Estensione dei numeri complessi nello spazio tridimensionale
Sono uno studioso di matematica ed ho sviluppato dei numeri, da me chiamati numeri completi, in grado di estendere i numeri complessi nello spazio tridimensionale.
La loro espressione è la seguente:
o(a,b,c)= a + b • i + c • u
la seguente regola per l'addizione:
o(a,b,c) = o(a1,b1,c1) + o (a2,b2,c2)
a = a1+a2
b = b1+b2
c = c1+c2
e la seguente regola della moltiplicazione:
o(a,b,c) = o(a1,b1,c1) • o (a2,b2,c2)
a= [(a1•a2)-(b1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
b= [(b1•a2)+(a1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
c= c1•√(a22+b22)+c2•√(a12+b12)
La loro interpretazione geometrica è la seguente (t è il modulo, γ l'angolo piano e θ l'angolo spaziale):
o(t,θ,γ) = t • {[cos(γ)•cos(θ)] + i • [cos(γ)•sin(θ)] + u • [sin(γ)]}
e nel caso della moltiplicazione tra due generici numeri completi:
o1(t1,θ1,γ1) = t1 • {[cos(γ1)•cos(θ1)] + i • [cos(γ1)•sin(θ1)] + u • [sin(γ1)]}
o2(t2,θ2,γ2) = t2 • {[cos(γ2)•cos(θ2)] + i • [cos(γ2)•sin(θ2)] + u • [sin(γ2)]}
il risultato ha la seguente interpretazione geometrica (moltiplicazione dei moduli, somma degli angoli):
o1(t1,θ1,γ1)•o2(t2,θ2,γ2)=(t1•t2)•{[cos(γ1+γ2)•cos(θ1+θ2)]+ i•[cos(γ1+γ2)•sin(θ1+θ2)]+u•[sin(γ1+γ2)]}
Più in generale per i numeri completi possono essere definite tutte le operazioni introdotte per i reali e per i complessi, all'interno delle quali valgono tutte le proprietà standard (compresa l'esistenza dell'elemento opposto della somma, e dell'inverso della moltiplicazione), tranne quelle distributive (ed è per questo che i numero completi non rientrano nelle classiche strutture algebriche).
Va anche aggiunto che nel caso dei numeri completi la moltiplicazione non è sempre definita (come si evince dalla regola della moltiplicazione, nella necessità di evitare che i denominatori introdotti si annullino ).
È superfluo sottolineare che se annulliamo il coefficiente c dell'asse U, i numeri completi si riconducono immediatamente e da ogni punto di vista a quelli complessi.
Tutta la mia ricerca sui numeri completi, con annessa dimostrazione di tutte le proprietà qui accennate potete trovarla all'indirizzo:
http://nicoladalfonso.blogspot.com/p/nu ... pleti.html
Tra l'altro all'interno di questa ricerca mostro come sia possibile estendere i numeri completi nelle n dimensioni dello spazio (con n numero arbitrario).
Ho deciso di scrivere in questo forum perché mi trovo a fare i conti con la necessità che la mia ricerca sia valutata da docenti universitari dal momento che NON intendendo mandarla alle riviste internazionali di settore. Non sono contrario al peer review, che di fatto sto richiedendo, ma alla scelta di tale riviste di togliere agli autori ogni diritto sulle ricerche che pubblicano, vendendo a caro prezzo alle università la possibilità di consultarle. Inoltre non voglio entrare nel mondo accademico e quindi posso permettermi il lusso di non apparire né essere citato da tali riviste.
Non so se tra voi ci siano docenti universitari, ma è possibile che alcuni di voi li conoscano, o sappiano comunque come contattarli e convincerli a valutare il mio lavoro. Insomma ho deciso di scommettere sulla capacità di questo forum non solo di valutare la mia ricerca (cosa ovvia essendo la matematica da me utilizzata una matematica di base), ma di poter far sentire la sua voce in ambito accademico.
Insomma se ritenete che il mio lavoro sia valido, e che era ora che un italiano facesse una nuova interessante scoperta in matematica, aiutatemi a divulgare la mia ricerca tra i docenti e le università.
Nicola D'Alfonso
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La loro espressione è la seguente:
o(a,b,c)= a + b • i + c • u
la seguente regola per l'addizione:
o(a,b,c) = o(a1,b1,c1) + o (a2,b2,c2)
a = a1+a2
b = b1+b2
c = c1+c2
e la seguente regola della moltiplicazione:
o(a,b,c) = o(a1,b1,c1) • o (a2,b2,c2)
a= [(a1•a2)-(b1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
b= [(b1•a2)+(a1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
c= c1•√(a22+b22)+c2•√(a12+b12)
La loro interpretazione geometrica è la seguente (t è il modulo, γ l'angolo piano e θ l'angolo spaziale):
o(t,θ,γ) = t • {[cos(γ)•cos(θ)] + i • [cos(γ)•sin(θ)] + u • [sin(γ)]}
e nel caso della moltiplicazione tra due generici numeri completi:
o1(t1,θ1,γ1) = t1 • {[cos(γ1)•cos(θ1)] + i • [cos(γ1)•sin(θ1)] + u • [sin(γ1)]}
o2(t2,θ2,γ2) = t2 • {[cos(γ2)•cos(θ2)] + i • [cos(γ2)•sin(θ2)] + u • [sin(γ2)]}
il risultato ha la seguente interpretazione geometrica (moltiplicazione dei moduli, somma degli angoli):
o1(t1,θ1,γ1)•o2(t2,θ2,γ2)=(t1•t2)•{[cos(γ1+γ2)•cos(θ1+θ2)]+ i•[cos(γ1+γ2)•sin(θ1+θ2)]+u•[sin(γ1+γ2)]}
Più in generale per i numeri completi possono essere definite tutte le operazioni introdotte per i reali e per i complessi, all'interno delle quali valgono tutte le proprietà standard (compresa l'esistenza dell'elemento opposto della somma, e dell'inverso della moltiplicazione), tranne quelle distributive (ed è per questo che i numero completi non rientrano nelle classiche strutture algebriche).
Va anche aggiunto che nel caso dei numeri completi la moltiplicazione non è sempre definita (come si evince dalla regola della moltiplicazione, nella necessità di evitare che i denominatori introdotti si annullino ).
È superfluo sottolineare che se annulliamo il coefficiente c dell'asse U, i numeri completi si riconducono immediatamente e da ogni punto di vista a quelli complessi.
