^2+1=0$ $x=+-sqrt(-1)=+-i$
2) $x^2 -x +1=0$ $x=(1 +- sqrt(1 - 4))/2=(1+-i sqrt3)/2$
Fattorizzazione finale: $(x+1)(x-i)(x+i)(x-( 1+ i sqrt3)/2)(x - (1- isqrt3)/2)$
Edit: Ti ho fatto vedere la procedura generale... In questo caso si potevano semplificare le cose accorgendosi che $x^5 + x^3 + x^2 + 1= x^3(x^2+1)+x^2+1=(x^3 + 1)(x^2+1)=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)$ e poi passare a $CC[x]$...
Edit2: Il ragionamento che ti ho fatto funziona solo se il polinomio è a coefficienti in $QQ$ (o equivalentemente in $ZZ$), come in questo caso!
Ho capito la seconda parte ma non la prima
Come faccio a fattorizzarlo in Q[x]?
Come faccio a fattorizzarlo in Q[x]?
Il teorema di Ruffini dice che, dato il polinomio $p(x)=a_nx^n + cdots + a_0$, ha come possibili radici i numeri nella forma $+-r/s$, dove $r$ divide $a_0$ e $s$ divide $a_n$. Ad esempio nel polinomio $6x^5 + cdots - 3$ ha come possibili radici i numeri $+-1$, $+-3$, $+-1/2$, $+-3/2$, $+-1/3$, $+-3/3$ ecc...Nel tuo caso avevi $a_0=1$ e $a_n=1$, quindi le possibili radici sono solo $+-1$. $+1$ non funziona, e invece $-1$ sì.
Spero sia chiaro
Sono arrivato alla prima fattorizzazione, quella in cui trovo il fattore (x+1).
Poi non capisco come hai scomposto il polinomio di quarto grado.
Poi non capisco come hai scomposto il polinomio di quarto grado.
Allora, tu hai un polinomio di grado 4, e sai che sicuramente si scompone in qualche modo. Allora per forza o si scompone (almeno) nel prodotto di un polinomio di grado 1 e uno di grado 3, oppure in 2 di grado 2.
Il primo caso è impossibile, perchè se fosse possibile esisterebbe un $alpha in QQ$ che è radice del polinomio, ma allora lo avresti trovato prima quando fai ruffini. Quindi è per forza prodotto di due polinomi di grado 2.
Siano essi $(sx^2+ax+t)$ e $(hx^2+bx+k)$, allora $(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(sx^2+ax+t)(hx^2+bx+k)$. Il lavoro da fare è trovare chi sono questi polinomi. Però il problema è che hai ben 6 incognite, che sono molto scomode! Cerchiamo quindi di semplificare il problema facendo delle semplificazioni.
La prima cosa che possiamo fare è eliminare il coefficiente dei termini di grado massimo, rendendo i polinomi monici. Infatti, l'uguaglianza per essere vera, deve essere $x^4=shx^4$ e cioè $sh=1$, ma qualunque siano s e h, possiamo "metterli in evidenza":
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=s(x^2+a/sx+t/s)h(x^2+b/hx+k/h)=sh(x^2+a/sx+t/s)(x^2+b/hx+k/h)$ ma abbiamo appena detto che $sh=1$ e quindi
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+t)(x^2+bx+k)$ (ho rinominato gli altri coefficienti per semplicità usando lo stesso nome, del tipo ho sostituito a/s con a, tanto sempre incognita è).
Ci siamo tolti quindi due incognite.
Pensiamo ora ai termini noti. Il lavoro che stiamo facendo è in $QQ[x]$, ma a meno di massimi comun denominatori, avrai tutti i coefficienti in $ZZ$ (nel senso che se qualche coefficiente è del tipo $p/q$, bastafare il massimo comun denominatore e metterlo in evidenza per avere un polinomio a coefficienti in $ZZ$). Sui termini noti, sappiamo che $tk=1$. Ma pensando in $ZZ$, si avrà per forza o $t=1 k=1$ o $t=-1 k=-1$.
Quindi ci siamo tolti altre due incognite!
In definitiva ci rimane:
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+-1)(x^2+bx+-1)$ dove c'è il $+-$ per indicare i due casi possibili dei termini noti... ovviamente o sono entrambi $+$ o sono entrambi $-$.
Ora non resta che trovare $a$ e $b$ come ti ho fatto vedere sopra....
Il primo caso è impossibile, perchè se fosse possibile esisterebbe un $alpha in QQ$ che è radice del polinomio, ma allora lo avresti trovato prima quando fai ruffini. Quindi è per forza prodotto di due polinomi di grado 2.
Siano essi $(sx^2+ax+t)$ e $(hx^2+bx+k)$, allora $(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(sx^2+ax+t)(hx^2+bx+k)$. Il lavoro da fare è trovare chi sono questi polinomi. Però il problema è che hai ben 6 incognite, che sono molto scomode! Cerchiamo quindi di semplificare il problema facendo delle semplificazioni.
La prima cosa che possiamo fare è eliminare il coefficiente dei termini di grado massimo, rendendo i polinomi monici. Infatti, l'uguaglianza per essere vera, deve essere $x^4=shx^4$ e cioè $sh=1$, ma qualunque siano s e h, possiamo "metterli in evidenza":
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=s(x^2+a/sx+t/s)h(x^2+b/hx+k/h)=sh(x^2+a/sx+t/s)(x^2+b/hx+k/h)$ ma abbiamo appena detto che $sh=1$ e quindi
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+t)(x^2+bx+k)$ (ho rinominato gli altri coefficienti per semplicità usando lo stesso nome, del tipo ho sostituito a/s con a, tanto sempre incognita è).
Ci siamo tolti quindi due incognite.
Pensiamo ora ai termini noti. Il lavoro che stiamo facendo è in $QQ[x]$, ma a meno di massimi comun denominatori, avrai tutti i coefficienti in $ZZ$ (nel senso che se qualche coefficiente è del tipo $p/q$, bastafare il massimo comun denominatore e metterlo in evidenza per avere un polinomio a coefficienti in $ZZ$). Sui termini noti, sappiamo che $tk=1$. Ma pensando in $ZZ$, si avrà per forza o $t=1 k=1$ o $t=-1 k=-1$.
Quindi ci siamo tolti altre due incognite!
In definitiva ci rimane:
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+-1)(x^2+bx+-1)$ dove c'è il $+-$ per indicare i due casi possibili dei termini noti... ovviamente o sono entrambi $+$ o sono entrambi $-$.
Ora non resta che trovare $a$ e $b$ come ti ho fatto vedere sopra....
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