Esercizio sui Gruppi
Sia $G$ un gruppo abeliano di ordine $p^n$ (p primo). Siano:
$H={g^p|g\ in\ G}$ e $K={x\ in\ G| x^p=1}$.
(1) Provare che H e K sono sottogruppi di G con $G//K \cong H$.
Riguardo questo punto ho prima dimostrato che H e K sono sottogruppi con il criterio per sottogruppi qualsiasi, poi ho definito la funzione $F:G->H$ come $F(g)=g^p$, fissato p. A questo punto $K=Ker(f)$, quindi per il teorema d'omomorfismo per i gruppi e perché $H$ è immagine epimorfa di $G$ tramite $f$, ho dimostrato l'isomorfismo.
(2) Provare che se $G$ possiede un solo sottogruppo di ordine $p$, questo coincide con $K$ e $H$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p^(n-1)$. Qui non saprei proprio come fare.
i miei dubbi sono:
a) come si dimostra che K ha ordine p? So che essendo p primo, un sottogruppo di tale ordine è ciclico. Quindi, poiché ogni elemento di K ha ordine p, ciò vale anche per un generatore di K. Può andare?
b) Dimostrare che K è l'unico sottogruppo di ordine p. Qui penso che ci voglia Sylow ma non saprei come applicarlo.
L'unica considerazione aggiuntiva che posso fare è che con queste ipotesi potrei usare il primo teorema d'isomorfismo, notando che $K$ è normale in $K*H$ e che $K\capH$ è normale in $H$ ma non saprei come procedere, quindi vi chiedo gentilmente una mano.. Grazie
$H={g^p|g\ in\ G}$ e $K={x\ in\ G| x^p=1}$.
(1) Provare che H e K sono sottogruppi di G con $G//K \cong H$.
Riguardo questo punto ho prima dimostrato che H e K sono sottogruppi con il criterio per sottogruppi qualsiasi, poi ho definito la funzione $F:G->H$ come $F(g)=g^p$, fissato p. A questo punto $K=Ker(f)$, quindi per il teorema d'omomorfismo per i gruppi e perché $H$ è immagine epimorfa di $G$ tramite $f$, ho dimostrato l'isomorfismo.
(2) Provare che se $G$ possiede un solo sottogruppo di ordine $p$, questo coincide con $K$ e $H$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p^(n-1)$. Qui non saprei proprio come fare.
i miei dubbi sono:
a) come si dimostra che K ha ordine p? So che essendo p primo, un sottogruppo di tale ordine è ciclico. Quindi, poiché ogni elemento di K ha ordine p, ciò vale anche per un generatore di K. Può andare?
b) Dimostrare che K è l'unico sottogruppo di ordine p. Qui penso che ci voglia Sylow ma non saprei come applicarlo.
L'unica considerazione aggiuntiva che posso fare è che con queste ipotesi potrei usare il primo teorema d'isomorfismo, notando che $K$ è normale in $K*H$ e che $K\capH$ è normale in $H$ ma non saprei come procedere, quindi vi chiedo gentilmente una mano.. Grazie
Risposte
"Provare che se $G$ possiede un solo sottogruppo di ordine $p$ questo coincide con $K$"
Questo è molto più facile di quello che sembra, per ipotesi hai che $G$ contiene un unico sottogruppo di ordine $p$, chiamalo $Q$. In altre parole $Q$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p$. Tu vuoi dimostrare che $Q=K$. Prova a prendere $1 ne x in K$. Per definizione di $K$ hai che $x$ ha ordine $p$. Cosa puoi dire del sottogruppo ciclico $A le G$ generato da $x$? Che ordine ha? Quindi ricordando che $Q$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p$, cosa puoi dire di $A$? A cosa è uguale $A$? Quindi cosa puoi dire di eventuali inclusioni tra $K$ e $Q$ (ricorda che se dimostri che $K le Q$ e $Q leq K$ hai dimostrato che $K=Q$).
A questo punto hai dimostrato in particolare che $K$ ha ordine $p$. Quindi ricordando il punto (1), $H$ che ordine ha? Se hai un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{n-1}$ è normale in $G$ (perché $G$ è abeliano), riesci a dimostrare che contiene $H$? E quindi che è uguale a $H$?
Questo è molto più facile di quello che sembra, per ipotesi hai che $G$ contiene un unico sottogruppo di ordine $p$, chiamalo $Q$. In altre parole $Q$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p$. Tu vuoi dimostrare che $Q=K$. Prova a prendere $1 ne x in K$. Per definizione di $K$ hai che $x$ ha ordine $p$. Cosa puoi dire del sottogruppo ciclico $A le G$ generato da $x$? Che ordine ha? Quindi ricordando che $Q$ è l'unico sottogruppo di $G$ di ordine $p$, cosa puoi dire di $A$? A cosa è uguale $A$? Quindi cosa puoi dire di eventuali inclusioni tra $K$ e $Q$ (ricorda che se dimostri che $K le Q$ e $Q leq K$ hai dimostrato che $K=Q$).
A questo punto hai dimostrato in particolare che $K$ ha ordine $p$. Quindi ricordando il punto (1), $H$ che ordine ha? Se hai un sottogruppo di $G$ di ordine $p^{n-1}$ è normale in $G$ (perché $G$ è abeliano), riesci a dimostrare che contiene $H$? E quindi che è uguale a $H$?
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