Tutta la mia ricerca sui numeri completi, con annessa dimostrazione di tutte le proprietà qui accennate potete trovarla all'indirizzo:
http://nicoladalfonso.blogspot.com/p/nu ... pleti.html
Tra l'altro all'interno di questa ricerca mostro come sia possibile estendere i numeri completi nelle n dimensioni dello spazio (con n numero arbitrario).
Ho deciso di scrivere in questo forum perché mi trovo a fare i conti con la necessità che la mia ricerca sia valutata da docenti universitari dal momento che NON intendendo mandarla alle riviste internazionali di settore. Non sono contrario al peer review, che di fatto sto richiedendo, ma alla scelta di tale riviste di togliere agli autori ogni diritto sulle ricerche che pubblicano, vendendo a caro prezzo alle università la possibilità di consultarle. Inoltre non voglio entrare nel mondo accademico e quindi posso permettermi il lusso di non apparire né essere citato da tali riviste.
Non so se tra voi ci siano docenti universitari, ma è possibile che alcuni di voi li conoscano, o sappiano comunque come contattarli e convincerli a valutare il mio lavoro. Insomma ho deciso di scommettere sulla capacità di questo forum non solo di valutare la mia ricerca (cosa ovvia essendo la matematica da me utilizzata una matematica di base), ma di poter far sentire la sua voce in ambito accademico.
Insomma se ritenete che il mio lavoro sia valido, e che era ora che un italiano facesse una nuova interessante scoperta in matematica, aiutatemi a divulgare la mia ricerca tra i docenti e le università.
Nicola D'Alfonso
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Risposte
Nell'attesa che qualcuno più competente di me faccia sentire la sua opinione, dico quello che penso, che poi non è molto. Mi sembra semplicemente (parlo da studente di un terzo anno di matematica) che questi fantomatici numeri completi siano una versione più difficile da maneggiare delle matrici. In effetti ogni vettore nello spazio può essere ottenuto come immagine di [tex](1,0,0)[/tex] (ad esempio) mediante la composizione di una matrice scalare e di una matrice di [tex]SO(3)[/tex] (l'azione del gruppo [tex]\{\rho A, A \in SO(3), \rho \in \mathbb{R}^+\}[/tex] è transitiva su [tex]R^3[/tex]). Non mi sono messo a fare i conti, ma giurerei che si otterrebbero esattamente le stesse regole di addizione e moltiplicazione.
P.S. Il sistema numerico dei complessi non necessita di alcuna estensione: ha tutto quello di cui un sistema numerico ha bisogno. E' un campo, ed è algebricamente chiuso. Non vedo motivi per cui ci sia bisogno di salire di dimensione. In ogni caso, rinunciare alla distributività, mi sembra folle in un sistema numerico (pensiamo solamente ai polinomi a coefficienti nel sistema numerico considerato: se non ci fosse distributività, le operazioni tra polinomi avrebbero ben poco senso). Tutt'al più possiamo rinunciare alla commutatività del prodotto (v. qui); già rinunciare all'associatività è più problematico (v. qui).
P.S. Il sistema numerico dei complessi non necessita di alcuna estensione: ha tutto quello di cui un sistema numerico ha bisogno. E' un campo, ed è algebricamente chiuso. Non vedo motivi per cui ci sia bisogno di salire di dimensione. In ogni caso, rinunciare alla distributività, mi sembra folle in un sistema numerico (pensiamo solamente ai polinomi a coefficienti nel sistema numerico considerato: se non ci fosse distributività, le operazioni tra polinomi avrebbero ben poco senso). Tutt'al più possiamo rinunciare alla commutatività del prodotto (v. qui); già rinunciare all'associatività è più problematico (v. qui).
A vedere come e' definita la moltiplicazione non mi sembra che i tuoi numeri completi estendano i numeri complessi. La tua definizione se capisco bene e' la seguente.
[tex](a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=[/tex]
[tex]((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex](b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex]c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2})[/tex].
Se qui metto [tex]c_1=c_2=0[/tex] non ottengo la classica moltiplicazione in [tex]\mathbb{C}[/tex], infatti con la tua definizione per esempio [tex](1+i)^2 = i[/tex], mentre in [tex]\mathbb{C}[/tex] si ha [tex](1+i)^2 = 2i[/tex].
Si puo' accettare che manchi la distributivita', ma fatico a trovare un'utilita' nel fatto che il prodotto non sia nemmeno definito ovunque.
[tex](a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=[/tex]
[tex]((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex](b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex]c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2})[/tex].
Se qui metto [tex]c_1=c_2=0[/tex] non ottengo la classica moltiplicazione in [tex]\mathbb{C}[/tex], infatti con la tua definizione per esempio [tex](1+i)^2 = i[/tex], mentre in [tex]\mathbb{C}[/tex] si ha [tex](1+i)^2 = 2i[/tex].
Si puo' accettare che manchi la distributivita', ma fatico a trovare un'utilita' nel fatto che il prodotto non sia nemmeno definito ovunque.
Alcune domande banali:
- cosa sono i tuoi a, b, c? Interi, reali, complessi, altro?
- cosa intendi per "estendere allo spazio tridimensionale"? Che c'entrano i complessi con lo spazio?
- (già fatta) a che serve questa struttura?
- cosa sono i tuoi a, b, c? Interi, reali, complessi, altro?
- cosa intendi per "estendere allo spazio tridimensionale"? Che c'entrano i complessi con lo spazio?
- (già fatta) a che serve questa struttura?
Rispondo brevemente alle domande:
- a,b,c sono le componenti reali dei numeri completi, così come le sole a,b lo sono dei numeri complessi
- i reali sono definiti su una retta (la retta dei reali, 1 dimensione), i complessi sono definiti su un piano (il piano dei complessi, 2 dimensioni), e i completi sono definiti nello spazio (lo spazio dei completi, 3 dimensioni).
- i completi servono a definire operazioni nello spazio tridimensionale (operazioni come ad esempio la rotazione), e tante altre cose che magari adesso non possiamo immaginare
I numeri completi si manipolano molto facilmente in moltissime circostanze, proprio come si manipolano facilmente i numeri complessi.
L'unica complicazione la si ha nelle circostanze in cui non si può usare la proprietà distributiva, e ciò in effetti limita la libertà di azione nel caso dei polinomi, ma non fino al punto da renderli inutili.
Altro problema lo si ha con le equazioni, nel preciso senso che non si possono sfruttare le formule risolutive (come ad esempio quella classica delle eq. di secondo grado) essendo queste ottenute sfruttando la proprietà distributiva.
Le limitazioni sono comunque sorprendentemente poche, soprattutto se consideriamo che è possibile definire i completi in uno spazio n dimensionale (senza limitarsi alla terza dimensione).
