Esercizio sulle congruenze lineari
Al variare di $k$ in$ N$, determinare l’ultima cifra decimale (cifra delle unità) del numero $2^(2^k) +6$.
Come posso risolvere l'esercizio? L'unica idea che ho avuto è che ovviamente il numero deve essere pari, quindi l'insieme dei valori che la cifra delle unità può assumere deve essere ristretto a $[0,2,4,6,8]$, ma per il resto niente ...
Come posso risolvere l'esercizio? L'unica idea che ho avuto è che ovviamente il numero deve essere pari, quindi l'insieme dei valori che la cifra delle unità può assumere deve essere ristretto a $[0,2,4,6,8]$, ma per il resto niente ...
Risposte
[xdom="Martino"]Taniab, sei pregata di mettere un titolo che specifichi l'argomento di cui parli, come da regolamento. Per farlo, clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.[/xdom]Hai provato a ridurre modulo [tex]10[/tex]?
L'ho risolto con una congruenza lineare e applicando l'isomorfismo da $Z_10 ->Z_2XZ_5$ . Prima però ho diviso i due casi $k>0 , k=0 $.
Spero di aver capito bene l' esercizio.
allora eliminando i reali, e partendo esclusivamente dalla potenza di una potenza di 2.
ad esclusione di k=0, e k=1.
tutte le soluzioni devono dare +6, 12, quindi l' ultima cifra è 2.
La dimostrazione è semplice.
Ogni elevazione a potenza di potenza diventa, in sostanza, per k
diventano:
2-4-8-16-32-64
ora ogni elevazione è multiplo di 4.
Quindi 16 x 16 x16 x16....
Ogni 6x6 =36
L' ultima cifra è sempre 6+6=12
Quindi è sempre 2.
Basta ridurre 2 a 2^2 che da 4 sono dunque tutte potenze di 16.
Semplicissimo se è così.
allora eliminando i reali, e partendo esclusivamente dalla potenza di una potenza di 2.
ad esclusione di k=0, e k=1.
tutte le soluzioni devono dare +6, 12, quindi l' ultima cifra è 2.
La dimostrazione è semplice.
Ogni elevazione a potenza di potenza diventa, in sostanza, per k
diventano:
2-4-8-16-32-64
ora ogni elevazione è multiplo di 4.
Quindi 16 x 16 x16 x16....
Ogni 6x6 =36
L' ultima cifra è sempre 6+6=12
Quindi è sempre 2.
Basta ridurre 2 a 2^2 che da 4 sono dunque tutte potenze di 16.
Semplicissimo se è così.
in realtà l'ultima cifra può essere 2 oppure 0 a seconda che k sia dispari o pari, non è sempre 2...
scusami, in realtà non sapevo che uno dei multipli delle potenze di 2 ha come multiplo 0.
scusami ma non capisco, io vedo 8-16-32...
Che sono solo a partire da 8 equivalenti a 16 xA
A=numero pari.
4 come spunta che divisori sono?
Puoi farmi un esempio a parte il caso ^0 , ^1
che mi sembra di aver già dedotto.
Cioè parli seriamente?
Che sono solo a partire da 8 equivalenti a 16 xA
A=numero pari.
4 come spunta che divisori sono?
Puoi farmi un esempio a parte il caso ^0 , ^1
che mi sembra di aver già dedotto.
Cioè parli seriamente?
ad esempio se k=3 $ 2^(2^3) + 6= 2^6 +6=64 + 6=70$ e quindi l'ultima cifra è 0
K=3
2^3=8
2^8=256
256+6=262
Perché moltiplichi e non elevi a potenza?
2^3=8
2^8=256
256+6=262
Perché moltiplichi e non elevi a potenza?
"Taniab":
in realtà l'ultima cifra può essere 2 oppure 0 a seconda che k sia dispari o pari, non è sempre 2...
Esatto, e la cosa si può verificare abbastanza agevolmente usando il teorema di Eulero-Fermat (sempre che non abbia sbagliato tutto
)
"Taniab":Non direi...
in realtà l'ultima cifra può essere 2 oppure 0 a seconda che k sia dispari o pari, non è sempre 2...
"Taniab":Se [tex]k \geq 2[/tex] allora siccome [tex]6^2 \equiv 6 \mod(10)[/tex] si ha
Al variare di $k$ in$ N$, determinare l’ultima cifra decimale (cifra delle unità) del numero $2^(2^k) +6$.
[tex]2^{2^k} + 6 = 2^{4 \cdot 2^{k-2}} + 6 =16^{2^{k-2}} + 6 \equiv 6^{2^{k-2}} + 6 \mod(10) \equiv 6+6 \mod(10) \equiv 2 \mod(10)[/tex].
Quindi se [tex]k \geq 2[/tex] allora l'ultima cifra di [tex]2^{2^k}+6[/tex] in base dieci è [tex]2[/tex].
concordo pienamente.
