Esercizio su permutazioni
Data la permutazione \(a:\)
\((1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13)\)
\((3, 10, 13, 6 ,11 ,12 ,9 ,1 ,2, 4, 8, 7 ,5 )\)
appartentente a \(S13\):
Sia H:=, determinare \(|H|\). Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Esibirlo se esiste, motivare la risposta in caso contrario.
Non capisco come svolgerlo. Devo prima ridurre 8440 (mod 13) , per trovare a^3 , trovare la decomposizione in cicli disgiunti di a^3 e calcolarne il periodo (il quale periodo coinciderebbe con |H|)?
Oppure devo prima decomporre a in cicli disgiunti, trovare il periodo di a e ridurre 8440 (mod periodo di a)?
\((1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13)\)
\((3, 10, 13, 6 ,11 ,12 ,9 ,1 ,2, 4, 8, 7 ,5 )\)
appartentente a \(S13\):
Sia H:=
Esibirlo se esiste, motivare la risposta in caso contrario.
Non capisco come svolgerlo. Devo prima ridurre 8440 (mod 13) , per trovare a^3 , trovare la decomposizione in cicli disgiunti di a^3 e calcolarne il periodo (il quale periodo coinciderebbe con |H|)?
Oppure devo prima decomporre a in cicli disgiunti, trovare il periodo di a e ridurre 8440 (mod periodo di a)?
Risposte
[xdom="Seneca"]Ho spostato la discussione in Algebra.[/xdom]
Perché devi ridurre modulo 13?! Innanzi tutto scrivi $\alpha $ in cicli disgiunti
@Deleted : Lo "stile" dell'esercizio mi è familiare 
studi a Bari?
studi a Bari?
"Kashaman":
Perché devi ridurre modulo 13?! Innanzi tutto scrivi $\alpha $ in cicli disgiunti
Ripensandoci... si potrebbe utilizzare la proposizione che afferma che se a è periodico di periodo m, e h è intero, allora:
o(a^h)=m/(MCD(m,h)), che coinciderebbe con la cardinalita' del sottogruppo ciclico generato da a^h, cioè |H|. Giusto?
Intanto la decomposizione in cicli disgiunti è:
(1 3 13 5 11 8)(2 10 4 6 12 7 9)
quindi il periodo di \(a=mcm(6,7)=42\)
e se quella di prima non era un eresia allora \(|H|=o(a^8440)=42/(MCD(42,8440))=42/2=24\)
"Plepp":
@Deleted : Lo "stile" dell'esercizio mi è familiare
Esatto
Secondo me ti conviene ridurre modulo $o(\alpha)$ l'esponente $8440$, che è più semplice (non che il tuo ragionamento sia errato eh!). Prova a usare le formule comunque, ché si capisce poco e qualche moderatore potrebbe aver (giustamente) da ridire.
P.S. Primo anno?
P.S. Primo anno?
"Plepp":
Secondo me ti conviene ridurre modulo $o(\alpha)$ l'esponente $8440$, che è più semplice (non che il tuo ragionamento sia errato eh!). Prova a usare le formule comunque, ché si capisce poco e qualche moderatore potrebbe aver (giustamente) da ridire.
P.S. Primo anno?
Riducendo l'esponente $(mod 42)$, si ha $40$, ma procedendo in questo modo quale sarebbe il passaggio successivo?
Quindi $|H|=24$ è corretto. Come posso dire invece se esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).
La tua risoluzione mi sembra corretta, però la mia paura è che applichi la regoletta a memoria 
Sapresti dimostrare quanto tu hai detto?
Sapresti dimostrare che
Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$. $o(g^i) = n / (g.c.d(i,n))$?
Comunque, se $K$ è un sottogruppo di ordine 3 di $H$ , che tipologia di gruppo è $K$? che proprietà deve soddisfare il suo generatore nei confronti di $H$?
Sapresti dimostrare quanto tu hai detto?
Sapresti dimostrare che
Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$. $o(g^i) = n / (g.c.d(i,n))$?
Comunque, se $K$ è un sottogruppo di ordine 3 di $H$ , che tipologia di gruppo è $K$? che proprietà deve soddisfare il suo generatore nei confronti di $H$?
In questo caso, dal momento che hai trovato un numero un po' troppo grande, applichi la formula che dicevi.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$ Cerca una potenza del generatore che abbia ordine $3$
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$
Cerca una potenza del generatore che abbia ordine $3$ "Deleted":
P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.
"Plepp":
In questo caso, dal momento che hai trovato un numero un po' troppo grande, applichi la formula che dicevi.
Un sottogruppo di ordine $3$ di $H$ può esistere, dal momento che $3|\ |H|$, che è $21$, non $24$
Si, non so fare neanche una semplice divisione
.Vediamo se ho capito... Dato che Se $m|n => o(g^(n/m))=m$, nel mio caso $3|21$, quindi affinchè il periodo sia $3$, g deve essere elevato alla $21/3=7$.
Quindi dovrei prendere $a^7$. Solo che $a^7$ è (1 3 13 5 11 8) che non ha periodo 3, ma 6.
Dove sbaglio?
