Esercizio su permutazioni
Data la permutazione \(a:\)
\((1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13)\)
\((3, 10, 13, 6 ,11 ,12 ,9 ,1 ,2, 4, 8, 7 ,5 )\)
appartentente a \(S13\):
Sia H:= , determinare \(|H|\). Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Esibirlo se esiste, motivare la risposta in caso contrario.
Non capisco come svolgerlo. Devo prima ridurre 8440 (mod 13) , per trovare a^3 , trovare la decomposizione in cicli disgiunti di a^3 e calcolarne il periodo (il quale periodo coinciderebbe con |H|)?
Oppure devo prima decomporre a in cicli disgiunti, trovare il periodo di a e ridurre 8440 (mod periodo di a)?
\((1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13)\)
\((3, 10, 13, 6 ,11 ,12 ,9 ,1 ,2, 4, 8, 7 ,5 )\)
appartentente a \(S13\):
Sia H:= , determinare \(|H|\). Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Esibirlo se esiste, motivare la risposta in caso contrario.
Non capisco come svolgerlo. Devo prima ridurre 8440 (mod 13) , per trovare a^3 , trovare la decomposizione in cicli disgiunti di a^3 e calcolarne il periodo (il quale periodo coinciderebbe con |H|)?
Oppure devo prima decomporre a in cicli disgiunti, trovare il periodo di a e ridurre 8440 (mod periodo di a)?
Risposte
[xdom="Seneca"]Ho spostato la discussione in Algebra.[/xdom]
Perché devi ridurre modulo 13?! Innanzi tutto scrivi $\alpha $ in cicli disgiunti
@Deleted : Lo "stile" dell'esercizio mi è familiare
studi a Bari?

"Kashaman":
Perché devi ridurre modulo 13?! Innanzi tutto scrivi $\alpha $ in cicli disgiunti
Ripensandoci... si potrebbe utilizzare la proposizione che afferma che se a è periodico di periodo m, e h è intero, allora:
o(a^h)=m/(MCD(m,h)), che coinciderebbe con la cardinalita' del sottogruppo ciclico generato da a^h, cioè |H|. Giusto?
Intanto la decomposizione in cicli disgiunti è:
(1 3 13 5 11 8)(2 10 4 6 12 7 9)
quindi il periodo di \(a=mcm(6,7)=42\)
e se quella di prima non era un eresia allora \(|H|=o(a^8440)=42/(MCD(42,8440))=42/2=24\)
"Plepp":
@Deleted : Lo "stile" dell'esercizio mi è familiarestudi a Bari?
Esatto

Secondo me ti conviene ridurre modulo $o(\alpha)$ l'esponente $8440$, che è più semplice (non che il tuo ragionamento sia errato eh!). Prova a usare le formule comunque, ché si capisce poco e qualche moderatore potrebbe aver (giustamente) da ridire.
P.S. Primo anno?
P.S. Primo anno?

"Plepp":
Secondo me ti conviene ridurre modulo $o(\alpha)$ l'esponente $8440$, che è più semplice (non che il tuo ragionamento sia errato eh!). Prova a usare le formule comunque, ché si capisce poco e qualche moderatore potrebbe aver (giustamente) da ridire.
P.S. Primo anno?
Riducendo l'esponente $(mod 42)$, si ha $40$, ma procedendo in questo modo quale sarebbe il passaggio successivo?
Quindi $|H|=24$ è corretto. Come posso dire invece se esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).

La tua risoluzione mi sembra corretta, però la mia paura è che applichi la regoletta a memoria 
Sapresti dimostrare quanto tu hai detto?
Sapresti dimostrare che
Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$. $o(g^i) = n / (g.c.d(i,n))$?
Comunque, se $K$ è un sottogruppo di ordine 3 di $H$ , che tipologia di gruppo è $K$? che proprietà deve soddisfare il suo generatore nei confronti di $H$?

Sapresti dimostrare quanto tu hai detto?
Sapresti dimostrare che
Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$. $o(g^i) = n / (g.c.d(i,n))$?
Comunque, se $K$ è un sottogruppo di ordine 3 di $H$ , che tipologia di gruppo è $K$? che proprietà deve soddisfare il suo generatore nei confronti di $H$?
In questo caso, dal momento che hai trovato un numero un po' troppo grande, applichi la formula che dicevi.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$
Cerca una potenza del generatore che abbia ordine $3$ 
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$


"Deleted":
P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.

"Plepp":
In questo caso, dal momento che hai trovato un numero un po' troppo grande, applichi la formula che dicevi.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$Cerca una potenza del generatore che abbia ordine $3$
Si, non so fare neanche una semplice divisione

Vediamo se ho capito... Dato che Se $m|n => o(g^(n/m))=m$, nel mio caso $3|21$, quindi affinchè il periodo sia $3$, g deve essere elevato alla $21/3=7$.
Quindi dovrei prendere $a^7$. Solo che $a^7$ è (1 3 13 5 11 8) che non ha periodo 3, ma 6.
Dove sbaglio?
"Plepp":
[quote="Deleted"]P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.

