Esercizio sui gruppi

[Alessio1113]

Buona sera a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Mostrare che G non è semplice, dove :
| G | = $p^2q^2$ con p Non so proprio come fare, se qualcuno se qualcuno e cortese da aiutarmi lo ringrazio molto.

[spugna2]

Usando i teoremi di Sylow, il numero $n_q$ dei sottogruppi di ordine $q^2$ è $1$, $p$ o $p^2$: dato che deve essere congruo a $1$ modulo $q$, tale numero non può essere $p$, mentre se è $1$ si ha un sottogruppo normale non banale. Resta da vedere il caso $n_q=p^2$, da cui $q|p^2-1 \Rightarrow q|p-1 vv q|p+1$, ma ciò può accadere solo se $p=2$ e $q=3$, che è falso per ipotesi.

[Alessio1113]

Grazie mille, sei stato molto chiaro.