Esercizio sui morfismi tra gruppi
Salve, mi è capitato tra le mani questo esercizio e vorrei avere qualche delucidazione a riguardo:
Sia $A=Z_13 ^*$ il gruppo degli elementi invertibili di $Z_13$ e $Z_4$ il gruppo additivo delle classi di resto modulo 4. Determinare tutti i morfismi da $Z_4$ a A. Dire se ce ne sono di suriettivi. Quanti sono gli iniettivi?
Prima di tutto: come faccio a determinare tutti gli elementi di $A$ (invertibili in $Z_13$) senza calcolare "a mano" quali elementi non sono invertibili? Oppure esiste qualche congettura o teorema che implichi che $ m*n -= 1 (mod 13) $ (con $0 < n < 12$) sia verificata per qualche $m$ (ma $m$ non dovrebbe comunque appartenere ad $A$)?
$A$ comunque è generato da $2$, ed ha ordine $12$, poichè $2^12-= 1 (mod 13) $, giusto? Ma se è come credo che sia, cioè $A$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 2 non è l'unico generatore ma lo sono anche 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, poichè tutti coprimi con 13, giusto? In questo caso, si prenderebbe il più piccolo tra tutti i generatori (l'elemento neutro non deve venire considerato un generatore?)?
$Z_4$ è il gruppo ciclico cui generatore è $1$ di ordine 1.
Detto questo i morfismi da $Z_4$ sono determinati dall'immagine del generatore di $Z_4$, ossia f(1). Ora come dovrei proseguire?
Grazie in anticipo
Sia $A=Z_13 ^*$ il gruppo degli elementi invertibili di $Z_13$ e $Z_4$ il gruppo additivo delle classi di resto modulo 4. Determinare tutti i morfismi da $Z_4$ a A. Dire se ce ne sono di suriettivi. Quanti sono gli iniettivi?
Prima di tutto: come faccio a determinare tutti gli elementi di $A$ (invertibili in $Z_13$) senza calcolare "a mano" quali elementi non sono invertibili? Oppure esiste qualche congettura o teorema che implichi che $ m*n -= 1 (mod 13) $ (con $0 < n < 12$) sia verificata per qualche $m$ (ma $m$ non dovrebbe comunque appartenere ad $A$)?
$A$ comunque è generato da $2$, ed ha ordine $12$, poichè $2^12-= 1 (mod 13) $, giusto? Ma se è come credo che sia, cioè $A$ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 2 non è l'unico generatore ma lo sono anche 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, poichè tutti coprimi con 13, giusto? In questo caso, si prenderebbe il più piccolo tra tutti i generatori (l'elemento neutro non deve venire considerato un generatore?)?
$Z_4$ è il gruppo ciclico cui generatore è $1$ di ordine 1.
Detto questo i morfismi da $Z_4$ sono determinati dall'immagine del generatore di $Z_4$, ossia f(1). Ora come dovrei proseguire?
Grazie in anticipo
Risposte
Beh i generatori di $U(ZZ_13)$ sono $phi(13)=12$.
A questo punto, sai che il nucleo di un qualsiasi omomorfismo è un sottogruppo normale. Siamo avvantaggiati perchè $ZZ_4$ è ovviamente abeliano quindi ogni suo sottogruppo sarà normale. Quali possono essere i sottogruppi di $ZZ_4$? Questi saranno i nostri possibili $ker$.
Inoltre sai che il quoziente $G//H$ è isomorfo all'immagine.
Prova con questi piccoli aiuti sennò poi provo ad aiutarti, nel limite delle mie possibilità.
Ah, $ZZ_4$ è generato da $1$, ma non ha ovviamente periodo $1$, ma $4$
A questo punto, sai che il nucleo di un qualsiasi omomorfismo è un sottogruppo normale. Siamo avvantaggiati perchè $ZZ_4$ è ovviamente abeliano quindi ogni suo sottogruppo sarà normale. Quali possono essere i sottogruppi di $ZZ_4$? Questi saranno i nostri possibili $ker$.
Inoltre sai che il quoziente $G//H$ è isomorfo all'immagine.
Prova con questi piccoli aiuti sennò poi provo ad aiutarti, nel limite delle mie possibilità.
Ah, $ZZ_4$ è generato da $1$, ma non ha ovviamente periodo $1$, ma $4$
"mistake89":
Beh i generatori di $U(ZZ_13)$ sono $phi(13)=12$.
A questo punto, sai che il nucleo di un qualsiasi omomorfismo è un sottogruppo normale. Siamo avvantaggiati perchè $ZZ_4$ è ovviamente abeliano quindi ogni suo sottogruppo sarà normale. Quali possono essere i sottogruppi di $ZZ_4$? Questi saranno i nostri possibili $ker$.