Ma devo dire che taniab, anche lasciando il beneficio del dubbio, nella migliore delle ipotesi se eleva 2 per 2k e non per la sua potenza, ha scritto male l' esercizio dal che potrei dedurre o che è una disattenzione o che non conosce il simbolismo .
Gundam, mi dispiace ma faresti bene a tacere, non mi sembri molto portato.
Eulero - Fermat...
Ma devo dire che taniab, anche lasciando il beneficio del dubbio, nella migliore delle ipotesi se eleva 2 per 2k e non per la sua potenza, ha scritto male l' esercizio dal che potrei dedurre o che è una disattenzione o che non conosce il simbolismo .
Gundam, mi dispiace ma faresti bene a tacere, non mi sembri molto portato.
Eulero - Fermat...
Scusa ma non ho capito....
"Icarocremisi":[xdom="Martino"]Icarocremisi, sei pregato di abbassare i toni. Gundam ha solo espresso una sua idea, chiarendo che non era sicuro. Lascia a noi moderatori il compito di rimproverare gli utenti, grazie.[/xdom]
Gundam, mi dispiace ma faresti bene a tacere, non mi sembri molto portato.
Eulero - Fermat...
Scusate, non voglio alimentare eventuali flames però ho usato (perchè l'ho letto) il teorema di Eulero-Fermat per calcolare l'ultima cifra in situazioni di questo tipo (anche se con l'esercizio di Taniab credo di essermi impicciato ).
Ad esempio l'ultima cifra di $3^12$ è $1$, ricavata risolvendo la seguente congruenza $3^12-=X_(mod 10)$
Dal teorema di Eulero-Fermat so che $a^(phi(n))-=1_(mod n)$ con $(a,1)=1$, quindi dal fatto che $phi(10)=4$ posso scrivere che $3^12=(3^4)^2*3^4-=1^2*3^4=81-=1_(mod 10)$, dove l'$1$ indica l'ultima cifra del numero richiesto: $3^12=531441$.
Salvo errori ovviamente! Anzi se me li fate notare lo apprezzerei moltissimo. Grazie
). Ad esempio l'ultima cifra di $3^12$ è $1$, ricavata risolvendo la seguente congruenza $3^12-=X_(mod 10)$
Dal teorema di Eulero-Fermat so che $a^(phi(n))-=1_(mod n)$ con $(a,1)=1$, quindi dal fatto che $phi(10)=4$ posso scrivere che $3^12=(3^4)^2*3^4-=1^2*3^4=81-=1_(mod 10)$, dove l'$1$ indica l'ultima cifra del numero richiesto: $3^12=531441$.
Salvo errori ovviamente! Anzi se me li fate notare lo apprezzerei moltissimo. Grazie
Ma scusa adesso questo che c'entra me lo spieghi?
si hai sbagliato, deduco che sai usare solo l' esempio.
E con questa, chiudo, il mio interesse e' imparare e discutere con qualcuno che ami la stessa materia. Ho risposto all' esercizio perche' era piuttosto semplice e pensavo fosse in difficolta', quindi pensavo di fargli un favore aiutandolo. Di certo lo scopo non era essere insultato con insinuazioni cosi' basse, e essere bacchettato per questo, ma lo terro' a mente.
Per il moderatore. Penso che dovresti rileggere i post precedenti, non credo che faccia bene ad un forum se i nuovi iscritti vengono trattati cosi'. Di certo ci sono modi diversi per esprimere un parere. Ovviamente le insinuazioni e le faccette posso ricitarle.
E anche questa e' una mia idea.
inoltre se difendermi da insinuazioni puerili, vuol dire essere non ben accetto. Basta che lo facciate presente, di certo non rinuncio alla dignita' solo per una conversazione.
si hai sbagliato, deduco che sai usare solo l' esempio.
E con questa, chiudo, il mio interesse e' imparare e discutere con qualcuno che ami la stessa materia. Ho risposto all' esercizio perche' era piuttosto semplice e pensavo fosse in difficolta', quindi pensavo di fargli un favore aiutandolo. Di certo lo scopo non era essere insultato con insinuazioni cosi' basse, e essere bacchettato per questo, ma lo terro' a mente.
Per il moderatore. Penso che dovresti rileggere i post precedenti, non credo che faccia bene ad un forum se i nuovi iscritti vengono trattati cosi'. Di certo ci sono modi diversi per esprimere un parere. Ovviamente le insinuazioni e le faccette posso ricitarle.
E anche questa e' una mia idea.
inoltre se difendermi da insinuazioni puerili, vuol dire essere non ben accetto. Basta che lo facciate presente, di certo non rinuncio alla dignita' solo per una conversazione.