Ed è falso che i complessi non abbiano bisogno di essere estesi visto che viviamo in uno spazio tridimensionale, e quindi può essere utile riuscire a fare operazioni in tale spazio (cosa che i complessi non sono in grado di fare).
I numeri completi sono la corretta estensione di quelli complessi, e se annulli i coefficienti c, la regola della moltiplicazione diviene identica a quella dei complessi, quindi non c'è nenanche bisogno di procedere a fare calcoli. Nel caso che hai presentato della moltiplicaizone (1+i)^2 il risultato è 2i in entrambi i casi.
Il fatto che il prodotto non sia definito ovunque non è una limitazione rilevante (sebbene complica i calcoli, perchè introduce ulteriori condizioni da controllare). In pratica è come accade con la divisione, la quale non è sempre definita (non si può dividere per zero), eppure è ugualmente utile.
"Rggb":
Alcune domande banali:
- cosa sono i tuoi a, b, c? Interi, reali, complessi, altro?
- cosa intendi per "estendere allo spazio tridimensionale"? Che c'entrano i complessi con lo spazio?
- (già fatta) a che serve questa struttura?
- a,b,c sono le componenti reali dei numeri completi, così come le sole a,b lo sono dei numeri complessi
- i reali sono definiti su una retta (la retta dei reali, 1 dimensione), i complessi sono definiti su un piano (il piano dei complessi, 2 dimensioni), e i completi sono definiti nello spazio (lo spazio dei completi, 3 dimensioni).
- i completi servono a definire operazioni nello spazio tridimensionale (operazioni come ad esempio la rotazione), e tante altre cose che magari adesso non possiamo immaginare
"maurer":
Nell'attesa che qualcuno più competente di me faccia sentire la sua opinione, dico quello che penso, che poi non è molto. Mi sembra semplicemente (parlo da studente di un terzo anno di matematica) che questi fantomatici numeri completi siano una versione più difficile da maneggiare delle matrici. In effetti ogni vettore nello spazio può essere ottenuto come immagine di (1,0,0) (ad esempio) mediante la composizione di una matrice scalare e di una matrice di SO(3) (l'azione del gruppo \{\rho A, A \in SO(3), \rho \in \mathbb{R}^+\} è transitiva su R^3). Non mi sono messo a fare i conti, ma giurerei che si otterrebbero esattamente le stesse regole di addizione e moltiplicazione.
P.S. Il sistema numerico dei complessi non necessita di alcuna estensione: ha tutto quello di cui un sistema numerico ha bisogno. E' un campo, ed è algebricamente chiuso. Non vedo motivi per cui ci sia bisogno di salire di dimensione. In ogni caso, rinunciare alla distributività, mi sembra folle in un sistema numerico (pensiamo solamente ai polinomi a coefficienti nel sistema numerico considerato: se non ci fosse distributività, le operazioni tra polinomi avrebbero ben poco senso). Tutt'al più possiamo rinunciare alla commutatività del prodotto (v. qui); già rinunciare all'associatività è più problematico (v. qui).
I numeri completi si manipolano molto facilmente in moltissime circostanze, proprio come si manipolano facilmente i numeri complessi.
L'unica complicazione la si ha nelle circostanze in cui non si può usare la proprietà distributiva, e ciò in effetti limita la libertà di azione nel caso dei polinomi, ma non fino al punto da renderli inutili.
Altro problema lo si ha con le equazioni, nel preciso senso che non si possono sfruttare le formule risolutive (come ad esempio quella classica delle eq. di secondo grado) essendo queste ottenute sfruttando la proprietà distributiva.
Le limitazioni sono comunque sorprendentemente poche, soprattutto se consideriamo che è possibile definire i completi in uno spazio n dimensionale (senza limitarsi alla terza dimensione).
Ed è falso che i complessi non abbiano bisogno di essere estesi visto che viviamo in uno spazio tridimensionale, e quindi può essere utile riuscire a fare operazioni in tale spazio (cosa che i complessi non sono in grado di fare).
"Martino":
A vedere come e' definita la moltiplicazione non mi sembra che i tuoi numeri completi estendano i numeri complessi. La tua definizione se capisco bene e' la seguente.
(a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=
((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},
(b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},
c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2}).
Se qui metto c_1=c_2=0 non ottengo la classica moltiplicazione in \mathbb{C}, infatti con la tua definizione per esempio (1+i)^2 = i, mentre in \mathbb{C} si ha (1+i)^2 = 2i.
Si puo' accettare che manchi la distributivita', ma fatico a trovare un'utilita' nel fatto che il prodotto non sia nemmeno definito ovunque.
I numeri completi sono la corretta estensione di quelli complessi, e se annulli i coefficienti c, la regola della moltiplicazione diviene identica a quella dei complessi, quindi non c'è nenanche bisogno di procedere a fare calcoli. Nel caso che hai presentato della moltiplicaizone (1+i)^2 il risultato è 2i in entrambi i casi.
Il fatto che il prodotto non sia definito ovunque non è una limitazione rilevante (sebbene complica i calcoli, perchè introduce ulteriori condizioni da controllare). In pratica è come accade con la divisione, la quale non è sempre definita (non si può dividere per zero), eppure è ugualmente utile.
Non direi, ho provato e vengono due risultati diversi, come ho scritto nell'intervento precedente. Ripeto, secondo le tue regole si ha [tex](1+i)^2=i[/tex], prova."Martino":I numeri completi sono la corretta estensione di quelli complessi, e se annulli i coefficienti c, la regola della moltiplicazione diviene identica a quella dei complessi, quindi non c'è nenanche bisogno di procedere a fare calcoli. Nel caso che hai presentato della moltiplicaizone (1+i)^2 il risultato è 2i in entrambi i casi.
A vedere come e' definita la moltiplicazione non mi sembra che i tuoi numeri completi estendano i numeri complessi. La tua definizione se capisco bene e' la seguente.
(a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=
((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},
(b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2)/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},
c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2}).
Se qui metto c_1=c_2=0 non ottengo la classica moltiplicazione in \mathbb{C}, infatti con la tua definizione per esempio (1+i)^2 = i, mentre in \mathbb{C} si ha (1+i)^2 = 2i.
Si puo' accettare che manchi la distributivita', ma fatico a trovare un'utilita' nel fatto che il prodotto non sia nemmeno definito ovunque.