"Plepp":
[quote="Deleted"]P.S. E' un esame del primo anno, matematica discreta (che coinciderebbe con algebra del primo anno di matematica).
Ah ecco, quindi hai il dolce Nardy come prof.
[/quote]Dipende da cosa intendi per dolce, l'ultimo appello è stato superato da 4 persone su 65, con voto 18
No no. Tu sai che i sottogruppi di $H$ hanno per ordine un divisore di $|H|$; in altre parole:
\[K\le H \implies |K|:=d|n =: |H| \]
Ora, nel nostro caso $n=21$ e noi stiamo cercando un sottogruppo di ordine $3$. In generale, questo PUO' esserci (non è detto che ci sia, nel caso di gruppi $H$ qualsiasi), poiché è soddisfatta la condizione (necessaria) per la quale $3|21$.
Nel caso particolare, $H$ è un gruppo ciclico, quindi per ogni divisore $d$ di $n$ esiste ed è unico il sottogruppo $K$ di ordine $d$ (suppongo che il prof. l'abbia dimostrato).
Ergo concludiamo che di certo un sottogruppo di ordine $3$ esiste, e per di più questo è unico. Se ti interessa determinarlo, devi prendere una potenza del generatore di $H$ (che a sua volta sarà una certa potenza $\alpha^i$ di $\alpha$, indovina un po' quale ) che abbia ordine $3$; se $H=<\sigma>$, devi prendere $K=<\sigma^7>$.
\[K\le H \implies |K|:=d|n =: |H| \]
Ora, nel nostro caso $n=21$ e noi stiamo cercando un sottogruppo di ordine $3$. In generale, questo PUO' esserci (non è detto che ci sia, nel caso di gruppi $H$ qualsiasi), poiché è soddisfatta la condizione (necessaria) per la quale $3|21$.
Nel caso particolare, $H$ è un gruppo ciclico, quindi per ogni divisore $d$ di $n$ esiste ed è unico il sottogruppo $K$ di ordine $d$ (suppongo che il prof. l'abbia dimostrato).
Ergo concludiamo che di certo un sottogruppo di ordine $3$ esiste, e per di più questo è unico. Se ti interessa determinarlo, devi prendere una potenza del generatore di $H$ (che a sua volta sarà una certa potenza $\alpha^i$ di $\alpha$, indovina un po' quale
) che abbia ordine $3$; se $H=<\sigma>$, devi prendere $K=<\sigma^7>$.
Quindi esiste un unico sottogruppo ciclico per 1, 3, 7.
Ma quello di periodo 3 allora è $<(a^8440)^7>$, visto che $$ non potrebbe essere perchè è (1 3 13 5 11 8) .
Corretto?
Ma quello di periodo 3 allora è $<(a^8440)^7>$, visto che $
Corretto?
Bene 
Ciao ragazzi,
a quanto pare non sono l'unico a studiare a Bari su questo forum
ho un esercizio simile a questo la cui traccia è:
Data la permutazione
$ sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(14,13,12,11,1,2,3,4,10,6,9,7,8,5)) in S_14$
sia $ H:= $
(1) Determinare $ |H| $
(2) determinare tutte le permutazioni $ tau in H $ tali che $ tau(1) = 1 $
per la soluzione del punto (1) ho seguito la soluzione presente in questo thread e ho ragionato in questo modo
Scrivo $sigma$ in cicli disgiunti $(1,14,5)(2,13,8,4,11,9,10,6)(3,12,7)$
il periodo di $sigma$ è $mcm(3,8)=24$
riduco l'esponente $1256 mod 8=24$
$o(sigma^h)=m/(MCD(m,h))=24/(MCD(24,8))=3$
quindi posso dire che $|H|=3$
fin qui tutto giusto?
Per il secondo punto invece come potrei procedere?
[ot]visto che studiate a bari anche voi, nel caso aveste esercizi già svolti da cui posso imparare qualcosa e vi va di condividerli, mandami un mp [/ot]
a quanto pare non sono l'unico a studiare a Bari su questo forum
ho un esercizio simile a questo la cui traccia è:
Data la permutazione
$ sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14),(14,13,12,11,1,2,3,4,10,6,9,7,8,5)) in S_14$
sia $ H:=
(1) Determinare $ |H| $
(2) determinare tutte le permutazioni $ tau in H $ tali che $ tau(1) = 1 $
per la soluzione del punto (1) ho seguito la soluzione presente in questo thread e ho ragionato in questo modo
Scrivo $sigma$ in cicli disgiunti $(1,14,5)(2,13,8,4,11,9,10,6)(3,12,7)$
il periodo di $sigma$ è $mcm(3,8)=24$
riduco l'esponente $1256 mod 8=24$
$o(sigma^h)=m/(MCD(m,h))=24/(MCD(24,8))=3$
quindi posso dire che $|H|=3$
fin qui tutto giusto?
Per il secondo punto invece come potrei procedere?
[ot]visto che studiate a bari anche voi, nel caso aveste esercizi già svolti da cui posso imparare qualcosa e vi va di condividerli, mandami un mp
[/ot]
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