Estensione dei razionali a cui aggiungo una radice 52-esima primitiva di 1
Ciao a tutti (:
Sto studiando l'estensione $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di $ \mathbb{Q} $, dove $ \zeta_{52} $ e' una radice 52-esima primitiva di 1. Dalla teoria di Galois so che il gruppo di Galois $ G = Gal({\mathbb{Q}(\zeta_{52})} / \mathbb{Q}) $ e' isomorfo a $ (\mathbb{Z}/{52\mathbb{Z}})^{\ast} $ . Voglio studiare i sottogruppi di indice 2, che per la corrispondenza di Galois corrispondono ai sottocampi di $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di grado 2 su $ \mathbb{Q} $, cioe' le estensioni quadratiche di $ \mathbb{Q} $ contenute in $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $.
Ho trovato che $$ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{4}) = \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{13}) $$
e che $$ \mathbb{Q}(\sqrt{13}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{13}) = \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{4}) $$.
Inoltre, siccome $ \sqrt{-1} = e^{i \pi/2} = (\zeta_{52})^{13} $ allora gli automorfismi di $ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) $ sono quelli che fissano $ (\zeta_{52})^{13} $. Sia $ \sigma_k $ uno di questi, allora $$ \sigma_k (\zeta_{52})^{13}) = (\zeta_{52})^{13k} = (\zeta_{52})^{13} $$dove la prima uguaglianza deriva dalla definizione di $ \sigma_k $ e la seconda perche' voglio che $ (\zeta_{52})^{13} $ sia fissato. Da qui ottengo $$ 13k \equiv 13 \mod{52} $$ e quindi $$ k \equiv 1 \mod{4} $$. Allora guardando la lista dei sottogruppi di $ (\mathbb{Z}/{52\mathbb{Z}})^{\ast} $ guardo quello con gli elementi congrui a 1 modulo 4 e di indice 2 e trovo che $ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) = L_{ \langle 9,5 \rangle } $ cioe' il campo degli elementi tenuti fermi da tutti gli automorfismi di $ \langle 9,5 \rangle $ (per la corrispondeza di Galois).
Si noti che l'indice del sottogruppo di $G$ e' lo stesso del grado dell'estensione $ [\mathbb{Q}((\zeta_{52})^{13}) : \mathbb{Q}] $.
Facendo la stessa cosa con $ \sqrt{13} $ trovo che $ \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{4}) = L_{ \langle 27 \rangle } $ e vorrei poter dire che questo campo contiene un'unica estensione di grado 2, ma secondo i miei conti non e' cosi', anzi non contiene alcuna estensione quadratica!
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio perfavore??
Grazie mille in anticipo (:
Sto studiando l'estensione $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di $ \mathbb{Q} $, dove $ \zeta_{52} $ e' una radice 52-esima primitiva di 1. Dalla teoria di Galois so che il gruppo di Galois $ G = Gal({\mathbb{Q}(\zeta_{52})} / \mathbb{Q}) $ e' isomorfo a $ (\mathbb{Z}/{52\mathbb{Z}})^{\ast} $ . Voglio studiare i sottogruppi di indice 2, che per la corrispondenza di Galois corrispondono ai sottocampi di $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $ di grado 2 su $ \mathbb{Q} $, cioe' le estensioni quadratiche di $ \mathbb{Q} $ contenute in $ \mathbb{Q}(\zeta_{52}) $.
Ho trovato che $$ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{4}) = \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{13}) $$
e che $$ \mathbb{Q}(\sqrt{13}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{13}) = \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{4}) $$.
Inoltre, siccome $ \sqrt{-1} = e^{i \pi/2} = (\zeta_{52})^{13} $ allora gli automorfismi di $ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) $ sono quelli che fissano $ (\zeta_{52})^{13} $. Sia $ \sigma_k $ uno di questi, allora $$ \sigma_k (\zeta_{52})^{13}) = (\zeta_{52})^{13k} = (\zeta_{52})^{13} $$dove la prima uguaglianza deriva dalla definizione di $ \sigma_k $ e la seconda perche' voglio che $ (\zeta_{52})^{13} $ sia fissato. Da qui ottengo $$ 13k \equiv 13 \mod{52} $$ e quindi $$ k \equiv 1 \mod{4} $$. Allora guardando la lista dei sottogruppi di $ (\mathbb{Z}/{52\mathbb{Z}})^{\ast} $ guardo quello con gli elementi congrui a 1 modulo 4 e di indice 2 e trovo che $ \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) = L_{ \langle 9,5 \rangle } $ cioe' il campo degli elementi tenuti fermi da tutti gli automorfismi di $ \langle 9,5 \rangle $ (per la corrispondeza di Galois).
