Esercizio sui Gruppi
Ciao gente!!
Sto sempre cercando di risolvere quel famoso compito del mio professore... Per ora sono letteralmente bloccata nella parte relativa ai gruppi..Comunque vado dritta al sodo (finalmente!
). Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia $G$ un gruppo generato da 2 elementi $a$, $b$ tali che $a^2=b^9=e$ e $ba=ab^8$.
1) Determinare l'ordine di $G$.
2) Determinare gli elementi di ordine 2 in $G$.
3) Usare 2) per dedurre che $G$ non è isomorfo a $ZZ_3 x S_3$.
Io per il punto 1 direi che $|G|=11$ dato che i suoi generatori $a$ e $b$ hanno ordine rispettivamente $2,9$. (Ho solo fatto la somma dei due ordini, spero sia giusto..)
Per il punto 2 invece dovrei trovare quegli elementi che elevati a 2 danno l'elemento neutro, giusto?
Grazie a tutti per le eventuali risposte
Sto sempre cercando di risolvere quel famoso compito del mio professore... Per ora sono letteralmente bloccata nella parte relativa ai gruppi..Comunque vado dritta al sodo (finalmente!
). Il testo dell'esercizio è il seguente: Sia $G$ un gruppo generato da 2 elementi $a$, $b$ tali che $a^2=b^9=e$ e $ba=ab^8$.
1) Determinare l'ordine di $G$.
2) Determinare gli elementi di ordine 2 in $G$.
3) Usare 2) per dedurre che $G$ non è isomorfo a $ZZ_3 x S_3$.
Io per il punto 1 direi che $|G|=11$ dato che i suoi generatori $a$ e $b$ hanno ordine rispettivamente $2,9$. (Ho solo fatto la somma dei due ordini, spero sia giusto..)
Per il punto 2 invece dovrei trovare quegli elementi che elevati a 2 danno l'elemento neutro, giusto?
Grazie a tutti per le eventuali risposte
Risposte
Io per il punto 1 direi che $|G|=11$ dato che i suoi generatori $a$ e $b$ hanno ordine rispettivamente $2,9$. (Ho solo fatto la somma dei due ordini, spero sia giusto..)Sai, in matematica le cose andrebbero giustificate a fondo. Non c'è nessuna ragione per cui l'ordine del gruppo sia la somma degli ordini di due suoi dati elementi (perché la somma, poi?). I gruppi sono delle strutture con una loro complessità, conoscere dei generatori e i loro ordini non è quasi mai sufficiente per dedurre qualcosa sull'ordine del gruppo.
Io osserverei che [tex]a^{-1}ba = b^8 = b^{-1}[/tex], e da questo e dal fatto che [tex]a^2=1[/tex] puoi dedurre tutti i prodotti. Un generico elemento sarà del tipo [tex]ab^{h_1}ab^{h_2}...ab^{h_n}[/tex], ma usando la relazione [tex]aba=b^{-1}[/tex] puoi riarrangiare i termini ed ottenere un elemento della forma [tex]b^h[/tex] oppure [tex]ab^h[/tex]. Da qui non dovrebbe risultarti difficile dedurre l'ordine del gruppo, e anche qualche altra cosa.
Io te l'ho detto così, ma forse il vostro insegnante vi ha illustrato metodi diversi.
"Martino":
Sai, in matematica le cose andrebbero giustificate a fondo. Non c'è nessuna ragione per cui l'ordine del gruppo sia la somma degli ordini di due suoi dati elementi (perché la somma, poi?). I gruppi sono delle strutture con una loro complessità, conoscere dei generatori e i loro ordini non è quasi mai sufficiente per dedurre qualcosa sull'ordine del gruppo.
Si, abbastanza chiaro...Che scema!
"Martino":
Io te l'ho detto così, ma forse il vostro insegnante vi ha illustrato metodi diversi.
Diciamo che non mi è chiaro il metodo illustrato dal prof dato che non ho seguito il suo corso e magari non l'ho captato dalle dispense...
In ogni caso grazie mille Martino, ci rifletterò su e vediamo se mi si accenderà la lampadina
Rieccomi. Utilizzando le formule $ba=ab^8$ e $a^(-1)ba=b^8=b(-1)$ giungo a dire che un insieme $H$ ha questi elementi
$H={e,a,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7,b^8,ba}$
e consta di 11 elementi quindi $|G|=11$.
E' corretto?
$H={e,a,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7,b^8,ba}$
e consta di 11 elementi quindi $|G|=11$.
E' corretto?
"Samy21":No, mancano degli elementi, per esempio $ab$.
Rieccomi. Utilizzando le formule $ba=ab^8$ e $a^(-1)ba=b^8=b(-1)$ giungo a dire che un insieme $H$ ha questi elementi
$H={e,a,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7,b^8,ba}$
e consta di 11 elementi quindi $|G|=11$.
E' corretto?
Ok, mi sa che non ho capito proprio nulla...Devo fare tutti i possibili abbinamenti?Non è un pò tortuoso come passaggio? 
Allora dovrebbe avere questi elementi
$H={e,a,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7,b^8,ba,ab,ab^2,ab^3,ab^4,ab^5,ab^6,ab^7}$
$ab^8$ essendo uguale a $ba$ non lo considero tra gli elementi...
E' giusto?
Allora dovrebbe avere questi elementi
$H={e,a,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6,b^7,b^8,ba,ab,ab^2,ab^3,ab^4,ab^5,ab^6,ab^7}$
$ab^8$ essendo uguale a $ba$ non lo considero tra gli elementi...
E' giusto?
Sì è giusto. La giustificazione è che ogni elemento può essere scritto nella forma [tex]b^h[/tex] oppure [tex]ab^h[/tex] (per il motivo che ho detto sopra). E non ci sono "collassi", perché [tex]ab^h=b^k[/tex] implicherebbe [tex]a=b^{k-h}[/tex], assurdo perché [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] non commutano.
Ok, grazie
Ora, per risolvere il punto 2) devo trovare gli elementi dell'insieme $H$ che elevati a 2 danno l'elemento neutro, per esempio $a$, no?
Ora, per risolvere il punto 2) devo trovare gli elementi dell'insieme $H$ che elevati a 2 danno l'elemento neutro, per esempio $a$, no?
"Samy21":Sì.
Ora, per risolvere il punto 2) devo trovare gli elementi dell'insieme $H$ che elevati a 2 danno l'elemento neutro, per esempio $a$, no?
Direi allora che gli elementi di ordine 2 sono ${e,a}$...E' possibile?
"Samy21":No, per esempio [tex](ab)^2=1[/tex].
Direi allora che gli elementi di ordine 2 sono ${e,a}$...E' possibile?
Ti darei questo consiglio: cerca di riflettere di più prima di porre domande. Non è che mi dispiaccia rispondere, è che sarebbe molto più produttivo per te pensare a lungo su una cosa che non riesci a capire, "sbatterci la testa", come si dice.
Vabbene, grazie per il consiglio, ne farò tesoro!
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