Il fatto che il prodotto non sia definito ovunque non è una limitazione rilevante (sebbene complica i calcoli, perchè introduce ulteriori condizioni da controllare). In pratica è come accade con la divisione, la quale non è sempre definita (non si può dividere per zero), eppure è ugualmente utile.Il fatto che il prodotto non sia definito ovunque fa si' che il tuo insieme di numeri non sia una struttura algebrica (nemmeno un semigruppo), quindi per convincere i matematici che e' utile dovresti parlare di qualche sua proprieta' concreta. Tipo, [tex]\mathbb{C}[/tex] e' un campo che estende [tex]\mathbb{R}[/tex] ed e' algebricamente chiuso. I numeri completi che proprieta' hanno?
Concordo con Martino, e aggiungo:
mi sembra una motivazione alquanto debole. Come ho già detto, abbiamo una teoria estremamente sviluppata circa le matrici, che consente di descrivere in modo efficace qualsiasi trasformazione lineare dello spazio [tex]n[/tex]-dimensionale, in particolare le rotazioni. Non vedo perché dovremmo buttare via 150 di risultati tecnici ed una teoria armonica per una costruzione che mi sembra molto meno potente.
"NicolaDalfonso":
- i completi servono a definire operazioni nello spazio tridimensionale (operazioni come ad esempio la rotazione), e tante altre cose che magari adesso non possiamo immaginare
mi sembra una motivazione alquanto debole. Come ho già detto, abbiamo una teoria estremamente sviluppata circa le matrici, che consente di descrivere in modo efficace qualsiasi trasformazione lineare dello spazio [tex]n[/tex]-dimensionale, in particolare le rotazioni. Non vedo perché dovremmo buttare via 150 di risultati tecnici ed una teoria armonica per una costruzione che mi sembra molto meno potente.
"Martino":
Non direi, ho provato e vengono due risultati diversi, come ho scritto nell'intervento precedente. Ripeto, secondo le tue regole si ha [tex](1+i)^2=i[/tex], prova.
Avevo già provato, anche se non era necessario. Ora ti mostro i calcoli, che ritengo tu abbia sbagliato per aver letto male le parentesi da me utilizzate. PArto dalla regola della moltiplicazione così definita:
o(a,b,c) = o(a1,b1,c1) • o (a2,b2,c2)
a= [(a1•a2)-(b1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
b= [(b1•a2)+(a1•b2)]•{1-(c1•c2)/[√(a12+b12)•√(a22+b22)]}
c= c1•√(a22+b22)+c2•√(a12+b12)
Per c1,c2=0 il termine (c1•c2) si annulla, facendo scoparire i denominatori, e si ha:
a= [(a1•a2)-(b1•b2)]•{1-0}
b= [(b1•a2)+(a1•b2)]•{1-0}
c= 0
Il termine (i+i)*(i+1) ha valori:
a1=a2=1
b1=b2=1
c1=c2=0
da cui si ottiene:
a=0
b=2
c=0
ovvero il risultato è 2*i
"Martino":
Il fatto che il prodotto non sia definito ovunque fa si' che il tuo insieme di numeri non sia una struttura algebrica (nemmeno un semigruppo), quindi per convincere i matematici che e' utile dovresti parlare di qualche sua proprieta' concreta. Tipo, [tex]\mathbb{C}[/tex] e' un campo che estende [tex]\mathbb{R}[/tex] ed e' algebricamente chiuso. I numeri completi che proprieta' hanno?
Non credo sia necessario convincere i matematici dell'utilità dei numeri completi, essendo essa evidente. Basta solo accennare che permettono di fare le rotazioni spaziali in modo davvero elementare (mentre oggi usando i quaternioni si fa molta più fatica).
In ogni caso il discorso sull'utilità è fuorviante nel preciso senso che l'utilità dei numeri non è la discriminante che interessa i matematici per stabilire se debbono o meno essere accettati. Tanto più che nessuno può prevedere in anticipo le applicazioni che possono avere dei numeri appena introdotti.
"maurer":
Come ho già detto, abbiamo una teoria estremamente sviluppata circa le matrici, che consente di descrivere in modo efficace qualsiasi trasformazione lineare dello spazio n-dimensionale, in particolare le rotazioni. Non vedo perché dovremmo buttare via 150 di risultati tecnici ed una teoria armonica per una costruzione che mi sembra molto meno potente.
Ripeto la questione di stabilire quanto i numeri completi possano essere utili è essa stessa completamente "inutile" perchè solo il tempo consentirà di rispondere a questa domanda. E anche qualora i numeri completi fossero totalmente inutili (cosa chiaramente impossibile), sarebbe ugualmente giusto inquadrarli nella corretta prospettiva storica di aver generalizzato i numeri nello spazio n-dimensionale.
:
Hai ragione, avevo letto male le parentesi, scusa non sono abituato all'assenza del tex nella scrittura delle formule 
(tra parentesi, ti consiglio di usare le formule, altrimenti ci saranno altri equivoci di questo tipo). Ora avrei un'altra domanda. Come mai nella tua interpretazione geometrica il prodotto e' definito ovunque, mentre secondo la tua definizione originale del prodotto no? Ti faccio un esempio.
[tex](a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=[/tex]
[tex]((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}),[/tex]
[tex](b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex]c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2})[/tex].
Mi confermi che e' questa? E' importante che siamo d'accordo almeno su come e' definita l'operazione. Secondo questa definizione il prodotto [tex]u^2[/tex] non si puo' nemmeno fare (si annullano i denominatori). Mentre come ho detto sopra seguendo la tua interpretazione geometrica si ha [tex]u^2=-1[/tex].
Dovresti specificare che la tua interpretazione geometrica vale al di fuori dell'asse [tex]u[/tex].
(tra parentesi, ti consiglio di usare le formule, altrimenti ci saranno altri equivoci di questo tipo). Ora avrei un'altra domanda. Come mai nella tua interpretazione geometrica il prodotto e' definito ovunque, mentre secondo la tua definizione originale del prodotto no? Ti faccio un esempio."NicolaDalfonso":Se qui mettiamo [tex]y_1=y_2=\pi/2[/tex], [tex]t_1=t_2=1[/tex] e [tex]\theta_1=\theta_2=0[/tex] otteniamo [tex]u^2=-1[/tex], ma questo non corrisponde alla definizione del tuo prodotto, che se capisco bene e' questa:
o(t,θ,γ) = t • {[cos(γ)•cos(θ)] + i • [cos(γ)•sin(θ)] + u • [sin(γ)]}
e nel caso della moltiplicazione tra due generici numeri completi:
o1(t1,θ1,γ1) = t1 • {[cos(γ1)•cos(θ1)] + i • [cos(γ1)•sin(θ1)] + u • [sin(γ1)]}
o2(t2,θ2,γ2) = t2 • {[cos(γ2)•cos(θ2)] + i • [cos(γ2)•sin(θ2)] + u • [sin(γ2)]}
il risultato ha la seguente interpretazione geometrica (moltiplicazione dei moduli, somma degli angoli):
o1(t1,θ1,γ1)•o2(t2,θ2,γ2)=(t1•t2)•{[cos(γ1+γ2)•cos(θ1+θ2)]+ i•[cos(γ1+γ2)•sin(θ1+θ2)]+u•[sin(γ1+γ2)]}
[tex](a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=[/tex]
[tex]((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}),[/tex]
[tex](b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex]c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2})[/tex].
