Estensione algebrica
Buonasera, sono alle prese con le estensioni algebriche.
Dato un $alpha =sqrt(1+sqrt(2))in CC$ mi viene chiesto di determinare una base di $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))$.
Solution.
Ho trovato il polinomio minimo di $alpha$ su $QQ(sqrt(2))$, che risulta essere $f=x^2 - 1 -sqrt(2)$.
Pertanto $|Q(alpha) :Q(sqrt(2))|=2$ e quindi una sua base avrà due elementi.
Il mio problema sta proprio nel capire com'è fatta una base se il campo non è semplicemente $QQ$, ma l'aggiunzione $QQ(sqrt(2))$.
[nota]Se, per esempio, avessi dovuto trovare il pol. minimo di $beta=sqrt(2)$ su $QQ$ questo risultava $g=x^2 -2$ e avrei avuto che una base dell'estensione è $B={1,sqrt(2)}$.[/nota]
Provo a ragionare analogamente a quanto fatto per la teoria:
Considero l'omomorfismo di valutazione \( \varepsilon_\alpha :\mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} \rightarrow \mathbb{Q} (\alpha), f\mapsto f(\alpha) \).
Il suo nucleo è $(f)$, che è massimale in quanto $f$ è polinomio minimo e quindi irriducibile, e pertanto il quoziente è campo.
La sua immagine è proprio $QQ(alpha)$. Lo abbiamo dimostrato per doppia inclusione. Non riporto la dimostrazione.
Pertanto posso fattorizzare tale omomorfismo per il noto teorema in questo modo:
Considero l'epimorfismo canonico \( \nu :\mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} \rightarrow \mathbb{Q(\sqrt(2))[X]}/(f) \) che mappa un polinomio a coefficienti in $QQ(sqrt(2))$ nel suo laterale modulo $(f)$.
Se \( \overline{X} \in \mathbb{Q(\sqrt(2))} /(f) \) è la classe laterale che contiene \( X \in \mathbb{Q(\sqrt(2))}[X] \), allora ogni elemento del quoziente, pensato come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))[X]$ può essere rappresentato come combinazione lineare di \( \overline{X^0},...,\overline{X^{n-1}} \) , che pertanto formano una $QQ(sqrt(2))$-base di \( \mathbb{Q(\sqrt(2))} /(f) \) oppure, se utilizziamo l'isomorfismo \( \mathbb{Q[\alpha]} \cong \mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} /(f) \), che \( \alpha^0,...,\alpha^{n-1} \) formano una $QQ(sqrt(2))$- base di \( \mathbb{Q[\alpha]} \) .
Segue che $QQ(alpha)={a+bsqrt(1+sqrt(2))|a,b in QQ(sqrt(2))}$ e quindi una base è $B={1,sqrt(1+sqrt(2))}$.
E' corretto il mio ragionamento? Grazie mille a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Dato un $alpha =sqrt(1+sqrt(2))in CC$ mi viene chiesto di determinare una base di $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))$.
Solution.
Ho trovato il polinomio minimo di $alpha$ su $QQ(sqrt(2))$, che risulta essere $f=x^2 - 1 -sqrt(2)$.
Pertanto $|Q(alpha) :Q(sqrt(2))|=2$ e quindi una sua base avrà due elementi.
Il mio problema sta proprio nel capire com'è fatta una base se il campo non è semplicemente $QQ$, ma l'aggiunzione $QQ(sqrt(2))$.
[nota]Se, per esempio, avessi dovuto trovare il pol. minimo di $beta=sqrt(2)$ su $QQ$ questo risultava $g=x^2 -2$ e avrei avuto che una base dell'estensione è $B={1,sqrt(2)}$.[/nota]
Provo a ragionare analogamente a quanto fatto per la teoria:
Considero l'omomorfismo di valutazione \( \varepsilon_\alpha :\mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} \rightarrow \mathbb{Q} (\alpha), f\mapsto f(\alpha) \).
Il suo nucleo è $(f)$, che è massimale in quanto $f$ è polinomio minimo e quindi irriducibile, e pertanto il quoziente è campo.
La sua immagine è proprio $QQ(alpha)$. Lo abbiamo dimostrato per doppia inclusione. Non riporto la dimostrazione.
