Estensioni di campo
sia il polinomio $f(x)=x^3+2x+2 in F=ZZ/(3ZZ)$
sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in un opportuna estensione di $F$, $K=F(\alpha)$
calcolare $card(K)$
il mio professore ha sempre trttato casi in cui f(x) aveva grado 2
e diceva "siccome il polinomio è minimo ed ha grado 2,allora gli elementi di $K$ sono del tipo $a+b\alpha$, e quindi $card(K)=(card(F))^2$"
ma non ho capito il legame fra il grado del polinomio e la scrittura degli elementi di K
mi aiutate a capire?
sia $\alpha$ una radice di $f(x)$ in un opportuna estensione di $F$, $K=F(\alpha)$
calcolare $card(K)$
il mio professore ha sempre trttato casi in cui f(x) aveva grado 2
e diceva "siccome il polinomio è minimo ed ha grado 2,allora gli elementi di $K$ sono del tipo $a+b\alpha$, e quindi $card(K)=(card(F))^2$"
ma non ho capito il legame fra il grado del polinomio e la scrittura degli elementi di K
mi aiutate a capire?
Risposte
Se $F$ è un campo, puoi costruire un'estensione di $F$ quozientando $F[x]$ su un polinomio irriducibile $f$ su $F$. Questa estensione ha la naturale struttura di spazio vettoriale su $F$, con base $1,x... x^{n-1}$ dove $n$ è il grado di $f$. In generale hai quindi una struttura molto semplice per ogni elemento dell'estensione: infatti ogni elemento sarà combinazione lineare di $1,x ... x^{n-1}$ (dunque in grado due tutti gli elementi hanno la forma $a + b x$). In particolare, se $F$ è finito, questo ti dà un facile modo per contare quanti elementi ha l'estensione.
vediamo se ho capito...io posso costruire $F(\alpha)$ ponendolo uguale a $(F[x])/(f(x))$ con $f(x)$ polinomio minimo di $\alpha$?
perchè se così fosse allora di elementi di $(F[x])/(f(x))$ sono del tipo $p(x)+(f(x))$
quindi se $p(x)$ ha grado >grado di $f$ posso scriverlo come $p(x)+(f(x))=f(x)q(x)+r(x)+(f(x))=r(x)+(f(x))$, con $r(x)$ che ha grado minore del grado di $f$ e quindi $r(x)=a+bx$
è per questo che il (grado di $f$) è uguale al (grado massimo dei polinomi di $F(\alpha)$)-1? è questo che non mi torna in particolare
perchè se così fosse allora di elementi di $(F[x])/(f(x))$ sono del tipo $p(x)+(f(x))$
quindi se $p(x)$ ha grado >grado di $f$ posso scriverlo come $p(x)+(f(x))=f(x)q(x)+r(x)+(f(x))=r(x)+(f(x))$, con $r(x)$ che ha grado minore del grado di $f$ e quindi $r(x)=a+bx$
è per questo che il (grado di $f$) è uguale al (grado massimo dei polinomi di $F(\alpha)$)-1? è questo che non mi torna in particolare
Abbiamo esteso il nostro campo con una radice $alpha$ del polinomio $x^3+2x+2$.
Questo significa che :
$f(alpha)=alpha^3+2alpha+2=0$
Sappiamo che $K$ è generato dalle potenze di $alpha$:
$K=$
Per trovare una base dobbiamo selezionare i generatori in modo che siano linearmente indipendenti e qui ci viene in soccorso il nostro polinomio $f(alpha)$:
$alpha^3=(alpha^3+2alpha+2) -2alpha -2= 0 -2alpha -2= -2alpha -2$
$alpha^4=alpha*alpha^3=-2alpha^2 -2alpha.$
Quindi una base per il nostro spazio sarà:
$K=<1,alpha,alpha^2>$
Ognuno di questi elementi avrà un coefficiente molteplicativo in $F$ per cui la dimensione di $K$ sarà:
$|K|=3*3*3=27.$
Questo significa che :
$f(alpha)=alpha^3+2alpha+2=0$
Sappiamo che $K$ è generato dalle potenze di $alpha$:
$K=
Per trovare una base dobbiamo selezionare i generatori in modo che siano linearmente indipendenti e qui ci viene in soccorso il nostro polinomio $f(alpha)$:
$alpha^3=(alpha^3+2alpha+2) -2alpha -2= 0 -2alpha -2= -2alpha -2$
$alpha^4=alpha*alpha^3=-2alpha^2 -2alpha.$
Quindi una base per il nostro spazio sarà:
$K=<1,alpha,alpha^2>$
Ognuno di questi elementi avrà un coefficiente molteplicativo in $F$ per cui la dimensione di $K$ sarà:
$|K|=3*3*3=27.$
perfetto chiarissimo!grazie a tutti per l'aiuto!
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