Quoto Martino... circa un anno fa mi sono occupato (di striscio) di questo tipo di problemi e il discorso è sempre quello delle cifre ricorrenti.
$[2^(2^k)](mod 10)==6$ per tutti i $k>=2$ e quindi $[2^(2^k) +6](mod 10)==2$ per $k$ naturale che varia nel suddetto intervallo.
Un altro modo (forse più intuitivo) per vederla è questo:
Per $k=2$, $2^(2^k)$ è equivalente a $2$ tetratto $3$, che è il minimo iperesponente che fa convergere la base in $(mod 10)$. Considerando i valori di $k>2$, nella peggiore delle ipotesi (minimo valore dispari di $k$ tra quelli che stabilizzano la cifra meno significativa), otteniamo $2^(2^3)*2^(2^3)$ da cui, con un altro ragionamento similare, si ottiene che esso è congruente $(mod 10)$ a $2^(2^3)$.
La coda che fa da premessa al valore costante di quella che mi piace chiamare “velocità di convergenza” (che qui ha valore unitario) è in questo caso formata da due elementi (pari a gli iperesponenti $1$ e $2$ che non verificano la relazione di congruenza suddetta).
Allargo ora un po' il discorso alle cifre ricorrenti (stabili) inerenti alle basi della forma $(2+k*10)^i$. La loro penultima cifra (la seconda cifra meno significativa) stabile è data da $[8*k*i+6*i-3](mod 10)$, mentre l’ultima è chiaramente sempre pari a $6$.
$[2^(2^k)](mod 10)==6$ per tutti i $k>=2$ e quindi $[2^(2^k) +6](mod 10)==2$ per $k$ naturale che varia nel suddetto intervallo.
Un altro modo (forse più intuitivo) per vederla è questo:
Per $k=2$, $2^(2^k)$ è equivalente a $2$ tetratto $3$, che è il minimo iperesponente che fa convergere la base in $(mod 10)$. Considerando i valori di $k>2$, nella peggiore delle ipotesi (minimo valore dispari di $k$ tra quelli che stabilizzano la cifra meno significativa), otteniamo $2^(2^3)*2^(2^3)$ da cui, con un altro ragionamento similare, si ottiene che esso è congruente $(mod 10)$ a $2^(2^3)$.
La coda che fa da premessa al valore costante di quella che mi piace chiamare “velocità di convergenza” (che qui ha valore unitario) è in questo caso formata da due elementi (pari a gli iperesponenti $1$ e $2$ che non verificano la relazione di congruenza suddetta).
Allargo ora un po' il discorso alle cifre ricorrenti (stabili) inerenti alle basi della forma $(2+k*10)^i$. La loro penultima cifra (la seconda cifra meno significativa) stabile è data da $[8*k*i+6*i-3](mod 10)$, mentre l’ultima è chiaramente sempre pari a $6$.
"Icarocremisi":[xdom="Martino"]Non si capisce di cosa tu stia parlando. Quali insinuazioni così basse? Sei stato bacchettato da me perché hai alzato i toni. Ti ho trattato male? Non mi sembra, anzi sei stato tu a usare un tono un po' eccessivo con Gundam, qui:[/xdom]
Di certo lo scopo non era essere insultato con insinuazioni cosi' basse, e essere bacchettato per questo, ma lo terro' a mente.
Per il moderatore. Penso che dovresti rileggere i post precedenti, non credo che faccia bene ad un forum se i nuovi iscritti vengono trattati cosi'. Di certo ci sono modi diversi per esprimere un parere. Ovviamente le insinuazioni e le faccette posso ricitarle.
E anche questa e' una mia idea.
inoltre se difendermi da insinuazioni puerili, vuol dire essere non ben accetto. Basta che lo facciate presente, di certo non rinuncio alla dignita' solo per una conversazione.
"Icarocremisi":[xdom="Martino"]Di quali insinuazioni puerili parli? Puoi indicarmele con precisione? A quanto mi risulta nessuno ti ha detto niente di male.[/xdom]
Gundam, mi dispiace ma faresti bene a tacere, non mi sembri molto portato.
Non avevo notato che eri tu il moderatore.
Mea culpa, diciamo che ho travisato. E la chiudiamo definitivamente.
Ritiro quello che ho detto a gundam. E mi scuso.
Mea culpa, diciamo che ho travisato. E la chiudiamo definitivamente.
Ritiro quello che ho detto a gundam. E mi scuso.
"Icarocremisi":
K=3
2^3=8
2^8=256
256+6=262
Perché moltiplichi e non elevi a potenza?
Perchè in una potenza di potenza gli esponenti si moltiplicano, io quello l'ho inteso come $(2^2)^k$, però forse l'esercizio andava inteso come dici tu!
Lo rivedo !
Allora ho provato a intenderlo come te! e si hai ragione l'ultima cifra è sempre $0$.Dipende da come si intende l'esponente!
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