Esercizio su permutazioni e gruppi ciclici
Ciao a tutti! Sono nuova, quindi perdonatemi eventuali errori nelle formule 
Allora, il mio problema è questo: partendo da due gruppi ciclici generati da due permutazioni, non riesco a trovare un modo "sintetico" per determinarne l'intersezione. Mi spiego con un esempio. In un esercizio mi vengono date due permutazioni
s = (1,14,8,7,10)(2,9,11,12,5,3)(4,6,13) e
t= (17,14,10,8)(2,9,11,12,4,6,13)(3,5)
mi chiede di trovare l'intersezione dei gruppi ciclici generati da queste. Ora svolgendo l'esercizio mi ritrovo con 30 elementi nel primo gruppo e 70 nel secondo... Come faccio a determinarne l'intersezione, che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))? L'unica cosa che mi viene in mente è mettermi a calcolare tutte le potenze, ma fare 100 calcoli non mi sembra molto logico
Ho notato però che le due permutazioni mandano l'insieme {1,7,8,10,14 } in se stesso e le terze potenze di s fanno lo stesso, quindi ho pensato che la soluzione del problema potesse essere questa... Che dite? Grazie per l-aiuto
Allora, il mio problema è questo: partendo da due gruppi ciclici generati da due permutazioni, non riesco a trovare un modo "sintetico" per determinarne l'intersezione. Mi spiego con un esempio. In un esercizio mi vengono date due permutazioni
s = (1,14,8,7,10)(2,9,11,12,5,3)(4,6,13) e
t= (17,14,10,8)(2,9,11,12,4,6,13)(3,5)
mi chiede di trovare l'intersezione dei gruppi ciclici generati da queste. Ora svolgendo l'esercizio mi ritrovo con 30 elementi nel primo gruppo e 70 nel secondo... Come faccio a determinarne l'intersezione, che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))? L'unica cosa che mi viene in mente è mettermi a calcolare tutte le potenze, ma fare 100 calcoli non mi sembra molto logico
Ho notato però che le due permutazioni mandano l'insieme {1,7,8,10,14 } in se stesso e le terze potenze di s fanno lo stesso, quindi ho pensato che la soluzione del problema potesse essere questa... Che dite? Grazie per l-aiuto
Risposte
Ciao, scusa nella seconda permutazione il primo numero è 17 oppure 1,7 ?
Non necessariamente, potrebbe averne anche 5 o 2 basta che è un divisore comune dei due periodi.
che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))?
Non necessariamente, potrebbe averne anche 5 o 2 basta che è un divisore comune dei due periodi.
"perplesso":
Ciao, scusa nella seconda permutazione il primo numero è 17 oppure 1,7 ?
è 1,7, ho sbagliato a scrivere
che dovrebbe avere 10 elementi (10=MCD(30,70))?
Non necessariamente, potrebbe averne anche 5 o 2 basta che è un divisore comune dei due periodi.
quindi il mio modo di svolgere l'esercizio è sbagliato?
Non propio, volevo solo dire che MCD(30,70)=10 significa solo che al massimo nell'intersezione ci sono 10 elementi, tutto qua Cmq provo a darti un'idea (poi lascio a te verificarne la correttezza o meno) ... nota che $ (1,7,14,10,8) = (1,14,8,7,10)^3 $ e quindi se $ k $ è un intero non negativo
$ s^ {6k} = (1,14,8,7,10)^{6k}= (1,14,8,7,10)^k $
quindi da $ s $ puoi ottenere tutte le potenze del 5-ciclo $ (1,14,8,7,10) $
$ t^{14k} = (1,7,14,10,8)^{14k} = ((1,14,8,7,10)^3)^{14k} = (1,14,8,7,10)^{42k} = (1,14,8,7,10)^{2k} $
e al variare di $ k $ anche da $ t $ ricaviamo tutte le potenze di $ (1,14,8,7,10) $
quindi mi sento di affermare che l'intersezione contiene almeno i 5 elementi del sottogruppo $ <(1,14,8,7,10)> $. Dal 7-ciclo non ne caviamo fuori nulla perche comunque lo elevi rimane sempre un 7-ciclo, forse riusciamo a tirare fuori qualche altra cosa dal 6-ciclo, ci devo pensare un pò...
Cmq provo a darti un'idea (poi lascio a te verificarne la correttezza o meno) ... nota che $ (1,7,14,10,8) = (1,14,8,7,10)^3 $ e quindi se $ k $ è un intero non negativo$ s^ {6k} = (1,14,8,7,10)^{6k}= (1,14,8,7,10)^k $
quindi da $ s $ puoi ottenere tutte le potenze del 5-ciclo $ (1,14,8,7,10) $
$ t^{14k} = (1,7,14,10,8)^{14k} = ((1,14,8,7,10)^3)^{14k} = (1,14,8,7,10)^{42k} = (1,14,8,7,10)^{2k} $
e al variare di $ k $ anche da $ t $ ricaviamo tutte le potenze di $ (1,14,8,7,10) $
quindi mi sento di affermare che l'intersezione contiene almeno i 5 elementi del sottogruppo $ <(1,14,8,7,10)> $. Dal 7-ciclo non ne caviamo fuori nulla perche comunque lo elevi rimane sempre un 7-ciclo, forse riusciamo a tirare fuori qualche altra cosa dal 6-ciclo, ci devo pensare un pò...
E no neanche dal 6-ciclo ne esce niente infatti $ (2,9,11,12,5,3)^3 = (2,12)(9,5)(11,3) $ volevo vedere se riuscivo a ottenere la trasposizione $ (3,5) $ ma niente... ok allora $ \cap $ = $ <(1,14,8,7,10)> $ Se non ho sbagliato qualcosa (ti prego di controllare ) l'esercizio è finito.
credo che sia proprio così, anche io sono giunta alla stessa conclusione... grazie 
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