Fattorizzazione in K[x]

thedarkhero · 2008-12-09CET19:38:51+01:00

"Come si fattorizza $x^5-1$ in C[x]?"

thedarkhero

10 dic 2008, 23:59

Ok, capito. Grazie

Fattorizzare in Z[x] o in Q[x] è quindi la stessa cosa? Si fa con Ruffini e sono a posto?

gygabyte017

11 dic 2008, 14:23

"thedarkhero":
Ok, capito. Grazie
Fattorizzare in Z[x] o in Q[x] è quindi la stessa cosa? Si fa con Ruffini e sono a posto?

Sì con ruffini sei quasi sempre a posto.

Però non è esattamente la stessa cosa...

Ti spiego bene:

Prendiamo per esempio il polinomio $x^2 - x/6 - 1/6$: si vede subito che è a coefficienti in $QQ$, e che le radici sono $1/2$ e $-1/3$ e che la fattorizzazione è $(x - 1/2)(x + 1/3)$ in $QQ[x]$, NON in $ZZ[x]$!

Però possiamo lavorare sul polinomio: $x^2 - x/6 - 1/6=1/6(6x^2-x-1)$. Il polinomio $6x^2-x-1$ ha ora coefficienti in $ZZ$, però ha come radici sempre $1/2$ e $-1/3$ che sono comunque in $QQ$! E possiamo scriverlo come $(2x-1)(3x+1)$ che è a coefficienti in $ZZ$. La fattorizzazione finale sarebbe quindi $1/6(2x-1)(3x-1)$, ma ATTENZIONE! Non è una fattorizzazione in $ZZ[x]$ perchè $1/6 notin ZZ$ mentre invece $1/6 in QQ$.

Concludendo quindi, lavorare "facendo finta" di essere in $ZZ[x]$ serve a semplificare i calcoli, ma poi bisogna sempre fare attenzione al "posto" (detto "anello dei polinomi") dove si sta cercando la fattorizzazione...

Puoi anche considerare il viceversa: ti si chiede di fattorizzare un polinomio in $ZZ[x]$, ma tu per evitare troppi conti, lo pensi in $QQ[x]$ e lo fattorizzi lì. Poi sistemi la fattorizzazione con il massimo comun denominatore, in modo da farti venire qualcosa tipo (numero)*(polinomio fattorizzato in $ZZ[x]$). Se "numero" sta pure lui in $ZZ$ hai finito, altrimenti se ti viene in $QQ$ lo dovrai moltiplicare per qualche pezzo della fattorizzazione, in modo che ti vengano tutti termini in $ZZ[x]$, ma questo non è sempre possibile...

Ti lascio un esercizio

lungo e palloso che però riassume tutto per vedere se ti è tutto chiaro:

Fattorizzare in $ZZ[x]$, $QQ[x]$, $RR[x]$ e $CC[x]$ il polinomio $x^7 - x^6/2 - 5x^5/2 + 5x^4/2 - 31x^3/2 + 9x^2 + 42x - 36$.

Buon divertimento

thedarkhero

11 dic 2008, 15:31

Non saprei come partire per fattorizzare in Z...

Lord K

11 dic 2008, 15:35

Prova intanto a trovare alcune radici...

thedarkhero

11 dic 2008, 15:45

Le possibili radici sono (per Ruffini) $+-$ 1 2 3 4 6 9.
Comunque devo raccogliere l'MCD?

gygabyte017

11 dic 2008, 15:50

Anche $+-$ 12 18.

Però una radice, per essere veramente una radice, deve annullare il polinomio! Controlla quali delle possibili radici sono veramente radici... e una volta trovate, fai la divisione polinomiale con la regola di ruffini (la dovresti conoscere credo!)

Sull'MCD mah magari sì, però puoi farlo quando preferisci...

thedarkhero

11 dic 2008, 16:05

Nessuno di questi valori annulla il polinomio

gygabyte017

11 dic 2008, 16:13

Non è vero... sei sicuro di aver eseguito bene i calcoli?

thedarkhero

11 dic 2008, 16:17

Scusate, sono 1 e -2
$(x-1)(x+2)(x^5-3/2x^4+x^3-3/2x^2-12x+18)$

gygabyte017

11 dic 2008, 16:22

esatto...

thedarkhero

11 dic 2008, 18:04

Quindi deve essere un prodotto tra un polinomio di 3° grado e uno di 2°...ne cerco i coefficienti con il sistema?

gygabyte017

11 dic 2008, 21:26

Non è detto... Potrebbe ancora starci qualche radice in $QQ$, e quindi potresti avere grado 4 per grado 1...

thedarkhero

11 dic 2008, 22:21

Ho provato ad applicare di nuovo Ruffini ma non mi trova nessuna radice...
Quindi ho provato a fare il sistema ma non so come risolverlo...

Lord K

12 dic 2008, 08:18

Dunque, se tu osservi hai che il polinomio $p(x)=x^7-(1/2)*x^6-(5/2)*x^5+(5/2)*x^4-(31/2)*x^3+9*x^2+42*x-36$

Si annulla per i seguenti valori di $QQ$:

$S={1,3/2,-2}$

Da qui con ruffini e con un pochi di calcoli ottengo che:

$p(x)=(x-1)(x+2)(x-3/2)(x^2+4)(x^2-3)$