Esercizio su estensione di campi
Non so come procedere per dimostrare il seguente fatto:
Sia $K\subsetL$ un'estensione finita e $R$ un anello tale che $K\subsetR\subsetL$. Dimostrare che $R$ è un campo.
Qualcuno sa darmi una mano?
Sia $K\subsetL$ un'estensione finita e $R$ un anello tale che $K\subsetR\subsetL$. Dimostrare che $R$ è un campo.
Qualcuno sa darmi una mano?
Risposte
Se $a \in R$ è diverso da zero devi mostrare che $a^{-1} in R$. L'anello $K[a]$ è contenuto in $R$, quindi è contenuto in $L$. Ma allora $K[a]$ ha dimensione finita su $K$ (minore della dimensione di $L$ su $K$). Sai continuare? L'idea è dimostrare che $a^{-1} in K[a]$.
Ciao Martino. Innanzi tutto grazie per la risposta.
Con $K[a]$ intendi l'anello ${f(a)|f(X)\inK[X]}$ ?
Non so quanto sia giusto ma mi è venuta questa idea. Considerando che l'estensione $K\subsetL$ è finita allora ogni elemento appartenente a $L$ è algebrico su $K$. Essendo $R\subsetL$ ne segue che se $a\inR\Rightarrowa\inL$. Quindi $K[a]=K(a)={c_0+c_1a+...+c_(n-1)a^(n-1):c_i\inK}$ dove $n$ è il grado di $a$ su $K$. Ma $K(a)$ è un campo e contiene $a$ quindi il suo inverso.
Sono alle prime armi con questi argomenti quindi potrei aver scritto delle assurdità
Con $K[a]$ intendi l'anello ${f(a)|f(X)\inK[X]}$ ?
Non so quanto sia giusto ma mi è venuta questa idea. Considerando che l'estensione $K\subsetL$ è finita allora ogni elemento appartenente a $L$ è algebrico su $K$. Essendo $R\subsetL$ ne segue che se $a\inR\Rightarrowa\inL$. Quindi $K[a]=K(a)={c_0+c_1a+...+c_(n-1)a^(n-1):c_i\inK}$ dove $n$ è il grado di $a$ su $K$. Ma $K(a)$ è un campo e contiene $a$ quindi il suo inverso.
Sono alle prime armi con questi argomenti quindi potrei aver scritto delle assurdità
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo