Esercizio sui gruppi
Salve a tutti...ho studiato la teoria sui gruppi ma gli esercizi proprio non li so fare....potete aiutarmi?ad esempio questo come si fa?
Una trasformazione affine di $RR$ è un un'applicazione $RR$ $rarr$ $RR$ data da x $rarr$ ax + b con a $in$ $RR$ - {0} e b $in$ $RR$.
Dimostrare che le trasformazioni affini di $RR$ formano un gruppo con la composizione e dire se si tratta di un gruppo abeliano.
Io non riesco proprio a capire quali sono gli elementi del gruppo....:(!vi prego aiutatemi....
Una trasformazione affine di $RR$ è un un'applicazione $RR$ $rarr$ $RR$ data da x $rarr$ ax + b con a $in$ $RR$ - {0} e b $in$ $RR$.
Dimostrare che le trasformazioni affini di $RR$ formano un gruppo con la composizione e dire se si tratta di un gruppo abeliano.
Io non riesco proprio a capire quali sono gli elementi del gruppo....:(!vi prego aiutatemi....
Risposte
"melli13":
Salve a tutti...ho studiato la teoria sui gruppi ma gli esercizi proprio non li so fare....potete aiutarmi?ad esempio questo come si fa?
Una trasformazione affine di $RR$ è un un'applicazione $RR to RR$ data da $x mapsto ax + b$ con $a \in RR - {0}$ e $b in RR$.
Dimostrare che le trasformazioni affini di $RR$ formano un gruppo con la composizione e dire se si tratta di un gruppo abeliano.
Devi semplicemente verificare se sono soddisfatte le varie condizioni di gruppo:
intanto che la legge di composizione è interna e che quindi la composizione di trasformazioni affini è ancora una trasformazione affine
poi devi trovare una trasformazione affine che funzioni da elemento identico per la composizione
poi verificare che vale la proprietà associativa
infine individuare per ogni trasformazione affine la sua inversa
Prova a postae qualche passaggio che poi ti aiuto
Ciao
Ma io non riesco proprio a capire qual'è il geuppo...quali sono gli elementi....:(!
Semplicemente sono delle trasformazioni affini
Vedilo come $G={$$f:RR to RR:x mapsto ax + b; a \in RR - {0} , b in RR}$ e come composizioni prendi la composizione di funzioni.
Vedilo come $G={$$f:RR to RR:x mapsto ax + b; a \in RR - {0} , b in RR}$ e come composizioni prendi la composizione di funzioni.
Grazie mille...chissà quanta pazienza devi avere per rispondermi...:)!
Allora io posso dire che è un gruppo perchè la composizione tra funzioni è associativa; l'elemento neutro è l'identità x $rarr$ x e questo si verifica quando a =1 e b =0, che sono contenuti in $RR$; la mappa è invertibile perchè la funzione y=ax+b è iniettiva (però qual è l'elemento inverso?). Quindi le trasformazioni affini di $RR$ formano un gruppo. Giusto?ora fammi pensare un po' per vedere se è canche commutativo...[/spoiler]
Allora io posso dire che è un gruppo perchè la composizione tra funzioni è associativa; l'elemento neutro è l'identità x $rarr$ x e questo si verifica quando a =1 e b =0, che sono contenuti in $RR$; la mappa è invertibile perchè la funzione y=ax+b è iniettiva (però qual è l'elemento inverso?). Quindi le trasformazioni affini di $RR$ formano un gruppo. Giusto?ora fammi pensare un po' per vedere se è canche commutativo...[/spoiler]
Se è commutativo non so vederlo...se volessi farlo con la tabella come si fa?quali sono gli elementi da inserire?
Ho fatto un calcolino...e mi è risultato che il gruppo non è commutativo...giusto?
Giusto: il gruppo non è abeliano.
Per determinare l'applicazione affine inversa della $f:RR to RR:x mapsto ax + b$ $a \in RR - {0} , b in RR$, basta che consideri l'applicazione affine $g:RR to RR:x mapsto cx + d$ $c \in RR - {0} , d in RR$ e vai a verificare quando è che $f°g=id$, ti troverai alcune condizioni sui coefficienti della $g$.
Per determinare l'applicazione affine inversa della $f:RR to RR:x mapsto ax + b$ $a \in RR - {0} , b in RR$, basta che consideri l'applicazione affine $g:RR to RR:x mapsto cx + d$ $c \in RR - {0} , d in RR$ e vai a verificare quando è che $f°g=id$, ti troverai alcune condizioni sui coefficienti della $g$.
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