Pertanto posso fattorizzare tale omomorfismo per il noto teorema in questo modo:
Considero l'epimorfismo canonico \( \nu :\mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} \rightarrow \mathbb{Q(\sqrt(2))[X]}/(f) \) che mappa un polinomio a coefficienti in $QQ(sqrt(2))$ nel suo laterale modulo $(f)$.
Se \( \overline{X} \in \mathbb{Q(\sqrt(2))} /(f) \) è la classe laterale che contiene \( X \in \mathbb{Q(\sqrt(2))}[X] \), allora ogni elemento del quoziente, pensato come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))[X]$ può essere rappresentato come combinazione lineare di \( \overline{X^0},...,\overline{X^{n-1}} \) , che pertanto formano una $QQ(sqrt(2))$-base di \( \mathbb{Q(\sqrt(2))} /(f) \) oppure, se utilizziamo l'isomorfismo \( \mathbb{Q[\alpha]} \cong \mathbb{Q(\sqrt(2))[X]} /(f) \), che \( \alpha^0,...,\alpha^{n-1} \) formano una $QQ(sqrt(2))$- base di \( \mathbb{Q[\alpha]} \) .
Segue che $QQ(alpha)={a+bsqrt(1+sqrt(2))|a,b in QQ(sqrt(2))}$ e quindi una base è $B={1,sqrt(1+sqrt(2))}$.
E' corretto il mio ragionamento? Grazie mille a chiunque avrà la cortesia di rispondere
Risposte
"feddy":
Se, per esempio, avessi dovuto trovare il pol. minimo di $beta=sqrt(2)$ su $QQ$ questo risultava $g=x^2 -2$ e avrei avuto che una base dell'estensione è $B={1,sqrt(2)}$.
Non è necessario che il campo di partenza sia $QQ$ per poter fare quel ragionamento: in generale, se $K$ è un campo e $\gamma$ è algebrico di grado $d$ su $K$, allora una base per $K(\gamma)$ su $K$ è $\{ 1, \gamma,..., \gamma^{d-1} \}$, quindi nel tuo caso, una volta dimostrato che $x^2-1-\sqrt{2}$ è irriducibile, puoi concludere senza fare conti che $\{ 1, \sqrt{1+\sqrt{2} } \}$ è una base.
Ok, la procedura è chiara.
Tuttavia il mio dubbio sta nel fatto che non capisco molto bene come la base possa rimanere uguale sia considerando $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))$ che come spazio vettoriale su $QQ$.
Forse perché $QQ(alpha)={a +b*sqrt(1+sqrt(2))}$, ma $a$ e $b$ in questo caso stanno in $QQ(sqrt(2))$, non in $QQ$ ?
Tuttavia il mio dubbio sta nel fatto che non capisco molto bene come la base possa rimanere uguale sia considerando $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))$ che come spazio vettoriale su $QQ$.
Forse perché $QQ(alpha)={a +b*sqrt(1+sqrt(2))}$, ma $a$ e $b$ in questo caso stanno in $QQ(sqrt(2))$, non in $QQ$ ?
"feddy":
Ok, la procedura è chiara.
Tuttavia il mio dubbio sta nel fatto che non capisco molto bene come la base possa rimanere uguale sia considerando $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ(sqrt(2))$ che come spazio vettoriale su $QQ$.
Le basi non sono uguali: $\alpha$ ha grado $2$ su $QQ(\sqrt{2})$ e ha grado $4$ su $QQ$, quindi in un caso la base è $\{1,\alpha \}$, e nell'altro è $\{1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3 \}$.
"feddy":
Forse perché $QQ(alpha)={a +b*sqrt(1+sqrt(2))}$, ma $a$ e $b$ in questo caso stanno in $QQ(sqrt(2))$, non in $QQ$ ?
Sì. Ricapitolando, puoi vedere $QQ(\alpha)$ sia come $\{ a+b \alpha | a,b \in QQ(\sqrt{2}) \}$ sia come $\{a+b \alpha +c \alpha^2 +d \alpha^3 | a,b,c,d \in QQ \}$.
Certo ! Ora mi è tutto chiaro, grazie mille spugna 
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