Inoltre sai che il quoziente $G//H$ è isomorfo all'immagine.
Prova con questi piccoli aiuti sennò poi provo ad aiutarti, nel limite delle mie possibilità.
Ah, $ZZ_4$ è generato da $1$, ma non ha ovviamente periodo $1$, ma $4$
Grazie. Beh $Z_4$ ha tre sottogruppi, di cui uno non banale composto dagli elementi ${0,2}$.
Dunque i possibili omomorfismi sono quelli cui $f(0) = 1$ e $f(2) = 1$?
Calma Calma.
Osserva anzitutto che $ZZ_4$ è un suo sottogruppo normale, perciò abbiamo che se $kerf=ZZ_4$ allora si ha l'omomorfismo banale.
Se il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro allora l'omomorfismo è ingettivo, quindi conserva i periodi.
Questo si verifica nel caso considerassimo $kerf={e}$, dovremmo cioè trovare in $U(ZZ_13)$ qualche elemento di periodo $4$. Ci sono? Se sì quali sono?
Se invece consideriamo come $kerf=ZZ_2$ abbiamo allora che $G=ZZ_4//ZZ_2$ è isomorfo all'immagine, che sarà un sottoinsieme di $ZZ_12$, quindi dovremo trovare degli elementi di periodo 2, a cui associare il nostro $1$.
Non so se sono stato chiaro!
Osserva anzitutto che $ZZ_4$ è un suo sottogruppo normale, perciò abbiamo che se $kerf=ZZ_4$ allora si ha l'omomorfismo banale.
Se il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro allora l'omomorfismo è ingettivo, quindi conserva i periodi.
Questo si verifica nel caso considerassimo $kerf={e}$, dovremmo cioè trovare in $U(ZZ_13)$ qualche elemento di periodo $4$. Ci sono? Se sì quali sono?
Se invece consideriamo come $kerf=ZZ_2$ abbiamo allora che $G=ZZ_4//ZZ_2$ è isomorfo all'immagine, che sarà un sottoinsieme di $ZZ_12$, quindi dovremo trovare degli elementi di periodo 2, a cui associare il nostro $1$.
Non so se sono stato chiaro!
"mistake89":
Calma Calma.
Osserva anzitutto che $ZZ_4$ è un suo sottogruppo normale, perciò abbiamo che se $kerf=ZZ_4$ allora si ha l'omomorfismo banale.
Se il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro allora l'omomorfismo è ingettivo, quindi conserva i periodi.
Questo si verifica nel caso considerassimo $kerf={e}$, dovremmo cioè trovare in $U(ZZ_13)$ qualche elemento di periodo $4$. Ci sono? Se sì quali sono?
Se invece consideriamo come $kerf=ZZ_2$ abbiamo allora che $G=ZZ_4//ZZ_2$ è isomorfo all'immagine, che sarà un sottoinsieme di $ZZ_12$, quindi dovremo trovare degli elementi di periodo 2, a cui associare il nostro $1$.
Non so se sono stato chiaro!
Claro. Dunque gli elementi di periodo 4 sono $2^3$ e $2^9$. Di periodo 2 c'è solo $2^6$, quindi avremmo:
$f:1 -> 1$
$f:1 -> 2^6$
$f:1 -> 2^3$
$f:1 -> 2^9$
giusto? Come capisco se sono iniettivi o suriettivi o nessuna delle due?
Altra cosa: dato un $Z_n$, la formula per calcolare il periodo di un suo elemento k è $n/(MCD(k,n))$, ma come si trova il contrario, cioè tutti gli elementi che hanno un dato periodo?
Ultima cosa: non ho ben chiaro perchè se consideriamo $ker={e]$, $ker=Z_4$ e $ker=Z_4/Z_2$ dobbiamo cercare rispettivamente gli elementi di ordine 4, 1 e 2 e perchè $Z_4$/$Z_2$ è un sottoinsieme di $Z_12$
Grazie mille
Beh se il $ker$ è ridotto al solo elemento neutro allora abbiamo l'ingettività.
La tua ultima domanda è il succo di tutto il discorso, conosci il teorema fondamentale di isomorfismo per i gruppi (o di omomorfismo!)?
Se no vallo a leggere, perchè è di importanza capitale.
Se abbiamo $G$ gruppo ed $H$ un suo sottogruppo normale, ed abbiamo un omomorfismo $phi:G->G'$ allora $G//H \cong phi(G)subG'$, ecco perchè funziona quanto abbiamo costruito.
