Estensione di campi con anello intermedio
Buonasera, sto cercando di risolvere questo quesito di Algebra.
Sia \( K \subset F \) un estensione di campi e sia $R$ un anello tale che \( K \subset R\subset F \).
Sia $r$ un elemento non nullo di $R$. Mostrare che è invertibile in $R$.
[Considerare il polinomio minimo di $r$ su $K$]
Soluzione
$R$ è anello commutativo poiché $F$ è campo e tutti gli elementi di $R$ stanno per ipotesi in $F$.
Come da suggerimento, considero il polinomio minimo $f$ di $r$ su $K$.
Questo induce un isomorfismo \( K(r)\cong K[x]\setminus (f) \).
(Si dimostra partendo dall'omomorfismo di valutazione \( \epsilon_r: K[x]\rightarrow F \) e considerando la proiezione \( \pi:K[x]\rightarrow K[x]\setminus (f) \) posso costruire un diagramma commutativo determinando tale isomorfismo.)
Ho quindi le seguenti inclusioni:
\( K \subset K(r)\cong K[X]\setminus(f) \) .
$K[x]\setminus(f)$ è campo visto che $(f)$ è ideale massimale poiché $f$ è irriducibile in $K$.
Quindi $K(r)$, essendo isomorfo ad un campo, è campo pure lui, e pertanto $r$ ammette elemento inverso.
Può andare come risoluzione?
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondermi
Sia \( K \subset F \) un estensione di campi e sia $R$ un anello tale che \( K \subset R\subset F \).
Sia $r$ un elemento non nullo di $R$. Mostrare che è invertibile in $R$.
[Considerare il polinomio minimo di $r$ su $K$]
Soluzione
$R$ è anello commutativo poiché $F$ è campo e tutti gli elementi di $R$ stanno per ipotesi in $F$.
Come da suggerimento, considero il polinomio minimo $f$ di $r$ su $K$.
Questo induce un isomorfismo \( K(r)\cong K[x]\setminus (f) \).
(Si dimostra partendo dall'omomorfismo di valutazione \( \epsilon_r: K[x]\rightarrow F \) e considerando la proiezione \( \pi:K[x]\rightarrow K[x]\setminus (f) \) posso costruire un diagramma commutativo determinando tale isomorfismo.)
Ho quindi le seguenti inclusioni:
\( K \subset K(r)\cong K[X]\setminus(f) \) .
$K[x]\setminus(f)$ è campo visto che $(f)$ è ideale massimale poiché $f$ è irriducibile in $K$.
Quindi $K(r)$, essendo isomorfo ad un campo, è campo pure lui, e pertanto $r$ ammette elemento inverso.
Può andare come risoluzione?
Grazie a chiunque avrà la cortesia di rispondermi
Risposte
Controesempio: $K=QQ$, $F=RR$ e $R=QQ[\pi]$ con $\pi=3,14159\ldots$.
Poiche' $\pi$ e' trascendente, la mappa $QQ[X]\rightarrow R$ che manda $f$ in $f(\pi)$,
e' un isomorfismo di anelli. Siccome $X$ non e' invertibile in $QQ[X]$,
l'elemento $\pi$ non e' invertibile in $R$.
Poiche' $\pi$ e' trascendente, la mappa $QQ[X]\rightarrow R$ che manda $f$ in $f(\pi)$,
e' un isomorfismo di anelli. Siccome $X$ non e' invertibile in $QQ[X]$,
l'elemento $\pi$ non e' invertibile in $R$.
Grazie per la risposta !
Non capisco allora come procedere, poiché mi viene suggerito di considerare il polinomio minimo $f$, di $r$ su $K$. Trovare il polinomio minimo mi permette di dire che $K[x]\setminus(f)$ è campo e che $K(r) \cong K[x]\setminus(f)$. Tutto questo lo so dalla teoria.
Ammesso che la strada sia questa, come posso procedere ora ?
Grazie per la disponibilità
Non capisco allora come procedere, poiché mi viene suggerito di considerare il polinomio minimo $f$, di $r$ su $K$. Trovare il polinomio minimo mi permette di dire che $K[x]\setminus(f)$ è campo e che $K(r) \cong K[x]\setminus(f)$. Tutto questo lo so dalla teoria.
Ammesso che la strada sia questa, come posso procedere ora ?
Grazie per la disponibilità
Probabilmente manca la condizione che $F$ e' un'estensione finita di $K$.
Nel testo non è specificato che tale estensione sia finita, tuttavia penso vada intesa come tale poiché abbiamo sempre trattato estensioni di questo tipo.
Infatti l'ultima "richiesta" è: concludere che $R$ è campo, per cui dovrei effettivamente riuscire a dimostrare che ogni $r$ non nullo ammette inverso in $R$.
Ammesso che tale estensione sia finita, il mio procedimento può essere valido ?
Infatti l'ultima "richiesta" è: concludere che $R$ è campo, per cui dovrei effettivamente riuscire a dimostrare che ogni $r$ non nullo ammette inverso in $R$.
Ammesso che tale estensione sia finita, il mio procedimento può essere valido ?
Si potrebbe anche soltanto richiedere che $F$ e' un'estensione
algebrica di $K$. Questo vuol dire che ogni $r\in F$ ha un polinomio
minimo in $K[X]$. E puoi quindi procedere come fai tu.
algebrica di $K$. Questo vuol dire che ogni $r\in F$ ha un polinomio
minimo in $K[X]$. E puoi quindi procedere come fai tu.
Quindi in sostanza, se \( K\subset F \) è estensione allora ogni elemento $r$ di $F$ ha polinomio minimo.
Quindi, poichè $r in R$, ogni elemento di $R$ ha un polinomio minimo e quindi per ogni elemento posso costruire $K(r)$, che viene ad essere campo (visto che è isomorfo a $K[x]\setminus(f)$), e quindi $r$ ammette elemento inverso in $R$.
Tutto corretto? Ci terrei molto ad avere le idee chiare
Quindi, poichè $r in R$, ogni elemento di $R$ ha un polinomio minimo e quindi per ogni elemento posso costruire $K(r)$, che viene ad essere campo (visto che è isomorfo a $K[x]\setminus(f)$), e quindi $r$ ammette elemento inverso in $R$.
Tutto corretto? Ci terrei molto ad avere le idee chiare
Quindi in sostanza, se K⊂F è estensione allora ogni elemento r di F ha polinomio minimo.
se $K\subset F$ e' un'estensione algebrica
Certo, ora modifico ! Nella fretta di scrivere avevo dimenticato la cosa più importante !
Se non fosse un'estensione algebrica, come hai mostrato nel controesempio, non è vero che ogni $r$ ammette inverso. Infatti non potrei trovare il polinomio minimo di qualche $r in R$ che risulterebbe così essere trascendente
Se non fosse un'estensione algebrica, come hai mostrato nel controesempio, non è vero che ogni $r$ ammette inverso. Infatti non potrei trovare il polinomio minimo di qualche $r in R$ che risulterebbe così essere trascendente
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