Fattorizzazione in irriducibili negli interi Gaussiani

[Aletzunny1]

ciao a tutti, sono abbastanza disperato perchè non ho assolutamente capito come fattorizzare in irriducibili negli interi Gaussiani i seguenti numeri: $5$ , $2$ , $6+8i$ e cercando sul web non ho trovato quasi nulla.

l'unico mezzo esempio che ho e che non ho capito è il seguente:
sia $1+3i$ : poichè $1+3i=(1+i)*(2+i)$ con $N(1+i)=2$ e $N(2+i)=5$ allora $1+3i$ non è fattorizzabile in irriducibili. Perchè questo implica che non è fattorizzabile in irriducibili?

Grazie mille a chi mi darà una mano!

[solaàl]

I primi di (mathbb Z) sono fatti così: https://math.stackexchange.com/question ... torization

[Aletzunny1]

Quali fossero i primi degli interni Gaussiani ho capito...ma
1) non ho capito l'esempio che ho scritto

2) non ho capito proprio come devo ragionare per fare questa fattorizzazione

Grazie mille

[hydro1]

L'osservazione chiave è questa: c'è una mappa moltiplicativa \(N\colon \mathbb Z\to \mathbb Z_{\geq 0}\) che manda $a+bi\mapsto a^2+b^2$; di conseguenza se \(x\in\mathbb Z\) fattorizza come $yz$, allora $N(y)$ divide $N(x)$ in $\mathbb Z$. Ad esempio, supponi di voler fattorizzare $x=2$ come $yz$. Allora $N(y)$ divide 4, quindi $N(y)=1,2,4$. Se $N(y)=1$, allora $y$ è un'unità e non ci interessa. D'altronde se $N(y)=4$ allora $z$ è un'unità e non ci interessa. Quindi l'unica possibilità non banale è che $N(y)=2$. Scrivi $y=a+ib$, sicchè $a^2+b^2=2$ e risolvi. Applicando iterativamente questo argomento puoi concludere.

[Aletzunny1]

grazie! sto provando ad applicare il tuo consiglio ma ho dei dubbi

1) riuscireste a spiegarmi perchè l'esempio del mio post permette di dire quasi immediatamente sfruttando la norma che $(1+3i)$ non è fattorizzabile in irriducibili

2) per $5$ e $2$ ottengo
$5=(1+2i)(1-2i)$
$2=(1-i)(1+i)$
questo sono le fattorizzazioni richieste vero?

3) mi potreste aiutare con $6+8i$
grazie

[hydro1]

"Aletzunny":grazie! sto provando ad applicare il tuo consiglio ma ho dei dubbi

1) riuscireste a spiegarmi perchè l'esempio del mio post permette di dire quasi immediatamente sfruttando la norma che $(1+3i)$ non è fattorizzabile in irriducibili

Quello che scrivi non ha senso: \(\mathbb Z\) è un PID quindi tutti gli elementi non nulli e non unitari sono fattorizzabili in prodotto di irriducibili.

[Aletzunny1]

a ok! quindi infatti essendo in un dominio PID la fattorizzazione di $1+3i$ in irriducibile è possibile ed ad esempio è come quella scritta nell'esempio. Ho capito almeno questo?

[Aletzunny1]

"hydro":[quote="Aletzunny"]grazie! sto provando ad applicare il tuo consiglio ma ho dei dubbi

1) riuscireste a spiegarmi perchè l'esempio del mio post permette di dire quasi immediatamente sfruttando la norma che $(1+3i)$ non è fattorizzabile in irriducibili

Quello che scrivi non ha senso: \(\mathbb Z\) è un PID quindi tutti gli elementi non nulli e non unitari sono fattorizzabili in prodotto di irriducibili.[/quote]

ho provato a risolvere i due esercizi mancanti

$6+8i= 2(3+4i)$ e $2$ si scompone come prima

invece $3+4i$ ha norma $25$ e, sempre per prima, le $a^2+b^2=5$ ha $8$ possibilità al variare di $a$ e $b$ .
Ma come trovo quali $a$ e quali $b$ sono tali che il loro prodotto è $3+4i$?

allo stesso modo $1+3i$ ha norma $10=2*5$ ma come devo procedere per determinare i $2$ irriducibili (2 perchè lo so dall'esempio) tali che il loro prodotto è $1+3i$?
Grazie

[hydro1]

"Aletzunny":

invece $3+4i$ ha norma $25$ e, sempre per prima, le $a^2+b^2=5$ ha $8$ possibilità al variare di $a$ e $b$ .
Ma come trovo quali $a$ e quali $b$ sono tali che il loro prodotto è $3+4i$?

Le provi tutte.

[Aletzunny1]

"hydro":[quote="Aletzunny"]

invece $3+4i$ ha norma $25$ e, sempre per prima, le $a^2+b^2=5$ ha $8$ possibilità al variare di $a$ e $b$ .
Ma come trovo quali $a$ e quali $b$ sono tali che il loro prodotto è $3+4i$?

Le provi tutte.[/quote]

a ok brutalmente cosi!

invece per $1+3i$? come posso fare?
grazie