Mi confermi che e' questa? E' importante che siamo d'accordo almeno su come e' definita l'operazione. Secondo questa definizione il prodotto [tex]u^2[/tex] non si puo' nemmeno fare (si annullano i denominatori). Mentre come ho detto sopra seguendo la tua interpretazione geometrica si ha [tex]u^2=-1[/tex].
Dovresti specificare che la tua interpretazione geometrica vale al di fuori dell'asse [tex]u[/tex].
"Martino":
Se qui mettiamo [tex]y_1=y_2=\pi/2[/tex], [tex]t_1=t_2=1[/tex] e [tex]\theta_1=\theta_2=0[/tex] otteniamo [tex]u^2=-1[/tex], ma questo non corrisponde alla definizione del tuo prodotto, che se capisco bene e' questa:
[tex](a_1, b_1, c_1) \ast (a_2, b_2, c_2) :=[/tex]
[tex]((a_1a_2-b_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}),[/tex]
[tex](b_1a_2+a_1b_2)(1-c_1c_2/\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)},[/tex]
[tex]c_1 \sqrt{a_2^2+b_2^2}+c_2 \sqrt{a_1^2+b_1^2})[/tex].
Mi confermi che e' questa? E' importante che siamo d'accordo almeno su come e' definita l'operazione. Secondo questa definizione il prodotto [tex]u^2[/tex] non si puo' nemmeno fare (si annullano i denominatori). Mentre come ho detto sopra seguendo la tua interpretazione geometrica si ha [tex]u^2=-1[/tex].
Ti confermo che la regola è quella.
Rispondendo alla tua domanda ci sono due modi equivalenti per fare la moltiplicazione (così come del resto avviene per i numeri complessi): o si usa la regola della moltiplicazione che riguarda i coefficienti a,b,c oppure quella sulla moltiplicaizone dei moduli e della somma degli angoli.
Essendo entrambe equivalenti non valgono nelle stesse situazioni, e in particolare non valgono quando uno dei fattori è un numero uscente (ovvero è sull'asse delle U, come nel caso del tuo ultimo esempio).
Infatti se abbiamo come fattore il numero u, entrambe le regole non possono essere applicate: o perchè nel calcolo dei coefficienti a,b,c i denominatori si annullano, o perchè il numero u ha l'angolo θ indeterminato (infatti descrive il numero u non solo il valore θ=0 ma un qualsasi altro valore di θ) e come sappiamo le operazioni devono essere univoche.
Tutte queste cose sono spiegate nel mio lavoro, che risulta piuttosto dettagliato. Se la moltiplicazione tra numeri completi ti interessa tanto ti consiglio di darci un'occhiata.
.
"NicolaDalfonso":Non e' che "mi interessa tanto", stavo solo cercando di avere un riscontro, e questo e' il motivo - credo - per cui ci hai proposto questa cosa che hai fatto: il riscontro. Ora sono abbastanza convinto che i tuoi conti siano giusti.
Tutte queste cose sono spiegate nel mio lavoro, che risulta piuttosto dettagliato. Se la moltiplicazione tra numeri completi ti interessa tanto ti consiglio di darci un'occhiata.
Ma parliamo di utilita'. Come ti ho detto, ci sono due problemi. Uno, il prodotto non e' definito ovunque. Due, non vale la proprieta' distributiva. In pratica stai parlando di un'estensione tridimensionale dei numeri complessi, che permette di generalizzare per esempio il fatto che moltiplicazioni corrispondono a rotazioni, ma con l'inconveniente che somma e prodotto non sono piu' compatibili. Ad essere sincero non ho mai lavorato con strutture senza la proprieta' distributiva, quindi per ora non ti so dire se la tua sia effettivamente una scoperta utile.
"Martino":Non e' che "mi interessa tanto", stavo solo cercando di avere un riscontro, e questo e' il motivo - credo - per cui ci hai proposto questa cosa che hai fatto: il riscontro. Ora sono abbastanza convinto che i tuoi conti siano giusti.
[quote="NicolaDalfonso"]Tutte queste cose sono spiegate nel mio lavoro, che risulta piuttosto dettagliato. Se la moltiplicazione tra numeri completi ti interessa tanto ti consiglio di darci un'occhiata.
Ma parliamo di utilita'. Come ti ho detto, ci sono due problemi. Uno, il prodotto non e' definito ovunque. Due, non vale la proprieta' distributiva. In pratica stai parlando di un'estensione tridimensionale dei numeri complessi, che permette di generalizzare per esempio il fatto che moltiplicazioni corrispondono a rotazioni, ma con l'inconveniente che somma e prodotto non sono piu' compatibili. Ad essere sincero non ho mai lavorato con strutture senza la proprieta' distributiva, quindi per ora non ti so dire se la tua sia effettivamente una scoperta utile.[/quote]
Ti ho consigliato di leggere il mio lavoro per fare prima, perchè lì e solo lì trovi la garanzia che i calcoli sono giusti, dal momento che tutte le proprietà di cui parlo sono dimostrate. Finché andrai ad intuizione cercando dei controesempi, anche intelligenti, non riuscirai mai a trovare alcuna garanzia sull'esattezza dei miei calcoli.
Sull'utilità mi sono già espresso, non è una discriminante ora, infatti quello che mi interessa è che i docenti universitari attestino la correttezza dei numeri completi, non che venga riconosciuto pubblicamente che sono utili (cosa che solo chi non conosce la storia della matematica può veramente mettere in discussione).
Il fatto che tu non abbia mai lavorato con strutture senza la proprietà distributiva non è un caso dal momento che le strutture algebriche (per la precisione i campi) hanno la proprietà distributiva come assioma. Questo tra l'altro è il motivo per il quale in varie centinaia di anni nessuno ha mai scoperto i numeri completi, arrivando a credere che non esistesse alcuna estenzione dei complessi nello spazio a tre dimensioni. Di fatto tale estensione è davvero impossibile quando la si cerca nell'ambito della proprietà distributiva.