Si noti che l'indice del sottogruppo di $G$ e' lo stesso del grado dell'estensione $ [\mathbb{Q}((\zeta_{52})^{13}) : \mathbb{Q}] $.
Facendo la stessa cosa con $ \sqrt{13} $ trovo che $ \mathbb{Q}((\zeta_{52})^{4}) = L_{ \langle 27 \rangle } $ e vorrei poter dire che questo campo contiene un'unica estensione di grado 2, ma secondo i miei conti non e' cosi', anzi non contiene alcuna estensione quadratica!
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio perfavore??
Grazie mille in anticipo (:
Risposte
Io vedo tre estensioni di grado 2, quella che hai trovato tu, cioè $QQ(i)$, corrisponde giustamente a $\langle 5,9 \rangle$ che puoi anche scrivere come $\langle 5 \cdot 9 \rangle = \langle -7 \rangle$. Gli altri due sottogruppi di indice 2 sono $\langle 7 \rangle$ e $\langle -1,3 \rangle$. Quest'ultimo non è ciclico. Non so se sia fattibile trovare generatori (nel senso di pochi e belli) per i corrispondenti intercampi, magari ci penso.
Non capisco come fai a dire che $\sqrt{13} \in \mathbb{Q}(\zeta_{13})$.
Non capisco come fai a dire che $\sqrt{13} \in \mathbb{Q}(\zeta_{13})$.
Intanto grazie mille (:
Anche io ho trovato $ \langle 7 \rangle $ ma non ho trovato quello non ciclico. Devo provare.
Per quanto riguardo $ \mathbb{Q}(\sqrt{13}) $:
ho usato il teorema 5.13 del libro Teoria dei Numeri 2 di K. Kato: dice che preso $ m \in \mathbb{Z} $, allora $$ \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{|m|}) \ \text{ se } m \equiv 1 \mod{4} $$ e invece $$ \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{4|m|}) \ \text{ se } m \equiv 2,3 \mod{4} $$.
Anche io ho trovato $ \langle 7 \rangle $ ma non ho trovato quello non ciclico. Devo provare.
Per quanto riguardo $ \mathbb{Q}(\sqrt{13}) $:
ho usato il teorema 5.13 del libro Teoria dei Numeri 2 di K. Kato: dice che preso $ m \in \mathbb{Z} $, allora $$ \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{|m|}) \ \text{ se } m \equiv 1 \mod{4} $$ e invece $$ \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{4|m|}) \ \text{ se } m \equiv 2,3 \mod{4} $$.
Beh se vuoi trovare le estensioni di grado 2 e sai che sono tre e che due sono generate da $i$ e $\sqrt{13}$ allora la terza sarà quella generata da $i \sqrt{13}$ 
Giusto! grazie (:
Ma riusciresti a spiegarmi come hai fatto a dire che c'è un gruppo non ciclico di indice 2?
Ma riusciresti a spiegarmi come hai fatto a dire che c'è un gruppo non ciclico di indice 2?
Hai $(ZZ//52ZZ)^{\ast} = (ZZ//4ZZ xx ZZ//13ZZ)^{\ast} = (ZZ//4ZZ)^{\ast} xx (ZZ//13ZZ)^{\ast} \cong ZZ_2 xx ZZ_{12} = \langle -1 \rangle xx \langle 7 \rangle$, e questo gruppo contiene il sottogruppo non ciclico $ZZ_2 xx ZZ_6$, che ha indice 2.
Ah okay, ho capito! Non ci avevo pensato..
Grazie mille (:
Grazie mille (:
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo