Esercizio sulle congruenze lineari

[7ania92]

Al variare di $k$ in$ N
$, determinare l’ultima cifra decimale (cifra delle unità) del numero $2^(2^k) +6$.
Come posso risolvere l'esercizio? L'unica idea che ho avuto è che ovviamente il numero deve essere pari, quindi l'insieme dei valori che la cifra delle unità può assumere deve essere ristretto a $[0,2,4,6,8]$, ma per il resto niente ...

[Studente Anonimo]

Nelle potenze di potenze, per convenzione, si usa l'associatività da destra. E' quello che ho fatto implicitamente anch'io nel mio intervento.

P.S.
Se qualcuno volesse mettersi alla prova (passando allo step successivo di difficoltà), può provare a dimostrare la regola generale sulle congruenze che ho postato precedentemente (il risultato già c'è, quindi è tutto semplificato). Volendo, ho le soluzioni per tutte le penultime cifre delle basi congre in $mod 10$ a ogni cifra e, per le basi terminanti con il $5$, posso fornire anche quelle relative alla terzultima e alla quartultima. IMHO, il modo migliore per verificare la comprensione del procedimento, è quello di esplicitare le regole inerenti alla penultima cifra delle basi congrue in $mod 10$ a $7$.

[lucy.o]

Scusate la domanda ,ma perchè si esclude il caso k= 0? Ho capito il motivo per cui si esclude k= 1 ma non riesco a capire perchè anche l' !..

[Studente Anonimo]

"Rolly92":Scusate la domanda ,ma perchè si esclude il caso k= 0? Ho capito il motivo per cui si esclude k= 1 ma non riesco a capire perchè anche l' !..

La motivazione è facilmente intuibile e lascio la spiegazione a chi è più competente... dico solo che, con specifico riferimento alla tetrazione, le uniche basi (in tutto $N$) caratterizzate dalle prime due iterazioni che non presentano l'ultima cifra ricorrente (stabile), sono quelle della forma $2+k*20$ o $18+k*20$ (come $n=22$, o magari $n=534678$).
Se l'altezza della tetrazione è maggiore di $2$, per tutte le basi al di fuori di quelle suddette, si ha che l'ultima cifra è ricorrente... in pratica, escludendo quei casi particolari, se $k$ indica l'altezza della tetrazione e $n$ la base, si ha che $[^2 n](mod 10)==[^(2+m) n](mod 10)$, dove $m$ è un intero positivo arbitrario.