Se conosci docenti, cerca di convincerli a valutare il mio lavoro. Non ho bisogno certamente di loro per sapere che il mio lavoro è valido, dal momento che le dimostrazioni che ho sviluppato sono rigorose (è difficile ci siano degli errori essendo dimostrazioni davvero elementari), ma ho bisogno di loro per rendere pubblica questa scoperta, e per rendere una volta tanto l'italia protagonisca di una notevole scoperta matematica (notevole se non dal punto di vista dell'utilità perlomeno dal punto di vista storico, perché chiude in modo definitivo una questione aperta da centinaia di anni sull'estensione dei complessi nello spazio).
"NicolaDalfonso":
...una questione aperta da centinaia di anni sull'estensione dei complessi nello spazio.
mi interessa questo discorso di "storia della matematica"...potresti darmi dei link su questo argomento?
"NicolaDalfonso":
Se conosci docenti, cerca di convincerli a valutare il mio lavoro. Non ho bisogno certamente di loro per sapere che il mio lavoro è valido, dal momento che le dimostrazioni che ho sviluppato sono rigorose (è difficile ci siano degli errori essendo dimostrazioni davvero elementari), ma ho bisogno di loro per rendere pubblica questa scoperta, e per rendere una volta tanto l'italia protagonisca di una notevole scoperta matematica (notevole se non dal punto di vista dell'utilità perlomeno dal punto di vista storico, perché chiude in modo definitivo una questione aperta da centinaia di anni sull'estensione dei complessi nello spazio).
Vedo che l'umiltà non ti manca...
Sinceramente, tutta questa questione aperta non la vedo.
Si sà da tempo che non è possibile rendere [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] un campo (cosa che si può fare per [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] e per [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex]). E credo che questo sia un risultato profondissimo, perchè marca una sostanziale differenza tra lo spazio bidimensionale e lo spazio tridimensionale e, più in generale, tra gli spazi di dimensione pari e dispari (differenza che, tra le altre cose, si concretizza in tante parti dell'Analisi: ad esempio ci sono molti teoremi circa le PDE che si dimostrano per le sfere [tex]$\mathbb{S}^2$[/tex] e non per le sfere [tex]$\mathbb{S}^3$[/tex] e ciò è dovuto al fatto che si può rappresentare [tex]$\mathbb{C}$[/tex] su [tex]$\mathbb{S}^2$[/tex]).
Il tuo scritto mostra che si può definire una struttura algebrica (pessima) in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] che estende le operazioni di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] (ossia la pessima struttura [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] contiene "per magia" un sottocampo isomofro a [tex]$\mathbb{C}$[/tex])... Può essere una novità, ma non mi pare sia molto rilevante nel panorama della Matematica mondiale.
Tanto per dirne una, non sta nemmeno nella famosa lista di problemi di Hilbert.
"NicolaDalfonso":
Il fatto che tu non abbia mai lavorato con strutture senza la proprietà distributiva non è un caso dal momento che le strutture algebriche (per la precisione i campi) hanno la proprietà distributiva come assioma. Questo tra l'altro è il motivo per il quale in varie centinaia di anni nessuno ha mai scoperto i numeri completi, arrivando a credere che non esistesse alcuna estenzione dei complessi nello spazio a tre dimensioni. Di fatto tale estensione è davvero impossibile quando la si cerca nell'ambito della proprietà distributiva.
E non è un caso che si cerchi di lavorare con i campi.
La Matematica si costruisce principalmente sulle analogie, ed è chiaro che i Matematici sani di mente cerchino di ricreare degli ambienti in cui sanno lavorare piuttosto che buttarsi a capofitto in cose su cui non sanno dire nulla.
Chi non fa la Matematica di professione, come gli ingegneri ad esempio, tende a non considerare la "buona analogia" come una delle basi fondanti della Matematica: per questo non riesce a capire come la Matematica si sviluppi e credono che tutto sia sempre frutto di idee astruse e "rivoluzionarie", casomai compendiate in lavori di non meno di 7.000 pagine infarciti di varie amenità filosofiche per giustificare i passaggi più insensati.
Ad ogni modo, se vuoi segnalare il tuo scritto a qualche docente, basta che cerchi sui siti delle università.
Di algebristi ce ne sono tanti (anche se non troppi), non è difficile.
Questo tra l'altro è il motivo per il quale in varie centinaia di anni nessuno ha mai scoperto i numeri completi, arrivando a credere che non esistesse alcuna estenzione dei complessi nello spazio a tre dimensioni.Di solito quando si parla di "estensione" di un anello si intende almeno un sovra-anello. E in un anello vale la distributivita'. Inoltre e' chiaro che non puo' esistere un anello contenente [tex]\mathbb{C}[/tex] e tridimensionale su [tex]\mathbb{R}[/tex], dato che la sua dimensione su [tex]\mathbb{C}[/tex] dev'essere intera. Questo si sa bene. E ti ricordo che i sovra-corpi finito-dimensionali di [tex]\mathbb{C}[/tex] sono stati trovati tutti (clic).
"NicolaDalfonso":Ma guarda, io non saro' ancora del tutto capace di capire dove puo' andare a parare una struttura algebrica non distributiva come quella che hai creato. Comunque potresti documentarci riguardo a questa questione aperta da centinaia d'anni?
Se conosci docenti, cerca di convincerli a valutare il mio lavoro. Non ho bisogno certamente di loro per sapere che il mio lavoro è valido, dal momento che le dimostrazioni che ho sviluppato sono rigorose (è difficile ci siano degli errori essendo dimostrazioni davvero elementari), ma ho bisogno di loro per rendere pubblica questa scoperta, e per rendere una volta tanto l'italia protagonisca di una notevole scoperta matematica (notevole se non dal punto di vista dell'utilità perlomeno dal punto di vista storico, perché chiude in modo definitivo una questione aperta da centinaia di anni sull'estensione dei complessi nello spazio).
Ti assicuro che non e' difficile creare oggetti matematici, la cosa difficile e' crearne di utili, con buone proprieta'. E per questo finche' non sei sicuro che l'oggetto che hai creato sia utile a qualcosa io stenterei a parlare di "scoperta" ("notevole", per giunta). Cosa esattamente si puo' fare nel tuo nuovo insieme che non si poteva fare in [tex]\mathbb{C}[/tex]? Ti ricordo che dev'essere qualcosa di tanto grandioso da supplire alla distributivita'.