Conoscendo il nucleo, possiamo stabilire come è fatto il quoziente di $ZZ_4$ rispetto ad un suo sottogruppo normale e pertanto stabilire come deve essere fatto il nostro omomorfismo.
Perciò se ad esempio consideriamo $ZZ_4//ZZ_2$ sappiamo che questo è isomorfo a $ZZ_2$, quindi preso il generatore di $ZZ_2$, cioè $1$, dobbiamo cercare un immagine in $U(ZZ_13)$ che abbia lo stesso periodo.
Non so se sono stato chiarissimo, nel caso proverò a spiegarmi meglio però ti consiglio di leggere il teorema che ho citato perché è davvero importante.
La tua ultima domanda è il succo di tutto il discorso, conosci il teorema fondamentale di isomorfismo per i gruppi (o di omomorfismo!)?
Se no vallo a leggere, perchè è di importanza capitale.
Se abbiamo $G$ gruppo ed $H$ un suo sottogruppo normale, ed abbiamo un omomorfismo $phi:G->G'$ allora $G//H \cong phi(G)subG'$, ecco perchè funziona quanto abbiamo costruito.
Conoscendo il nucleo, possiamo stabilire come è fatto il quoziente di $ZZ_4$ rispetto ad un suo sottogruppo normale e pertanto stabilire come deve essere fatto il nostro omomorfismo.
Perciò se ad esempio consideriamo $ZZ_4//ZZ_2$ sappiamo che questo è isomorfo a $ZZ_2$, quindi preso il generatore di $ZZ_2$, cioè $1$, dobbiamo cercare un immagine in $U(ZZ_13)$ che abbia lo stesso periodo.
Non so se sono stato chiarissimo, nel caso proverò a spiegarmi meglio però ti consiglio di leggere il teorema che ho citato perché è davvero importante.
Grazie, sei gentilissimo.
Credo di aver capito: il nucleo di un qualsiasi omomorfismo tra gruppi è un sottogruppo normale del gruppo di partenza. $Z_4$ è ciclico, quindi ogni suo sottogruppo è normale.
Per il teorema fondamentale degli isomorfismi il gruppo quoziente G/ker(f) è isomorfo all'immagine di f.
$Z_4/{e}$ è isomorfo a $Z_4$, quindi bisogna trovare elementi con periodo 4.
$Z_4/Z_4$ omorfismo banale.
$Z_4/Z_2$. E' isomorfo a $Z_2$, generato da 1 con periodo 2, dunque bisogna trovare gli elementi con periodo 2.
Dubbi:
1)Perchè $Z_4/Z_2$è isomorfo a $Z_2$?
2)Come faccio a trovare tutti gli elementi di un gruppo che hanno un determinato periodo?
Credo di aver capito: il nucleo di un qualsiasi omomorfismo tra gruppi è un sottogruppo normale del gruppo di partenza. $Z_4$ è ciclico, quindi ogni suo sottogruppo è normale.
Per il teorema fondamentale degli isomorfismi il gruppo quoziente G/ker(f) è isomorfo all'immagine di f.
$Z_4/{e}$ è isomorfo a $Z_4$, quindi bisogna trovare elementi con periodo 4.
$Z_4/Z_4$ omorfismo banale.
$Z_4/Z_2$. E' isomorfo a $Z_2$, generato da 1 con periodo 2, dunque bisogna trovare gli elementi con periodo 2.
Dubbi:
1)Perchè $Z_4/Z_2$è isomorfo a $Z_2$?
2)Come faccio a trovare tutti gli elementi di un gruppo che hanno un determinato periodo?
1) per il th. di Lagrange la cardinalità di un quoziente è il rapporto delle cardinalità quindi $4/2$ che è ovviamente uguale a $2$. Di ordine 2 abbiamo un solo gruppo, $ZZ_2$.
2) A questo non ti so rispondere di preciso, sarebbe interessante anche per me. Però in questo caso se hai un gruppo ciclico diventa semplice, prendi i divisori dell'ordine e prova. Oppure ci sono altri teoremi tipo il teorema di Eulero o il piccolo th. di Fermat... ma in senso assoluto non credo che sia un problema banale.
Magari qualcuno ne sa sicuramente più di me a riguardo.
2) A questo non ti so rispondere di preciso, sarebbe interessante anche per me. Però in questo caso se hai un gruppo ciclico diventa semplice, prendi i divisori dell'ordine e prova. Oppure ci sono altri teoremi tipo il teorema di Eulero o il piccolo th. di Fermat... ma in senso assoluto non credo che sia un problema banale.
Magari qualcuno ne sa sicuramente più di me a riguardo.
