Esiste un isomorfismo? Help..

[John_Nash11]

Ciao a tutti.
Mi aiutereste a svolgere questo esercizio? Mi sà che sbaglio un pò tutto, se mi mostrate anche i vari passaggi vi ringrazio:

Sia $G = ZZ_(42) x ZZ_(15)$. Per ciascuno dei seguenti gruppi $H_(i)$ determinare se esiste un isomorfismo $phi : G rarr H_(i)$. In caso affermativo descriverlo, e determinare $phi(([2]_(42) , [3]_(15)))$ ; in caso negativo, dimostrare l'asserzione.
a) $H_(1) = ZZ_(6) x ZZ_(105)$ ; b) $H_(2) = ZZ_(14) x ZZ_(55)$ ; c) $H_(3) = ZZ_(21) x ZZ_(30)$.

Grazie 1000!

[Gaal Dornick]

Non saprei come aiutarti, però posso dirti questo:
Un isomorfismo è prima di tutto una bigezione, quindi l'insieme di partenza e di arrivo devono avere lo stesso numero di elementi. Perciò non può esistere isomorfismo con $H_2$.

[vict85]

"John_Nash":Ciao a tutti.
Mi aiutereste a svolgere questo esercizio? Mi sà che sbaglio un pò tutto, se mi mostrate anche i vari passaggi vi ringrazio:

Sia $G = ZZ_(42) x ZZ_(15)$. Per ciascuno dei seguenti gruppi $H_(i)$ determinare se esiste un isomorfismo $phi : G rarr H_(i)$. In caso affermativo descriverlo, e determinare $phi(([2]_(42) , [3]_(15)))$ ; in caso negativo, dimostrare l'asserzione.
a) $H_(1) = ZZ_(6) x ZZ_(105)$ ; b) $H_(2) = ZZ_(14) x ZZ_(55)$ ; c) $H_(3) = ZZ_(21) x ZZ_(30)$.

Grazie 1000!

Quoto Gaal sulla questione degli elementi...

Per il teorema di struttura dei gruppi abeliani abbiamo che:

$ZZ_15 \cong ZZ_3 \times ZZ_5$ cioé $[5]_{15} \times [3]_{15}$
$ZZ_42 \cong ZZ_2 \times ZZ_3 \times ZZ_7$ cioé $[21]_{42} \times [14]_{42} \times [6]_{42}$
$G \cong ZZ_2 \times ZZ_3 \times ZZ_3 \times ZZ_5 \times ZZ_7 \cong H_1 \cong H_3$ (ogni gruppo ciclico ha ordine il prodotto di $3$ primi e quindi è isomorfo al prodotto di cicli di ordine un primo)

Riguardo agli isomorfismi consideriamo gli elementi di $G$ come prodotti di potenze di $([21]_{42}, [1]_{15})$, $([14]_{42}, [1]_{15})$, $([6]_{42}, [1]_{15})$, $([1]_{42}, [5]_{15})$, $([1]_{42}, [3]_{15})$.

Pensiamo quindi $phi_1:\ G\ to\ H_1$. Essa è definita come:
$phi_1(([21]_{42}, [1]_{15})) = ([3]_{6}, [1]_{105})$
$phi_1(([14]_{42}, [1]_{15})) = ([2]_{6}, [1]_{105})$ o $phi(([14]_{42}, [1]_{15})) = ([1]_{6}, [35]_{105})$
$phi_1(([6]_{42}, [1]_{15})) = ([1]_{6}, [15]_{105})$
$phi_1(([1]_{42}, [5]_{15})) = ([1]_{6}, [21]_{105})$
$phi_1(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([1]_{6}, [35]_{105})$ o $phi(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([2]_{6}, [1]_{105})$

In questo calcolo le due versioni possibili di $phi_1$ producono lo stesso risultato:
$phi_1(([2]_(42) , [3]_(15))) = phi_1(([6]_{42}, [1]_{15}))phi_1(([14]_{42}, [1]_{15}))phi_1(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([1]_{6}, [15]_{105})([2]_{6}, [1]_{105})([1]_{6}, [35]_{105}) = ([2]_{6}, [21]_{105})$

Pensiamo quindi $phi_3:\ G\ to\ H_3$. Essa è definita come:
$phi_1(([21]_{42}, [1]_{15})) = ([1]_{21}, [15]_{30})$
$phi_1(([14]_{42}, [1]_{15})) = ([1]_{21}, [10]_{30})$ o $phi(([14]_{42}, [1]_{15})) = ([7]_{21}, [1]_{30})$
$phi_1(([6]_{42}, [1]_{15})) = ([3]_{21}, [1]_{30})$
$phi_1(([1]_{42}, [5]_{15})) = ([1]_{21}, [6]_{30})$
$phi_1(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([7]_{21}, [1]_{30})$ o $phi(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([1]_{21}, [10]_{30})$

In questo calcolo le due versioni possibili di $phi_3$ producono lo stesso risultato:
$phi_1(([2]_(42) , [3]_(15))) = phi_1(([6]_{42}, [1]_{15}))phi_1(([14]_{42}, [1]_{15}))phi_1(([1]_{42}, [3]_{15})) = ([3]_{21}, [1]_{30})([1]_{21}, [10]_{30})([7]_{21}, [1]_{30}) = ([1]_{21}, [10]_{30})$

[John_Nash11]

Grazie vict85..
Io mi chiedo come dovrei essere in grado di risolvere un esercizio del genere, se in classe non ci hanno spiegato decisamente un tipo di risoluzione di questo tipo.
Mi sà che domani mi studio bene bene tutta la teoria degli isomorfismi in Zn e poi torno qua per decriptare quello che mi hai scritto..
Grazie 1000 per la pazienza nello scrivere tutte quelle righe piene di parentesi...
Ciao!

[moxetto]

dopo aver visto che G, H1 e H3 hanno lo stesso ordine non ho capito come hai fatto a vedere se sono isomorfi. come si fa a vedere se G, H1 e H3 sono ciclici?