Dipende da cosa intendi per dolce, l'ultimo appello è stato superato da 4 persone su 65, con voto 18

No no. Tu sai che i sottogruppi di $H$ hanno per ordine un divisore di $|H|$; in altre parole:
\[K\le H \implies |K|:=d|n =: |H| \]
Ora, nel nostro caso $n=21$ e noi stiamo cercando un sottogruppo di ordine $3$. In generale, questo PUO' esserci (non è detto che ci sia, nel caso di gruppi $H$ qualsiasi), poiché è soddisfatta la condizione (necessaria) per la quale $3|21$.
Nel caso particolare, $H$ è un gruppo ciclico, quindi per ogni divisore $d$ di $n$ esiste ed è unico il sottogruppo $K$ di ordine $d$ (suppongo che il prof. l'abbia dimostrato).
Ergo concludiamo che di certo un sottogruppo di ordine $3$ esiste, e per di più questo è unico. Se ti interessa determinarlo, devi prendere una potenza del generatore di $H$ (che a sua volta sarà una certa potenza $\alpha^i$ di $\alpha$, indovina un po' quale
) che abbia ordine $3$; se $H=<\sigma>$, devi prendere $K=<\sigma^7>$.
\[K\le H \implies |K|:=d|n =: |H| \]
Ora, nel nostro caso $n=21$ e noi stiamo cercando un sottogruppo di ordine $3$. In generale, questo PUO' esserci (non è detto che ci sia, nel caso di gruppi $H$ qualsiasi), poiché è soddisfatta la condizione (necessaria) per la quale $3|21$.
Nel caso particolare, $H$ è un gruppo ciclico, quindi per ogni divisore $d$ di $n$ esiste ed è unico il sottogruppo $K$ di ordine $d$ (suppongo che il prof. l'abbia dimostrato).
Ergo concludiamo che di certo un sottogruppo di ordine $3$ esiste, e per di più questo è unico. Se ti interessa determinarlo, devi prendere una potenza del generatore di $H$ (che a sua volta sarà una certa potenza $\alpha^i$ di $\alpha$, indovina un po' quale

Quindi esiste un unico sottogruppo ciclico per 1, 3, 7.
Ma quello di periodo 3 allora è $<(a^8440)^7>$, visto che $$ non potrebbe essere perchè è (1 3 13 5 11 8) .
Corretto?
Ma quello di periodo 3 allora è $<(a^8440)^7>$, visto che $$ non potrebbe essere perchè è (1 3 13 5 11 8) .
Corretto?
Bene

Ciao ragazzi,
a quanto pare non sono l'unico a studiare a Bari su questo forum
ho un esercizio simile a questo la cui traccia è:
Data la permutazione
$ sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(14,13,12,11,1,2,3,4,10,6,9,7,8,5)) in S_14$
sia $ H:= $
(1) Determinare $ |H| $
(2) determinare tutte le permutazioni $ tau in H $ tali che $ tau(1) = 1 $
per la soluzione del punto (1) ho seguito la soluzione presente in questo thread e ho ragionato in questo modo
Scrivo $sigma$ in cicli disgiunti $(1,14,5)(2,13,8,4,11,9,10,6)(3,12,7)$
il periodo di $sigma$ è $mcm(3,8)=24$
riduco l'esponente $1256 mod 8=24$
$o(sigma^h)=m/(MCD(m,h))=24/(MCD(24,8))=3$
quindi posso dire che $|H|=3$
fin qui tutto giusto?
Per il secondo punto invece come potrei procedere?
[ot]visto che studiate a bari anche voi, nel caso aveste esercizi già svolti da cui posso imparare qualcosa e vi va di condividerli, mandami un mp
[/ot]
a quanto pare non sono l'unico a studiare a Bari su questo forum

ho un esercizio simile a questo la cui traccia è:
Data la permutazione
$ sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(14,13,12,11,1,2,3,4,10,6,9,7,8,5)) in S_14$
sia $ H:=
(1) Determinare $ |H| $
(2) determinare tutte le permutazioni $ tau in H $ tali che $ tau(1) = 1 $
per la soluzione del punto (1) ho seguito la soluzione presente in questo thread e ho ragionato in questo modo
Scrivo $sigma$ in cicli disgiunti $(1,14,5)(2,13,8,4,11,9,10,6)(3,12,7)$
il periodo di $sigma$ è $mcm(3,8)=24$
riduco l'esponente $1256 mod 8=24$
$o(sigma^h)=m/(MCD(m,h))=24/(MCD(24,8))=3$
quindi posso dire che $|H|=3$
fin qui tutto giusto?
Per il secondo punto invece come potrei procedere?
[ot]visto che studiate a bari anche voi, nel caso aveste esercizi già svolti da cui posso imparare qualcosa e vi va di condividerli, mandami un mp

