Esponente delle permutazioni
Ciao di nuovo,
qualcuno mi sa dire dove posso trovare una spiegazione su come calcolare le potenze delle permutazioni del tipo:
$ (a @ b)^(65537) $
$ (a @ b)^(-772) $
$ (a @ b)^(-49) $
Ho capito che si scompone l'esponente in fattori in base all'ordine ma da li non mi è chiaro.
come sempre grazie mille
qualcuno mi sa dire dove posso trovare una spiegazione su come calcolare le potenze delle permutazioni del tipo:
$ (a @ b)^(65537) $
$ (a @ b)^(-772) $
$ (a @ b)^(-49) $
Ho capito che si scompone l'esponente in fattori in base all'ordine ma da li non mi è chiaro.
come sempre grazie mille
Risposte
Ciao.
Premetto che non ho letto le altre discussioni in merito: ti dico come farei io.
Presa una permutazione $sigma in S_n$, supponiamo tu debba calcolare $sigma^k$.
Allora, per prima cosa, ti calcoli l'ordine di $sigma$, cioè il minimo intero (positivo) $n$ tale che $sigma^n="id"$ ($"id"$ è la permutazione identica che fissa tutto). E questo puoi farlo, per esempio, decomponendo la $sigma$ in un prodotto di cicli disgiunti: l'ordine è l'm.c.m delle lunghezze dei singoli cicli.
A quel punto, guardi $k$ e $n$ e li confronti:
caso I) se $k
caso III) se $k>n$, sostituisci al posto di $k$ il resto $r$ della divisione di $n$ per $k$ e poi calcoli $sigma^r$: in questo modo, ricadi nel primo caso: sai dire perchè?
Hai capito? Un po' più chiara la faccenda?
Premetto che non ho letto le altre discussioni in merito: ti dico come farei io.
Presa una permutazione $sigma in S_n$, supponiamo tu debba calcolare $sigma^k$.
Allora, per prima cosa, ti calcoli l'ordine di $sigma$, cioè il minimo intero (positivo) $n$ tale che $sigma^n="id"$ ($"id"$ è la permutazione identica che fissa tutto). E questo puoi farlo, per esempio, decomponendo la $sigma$ in un prodotto di cicli disgiunti: l'ordine è l'm.c.m delle lunghezze dei singoli cicli.
A quel punto, guardi $k$ e $n$ e li confronti:
caso I) se $k
caso III) se $k>n$, sostituisci al posto di $k$ il resto $r$ della divisione di $n$ per $k$ e poi calcoli $sigma^r$: in questo modo, ricadi nel primo caso: sai dire perchè?
Hai capito? Un po' più chiara la faccenda?
non proprio,
potresti rispiegarmela con questi esempi?
$ (a @ b)^(65537) $ con ordine 9
$ (a @ b)^(-772) $ con ordine 6
$ (a @ b)^(-49) $ con ordine 6
potresti rispiegarmela con questi esempi?
$ (a @ b)^(65537) $ con ordine 9
$ (a @ b)^(-772) $ con ordine 6
$ (a @ b)^(-49) $ con ordine 6
Sia $sigma=a circ b$ e sia l'ordine di $sigma=9$ (cioè $sigma^9="id"$ e $sigma^k!="id"$ con $k<9$).
L'ordine $n=9$, $k=65537$. Caso n. 3: allora prendi 65537 e lo dividi per 9: quant'è il resto? 8, se non sbaglio.
Quindi, $sigma^65537=sigma^8$. Caso I. Fai i conti e stop.
P.S. Se uno è furbo può notare che $sigma^8=sigma^-1$ (sempre per questa faccenda dei resti). E questo semplifica il problema.
P.P.S. Conosci l'aritmetica modulare? L'anello $ZZ_n$?
L'ordine $n=9$, $k=65537$. Caso n. 3: allora prendi 65537 e lo dividi per 9: quant'è il resto? 8, se non sbaglio.
Quindi, $sigma^65537=sigma^8$. Caso I. Fai i conti e stop.
P.S. Se uno è furbo può notare che $sigma^8=sigma^-1$ (sempre per questa faccenda dei resti). E questo semplifica il problema.
P.P.S. Conosci l'aritmetica modulare? L'anello $ZZ_n$?
non ho studiato molto la teoria, sto imparando alcuni esercizi per provare l'esame la prossima settimana.
ora vedo cosa riesco a partorire!
ora vedo cosa riesco a partorire!
allora, hai rifatto la divisione tra gli esponenti
$ 65537 $ e $ 8 $ e ottieni resto 1 ma perchè scrivi $ -1$ come esponente?
$ 65537 $ e $ 8 $ e ottieni resto 1 ma perchè scrivi $ -1$ come esponente?
"ultreja":
allora, hai rifatto la divisione tra gli esponenti
$ 65537 $ e $ 8 $ e ottieni resto 1 ma perchè scrivi $ -1$ come esponente?
No, non ho fatto quello. Ho fatto la "divisione" di 8 per 9 che dà resto 8 (o -1)... Ma questo è solo un trucchetto, lascialo perdere che non vorrei ti confondesse le idee; concentrati su quello che viene prima, poi queste scorciatoie le vedrai più avanti.
Hai capito questa faccenda dell'ordine?
P.S: un consiglio disinteressato: studiati un po' di teoria, specialmente aritmetica modulare. Ti sembrerà tutto più semplice... dammi retta.
ok, grazie dell'aiuto e del consiglio!
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