"itpareid":
[quote="NicolaDalfonso"]...una questione aperta da centinaia di anni sull'estensione dei complessi nello spazio.
mi interessa questo discorso di "storia della matematica"...potresti darmi dei link su questo argomento?[/quote]
I numeri complessi sono stati introdotti (sebbene non formalmente come numeri) da un italiano: Raffaele Bombelli nel 1571, come si evince dal seguente link:
http://ulisse.sissa.it/chiediAUlisse/do ... =complessi
Si dovette aspettare il 1832 affinché tali numeri fossero accettati, e ciò grazie a Gauss che ne diede una interpretazione geometrica, come si evince dal seguente link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Storia_dei ... _complessi
Gauss e Eulero cercarono ma senza successo di estendere i numeri complessi nello spazio tridimensionale, come si evince dal seguente link (parte finale, dove si parla di Hamilton):
http://rudimatematici-lescienze.blogaut ... aternioni/
Nel seguente link (di cui c'è la solo la copia cache di google, che si può ottenere digitando: “quaternioni sintesi.pdf”) inizio di pagina 3 dice che appena i complessi vennero accettati come numeri a due dimensioni, si cercò di estenderli nello spazio a tre dimensioni:
[url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Uv8s24XsQ5cJ:www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/musti/sintesi.pdf+algebre+di+divisione+sintesi.pdf&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESiBGQ1pbt8Y2DQi3HreRoYEseAkxld9k2zm8C0f2VLMk2ILAGUYwwchycMGbjInxP6dLKWsrMuPAV90EIAFTBqasOIXtlk7WBMkToX5ZTxmr1-2Hn0uvsc0uQpDqx_sNze6yqY4&sig=AHIEtbQbdGNY5Pdr-OloyFgEfkykpEIXBw]collegamento[/url].
[xdom="Martino"]Ho riassunto il collegamento troppo lungo nel "collegamento".[/xdom]
Sempre in questo stesso link, nei primi paragrafi della pagina 1 si dice che prima che Hamilton scoprisse i Quaternioni nel 1843 si pensava impossibile estendere i complessi nelle tre dimensioni dello spazio, probabilmente perchè molti ci avevano provato senza riuscirci.
Probabilmente molti matematici hanno smesso di cercare tale estensione qualche decennio dopo tale scoperta, a causa del teorema di Frobenius riportato sempre nella pagina 1 di quest'ultimo link.
Il fatto che io descriva l'estensione dei complessi nello spazio tridimensionale come una questione aperta è perché nessuno ha mai stabilito che fosse in assoluto una cosa impossibile da fare, anche se probabilmente ormai nessuno se ne occupava più. E il fatto che io sia riuscito finalmente a trovare tale estensione pone quindi fine ad una questione matematica aperta secoli fa, e mai veramente chiusa.
Infine il seguente link riporta che Hamilton valutò di tale importanza la sua estensione dei complessi in uno spazio superiore alle due dimensioni al punto da fare mettere una lapide nel punto in cui stava camminando quando li scopri:
http://matematica.unibocconi.it/articol ... uaternioni
La mia scoperta non si limita come quella di Hamilton ad una sola dimensione (nel suo caso la quarta), ma le abbraccia tutte, perchè possono essere definiti come ho dimostrato numeri completi ad n dimensioni, con n arbitrario.
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"gugo82":
Il tuo scritto mostra che si può definire una struttura algebrica (pessima) in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] che estende le operazioni di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] (ossia la pessima struttura [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] contiene "per magia" un sottocampo isomofro a [tex]$\mathbb{C}$[/tex])... Può essere una novità, ma non mi pare sia molto rilevante nel panorama della Matematica mondiale.
Tanto per dirne una, non sta nemmeno nella famosa lista di problemi di Hilbert.
Interessante, tu mi dici che non sono umile, e poi che fai?
Scrivi una frase come questa che mostra:
PRESUNZIONE: perchè giudichi il mio lavoro senza averlo studiato
ARROGANZA: perchè ti arroghi il diritto di affermare che ad esso corrisponde una struttura algebrica pessima, come se tu fossi l'esperto mondiale in questo settore
IMPRUDENTE: perchè consideri irrilevante la mia scoperta senza neppure esserti chiesto se i numeri completi possano evidenziare un tipo di struttura algebrica nuova, avente proprietà altrettanto se non più interessanti delle strutture algebriche finora sviluppate.
"Martino":
Ti assicuro che non e' difficile creare oggetti matematici, la cosa difficile e' crearne di utili, con buone proprieta'. E per questo finche' non sei sicuro che l'oggetto che hai creato sia utile a qualcosa io stenterei a parlare di "scoperta" ("notevole", per giunta). Cosa esattamente si puo' fare nel tuo nuovo insieme che non si poteva fare in [tex]\mathbb{C}[/tex]? Ti ricordo che dev'essere qualcosa di tanto grandioso da supplire alla distributivita'.
Mi pare di avere detto e ripetuto che con i complessi non si possono fare operazioni definibili nello spazio dal momento che sono numeri che stanno su un piano, e anche se fosse solo per questo i numeri completi sarebbero utili eccome.
Ma ci sono un numero sterminato di altre caratteristiche positive dei numeri completi, se non altro per il fatto che stimoleranno nuove scoperte.
Potrei ad esempio dirti che se le equazioni di grado n nei complessi hanno n radici, quelle nei complei ne hanno invece ben n^2, potendo sfruttare anche la rotazione spaziale. E benchè io non sia riuscito a dimostrare un teorema nel campo dei completi analogo al teorema fondamentale dell'algebra (essenzialmente perchè non sono un esperto di topologia), molto probabilmente lo farà qualcun altro molto presto, non appena il mio lavoro sarà di pubblico dominio.
Potrabilmente la possibilità di fare equazioni direttamente sullo spazio potrebbe avere applicazioni che noi ancora non siamo in grado di immaginare.
Infine mi tocca ripeterti che l'utilità di una scoperta la si vede nel tempo, mentre quello che conta inizialmente è solo capire se è una scoperta corretta. Mi sembra un concetto elementare, e non avrei mai pensato di doverlo ripetere così tante volte.
Capisco però che le persone per natura sono egoiste e reagiscono con gelosia ai successi degli altri, trovandosi maggiormente predisposti a sminuire quello che hanno fatto, invece che guardarne le potenzialità. E pensare che se io fossi un docente non vedrei l'ora di leggere una ricerca innovativa come quella sui numeri completi, e mi metterei subito al lavoro per approfondirla e fare emergere proprietà ancora nuove a cui l'autore non aveva pensato o non era in grado di arrivare, magari definirei nuove struttue algebriche cercandone le prorpietà, magari cercherei di sviluppare un teorema equivalente a quello fondamentale dell'algebra.
Insomma chi è un vero scienziato cerca prima di capire, vuole sapere cose nuove, non le sminuisce, non mette ostacoli dove non ci sono.
Detto questo passo e chiudo, ho perso fin troppo tempo a dare spiegazioni in questo forum.
Se qui c'è qualcuno che ama davvero la matematica, mi auguro cercherà di convincere qualche docente che conosce di persona a valutarla (io ho mandato fin troppe email a docenti che non si sono degnati nemmeno di rispondermi, forse perchè sono impegnati, forse perchè sono scettici, forse perchè sono solo gelosi, ma sta certo a me psicoanalizzarli).
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mi dispiace che tu la prenda così sul personale, ma semplicemente sei stato tu a chiedere di valutare il tuo lavoro, ciò e stato fatto ma probabilmente non era questa la risposta che ti aspettavi...
in ogni caso in bocca al lupo!
in ogni caso in bocca al lupo!
"NicolaDalfonso":
[quote="gugo82"]Il tuo scritto mostra che si può definire una struttura algebrica (pessima) in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] che estende le operazioni di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] (ossia la pessima struttura [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] contiene "per magia" un sottocampo isomofro a [tex]$\mathbb{C}$[/tex])... Può essere una novità, ma non mi pare sia molto rilevante nel panorama della Matematica mondiale.
Tanto per dirne una, non sta nemmeno nella famosa lista di problemi di Hilbert.
Interessante, tu mi dici che non sono umile, e poi che fai?
Scrivi una frase come questa che mostra:
PRESUNZIONE: perchè giudichi il mio lavoro senza averlo studiato[/quote]
Vero.
Ho dato solo una scorsa veloce; e, sinceramente, non credo che meriti di più al momento.
Definisci le operazioni e provi alcune loro proprietà; null'altro.
Ora, quando si introduce una struttura algebrica nuova, si cerca di trovare qualche sua proprietà che non sia banale (nel senso che non discenda immediatamente dalle definizioni), cosa di cui nel tuo scritto non c'è traccia.
"NicolaDalfonso":
ARROGANZA: perchè ti arroghi il diritto di affermare che ad esso corrisponde una struttura algebrica pessima, come se tu fossi l'esperto mondiale in questo settore
Ovviamente l'aggettivo "pessima" era riferito alla struttura in sé, e non al tuo lavoro (come si nota dalla desinenza femminile): voglio dire, una stuttura algebrica con due operazioni che non ha nemmeno la proprietà distributiva credo sia vicinissimo al peggio che possa esistere per farci i conti (e Martino, che qualcosa in più di me ne sà, potrà confermare o smentire nel caso).
Inoltre, volevi il mio parere? L'hai avuto nella sua forma più pura; non è arroganza, ma onestà intellettuale.
Non puoi arrogarti il diritto di decidere il parere degli altri... A meno che tu non voglia essere l'arrogante della situazione, ovviamente.
"NicolaDalfonso":
IMPRUDENTE: perchè consideri irrilevante la mia scoperta senza neppure esserti chiesto se i numeri completi possano evidenziare un tipo di struttura algebrica nuova, avente proprietà altrettanto se non più interessanti delle strutture algebriche finora sviluppate.
Non ho detto che è "irrilevante"; ho detto solamente che "non è molto rilevante", ossia non fa parte della schiera di problemi che attualmente occupano (e preoccupano) la mente dei Matematici.
Insomma, hai fatto un buon lavoro (che ti sarà costato tanta fatica) e ti siamo grati di averlo condiviso con noi; però tra il darti atto di aver lavorato ed il dichiarare il tuo lavoro uno dei capisaldi della Matematica mondiale mi pare ce ne passi di acqua sotto i ponti.
D'altra parte, come diceva Martino, il problema dell'estensione della struttura algebrica di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] era posto in maniera differente, quindi questa tua costruzione non risponde a quel quesito ma ad un altro, ossia: Esiste qualche struttura algebrica che ha [tex]$\mathbb{C}$[/tex] come sottocampo proprio?
E la risposta è affermativa.
Comunque, chissà, probabilmente l'importanza di questo lavoro la si scoprirà tra cent'anni, quando non ci sarai più... Ma, è cosa nota, i veri geni vengono riconosciuti solo postumi.
"NicolaDalfonso":Ti do' questo consiglio: non essere troppo superbo. Non hai che da perderne, indipendentemente dalla validita' del tuo lavoro. Siamo noi che stiamo dedicando tempo a te, non il contrario: su questo non ci sono dubbi. Parli come se qualcosa ti fosse dovuto.
Detto questo passo e chiudo, ho perso fin troppo tempo a dare spiegazioni in questo forum.
Tu stai dando completamente per scontato il fatto che i "numeri completi" costituiscano una scoperta matematica importante.
Mi sono letto il tuo pdf (le parti interessanti). Ti faccio osservare che l'impossibilita' di moltiplicare per elementi sull'asse U ha conseguenze decisive. Per esempio fa in modo che salti anche l'associativita', infatti
[tex][(1+u) \cdot (1+u)] \cdot i = (2u) \cdot i[/tex] non si puo' fare, mentre [tex](1+u) \cdot [(1+u) \cdot i] = (1+u) \cdot (i+u) = 2u[/tex].
Inoltre come hai osservato nel paragrafo sulle potenze, ci sono condizioni restrittive sui numeri di cui puoi fare le potenze.
Quello che hai fatto e' questo: hai preso la regola (*) [tex](t_1,\theta_1,\gamma_1) \cdot (t_2,\theta_2,\gamma_2) := (t_1t_2,\theta_1+\theta_2,\gamma_1+\gamma_2)[/tex] e ne hai indagato le proprieta' algebriche. L'inconveniente che tutto l'asse U non sia rappresentabile in modo univoco dalla notazione polare ti priva dell'associativita', non vale la proprieta' distributiva, il tuo insieme non e' nemmeno un magma (cioe' un insieme dotato di un'operazione binaria) perche' non puoi moltiplicare per elementi sull'asse U, e comunque facendo prodotti ammessi puoi andare a finire sull'asse U, anzi per ogni elemento moltiplicabile [tex]x[/tex] esiste un elemento moltiplicabile [tex]y[/tex] tale che [tex]xy[/tex] sta sull'asse U (cioe' non e' moltiplicabile). Insomma, l'insieme degli elementi moltiplicabili non e' nemmeno chiuso rispetto alla moltiplicazione
In poche parole, le proprieta' algebriche dell'"operazione" (*) sono pessime, purtroppo.
Questo per me e' sufficiente per dire che non hai scoperto proprio niente.
Pensa pure quello che vuoi, ma ti assicuro che se io considerassi buono il tuo lavoro te lo direi. Se ti e' comodo pensa pure che io sia un incompetente.
Comunque questa e' la mia opinione. Ora proponi pure il tuo lavoro in giro.
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