Ok grazie. Mi è capitata tra le mani questa domanda: Stabilire se esiste un omomorfismo di gruppi $Z_20 -> Z_3$ il cui nucleo sia il sottogruppo di $Z_20$ generato da $[4]20$.
<4> = { 0, 4, 8, 12,16}, è un sottogruppo normale, quindi per il th fondamentale esiste sicuramente un omomorfismo, giusto?
<4> = { 0, 4, 8, 12,16}, è un sottogruppo normale, quindi per il th fondamentale esiste sicuramente un omomorfismo, giusto?
Beh se esistesse allora $ZZ_20//<4> \cong ZZ_4$ dovrebbe essere isomorfo all'immagine di tale omomorfismo, che però in $ZZ_3$ può avere dimensione al più $3$ e questo è assurdo.
Potreste dare un'occhiata a questo?
Dati $Z$, $Z_6$, $Z_24$:
a)determinare tutti i morfismi da $Z_6$ a $Z_24$
I sottogruppi di $Z_6$ sono {e], $Z_6$, $Z_2$ e $Z_3$.
$Z_6/{e}$, => ordine 6.
$Z_6/Z_6$ morfismo banale
$Z_6/Z_2$ isomorfo ad $Z_3$, ordine 3.
$Z_6/Z_3$ isomorfo ad $Z_2$, ordine 2.
Quattro morfismi:
$f:1 -> 1$ né iniettivo né suriettivo
$ f : 1 -> 1^22 $
$ f : 1 -> 1^21$
$ f: 1 -> 1^18$
b)Trovare un morfismo da $Z_24 -> Z_6$ tale che ker(morfismo) = < [3] (mod 24)>
non esiste alcun morfismo con quel nucleo poichè l'elemento dell'immagine dovrebbe avere ordine 8, mentre gli elementi di $Z_6$ hanno ordine al più 6.
corretto?
C) Dato il gruppo $Z_6 x Z_24$, trovare un sottogruppo con 6 elementi.
Allora: $U(6)$= 2 e $U(24)$ = 8. I divisori di 2 sono 1 e 2 mentre i divisori di 8 sono 1,2,4 e 8.
In $Z_6$ l'elemento di ordine 2 è 5. In $Z_24$ di ordine 2 ci sono 5 e 12.
Un suo sottogruppo sarà con 6 elementi è: S = { ([1], [1]), ([1],[5]), ([5],[1]), ([5], [5]), ([1], [12]), ([5], [12]) }
sono corretti?
D)Esiste un morfismo suriettivo da $Z$ a $Z_6 X Z_24$?
Questo non lo so fare.
saluti
Dati $Z$, $Z_6$, $Z_24$:
a)determinare tutti i morfismi da $Z_6$ a $Z_24$
I sottogruppi di $Z_6$ sono {e], $Z_6$, $Z_2$ e $Z_3$.
$Z_6/{e}$, => ordine 6.
$Z_6/Z_6$ morfismo banale
$Z_6/Z_2$ isomorfo ad $Z_3$, ordine 3.
$Z_6/Z_3$ isomorfo ad $Z_2$, ordine 2.
Quattro morfismi:
$f:1 -> 1$ né iniettivo né suriettivo
$ f : 1 -> 1^22 $
$ f : 1 -> 1^21$
$ f: 1 -> 1^18$
b)Trovare un morfismo da $Z_24 -> Z_6$ tale che ker(morfismo) = < [3] (mod 24)>
non esiste alcun morfismo con quel nucleo poichè l'elemento dell'immagine dovrebbe avere ordine 8, mentre gli elementi di $Z_6$ hanno ordine al più 6.
corretto?
C) Dato il gruppo $Z_6 x Z_24$, trovare un sottogruppo con 6 elementi.
Allora: $U(6)$= 2 e $U(24)$ = 8. I divisori di 2 sono 1 e 2 mentre i divisori di 8 sono 1,2,4 e 8.
In $Z_6$ l'elemento di ordine 2 è 5. In $Z_24$ di ordine 2 ci sono 5 e 12.
Un suo sottogruppo sarà con 6 elementi è: S = { ([1], [1]), ([1],[5]), ([5],[1]), ([5], [5]), ([1], [12]), ([5], [12]) }
sono corretti?
D)Esiste un morfismo suriettivo da $Z$ a $Z_6 X Z_24$?
Questo non lo so fare.
saluti
Nessuno? 
"Kekec":[mod="Martino"]Sei pregato di aspettare almeno 24 ore prima di fare un "UP". Come da regolamento. Grazie.[/mod]
Nessuno?
Qualcuno può aiutarmi?
Ti darei questo consiglio: siccome si tratta di un esercizio diverso, apri un nuovo argomento. Così è più facile che gli utenti si interessino.
Va bene, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo