Esercizio su anello quoziente

[star891]

ciao a tutti..ho iniziato a svolgere un esercizio ma mi sono bloccata su diversi punti..
vi posto la traccia
"Nell' anello $\Z\$ si considera l'ideale $\I=(507)\$. Sia $\A=(Z )/I \$
1) stabilire se A è un dominio o è finito.
ho iniziato scomponendo in fattori primi :$\507=3*13^2=3*(2+3i)^2*(2-3i)^2 \$
A non è un dominio poiché I non è primo, in quanto non lo è $\507 \$..proprietà che vale visto che A è un P.I.D
Inoltre è un anello finito..anche se non ne sono sicura del perché : i laterali sono del tipo $\ a+ib+(507) \$ quindi $\ a+ib=0 \$ oppure $\ v(a+ib)
2) descrivere il reticolo degli ideali di A specificando quali fra essi sono massimali o primi
Siamo in un P.I.D. quindi gli ideali primi coincidono con gli ideali massimali. Il reticolo è l opposto di quello dei divisori..ma nessuno dei fattori in cui si scompone $\507 \$ è un primo di Gauss quindi non ci sono ideali primi
....ora viene il bello!

3)Posto $\ J=(1-8i) \$ calcolare un generatore per gli ideali $\(I+J )\$ ,$\(I nn J) \$
Bene, so che :
$\(I+J)=MCD(I,J) =1\$ non penso sia giusto..penso che $\1-8i \$ debba essere scomposto in fattori primi in quanto non è un primo di Gauss ma non saprei come procedere.
$\(I nn J) =mcm(I,J)\$

4) Descrivere gli elementi dell' ideale quoziente $\((I+J))/((I nn J))\$
e forse questa era anche inutile scriverla visto che non so chi sono $\(I+J) \$ e $\(I nn J) \$

vorrei che qualcuno mi illuminasse!
intanto grazieeeeeeee

[j18eos]

"star89":ciao a tutti... A è un P.I.D...
...$\ v(a+ib) ...vorrei che qualcuno mi illuminasse!
intanto grazieeeeeeee

CIa0, forse vuoi dire che \(\mathbb{Z}\) è un P.I.D.; chi è la funzione \(v\)?

Non sono il dio Sole ma cercherò di fare dell'autoirraggiamento per te! Prego.

[star891]

$\ v \$ è la funzione di valutazione per cui se $\ z=a+ib \$ si ha $\ v(z)=a^2+b^2 \$

inoltre per una proprietà si ha che se $\ A \$ è un P.I.D. lo è anche $\ A/ I \$ dove $\ I \$ è un ideale

[star891]

raga nessuno? j18eos?

[j18eos]

Non è che voglio essere fiscale, ma gli up richiedono almeno 24 ore di attesa!

Fatte queste mie precisazioni, il punto I mi sembra pienamente corretto.

La descrizione di come deve essere il reticolo degli ideali di \(A\) è perfetta, a adesso non è il caso che mi esprima a tuo rischio e pericolo.

[star891]

scusa per l'up sono un po impaziente
in che senso a mio rischio e pericolo?
e nulla m sai dire rispetto alle altre richieste?

[j18eos]

Scusami per il ritardo; esercizio II: ma sei sicur* che \(3\) non sia un primo di Gauss? Oppure mi stò imbrogliando?!

[star891]

mi hai messo questo dubbio e hai fatto bene.. 3 è un primo di Gauss
http://it.wikipedia.org/wiki/File:PrimiGaussiani.jpg

[j18eos]

Bene... e quindi come concludi l'esercizio II?

Poi passo al III!

[star891]

$\( (3))/((507)) \$ è un ideale primo, l'unico..per l 'esercizio seguente stavo pensando che la divisione in $\ Z \$ potesse essere la soluzione..e stavo giusto cercando di capire quest'algoritmo

[star891]

non ne sono cosi sicura..sto perdendo un po' di fiducia

[j18eos]

In effetti: perché non ci sono altri ideali primi? L'unico fattore primo gaussiano di \(527\) è \(3\)?

Ti faccio notare che essendo in un P.I.D. gli elementi primi coincidono con gli elementi irriducibili!

[star891]

effettivamente anche $\ ((2+3i))/((507))\$ e $\((2-3i))/((507))\$ sono ideali primi

[j18eos]

Non ti sentire imbarazzata, eppoi sui dubbi basilari di teoria ci sono sempre i libri; come faccio io quando ho dei dubbi "scemi" (su quelli non "scemi" mi frego da solo -_-)!

Coll'esercizio III basta un pò di occhio per iniziare: \(1-8i=1^3+(2i)^3=...\)

Mi sembra che sia l'esercizio più bello dei \(4\)!

[star891]

..$\=(1+2i)(1-4-2i)=(1+2i)(-3-2i)\$..non vedo divisori in comune..
o in qualche modo $\-3-2i\$ è legato a $\2+3i\$ ?
posso scrivere $\-3-2i=-i(2-3i)\$ ?

[j18eos]

Certo, sicché non noti nulla dall'essere \(1-8i=-i(1+2i)(2-3i)\)?

[star891]

Certo..il fattore $\(2-3i)\$ in comune..
se è cosi, mi pare di capire che devo un po "giocarci sopra" quei numeri per riuscire a fattorizzarli e non c'è una regola ben precisa..o mi sbaglio?

[maurer]

Sbagli.
Non ho mai capito la didattica. Forse mi si obietterà che sto dando in mano dei fucili laser a persone che non sanno nemmeno usare la fionda, ma pazienza.

Si può dimostrare che se [tex]a + i b \in \mathbb Z[/tex] è qualsiasi e si può scrivere [tex]a + i b = P_1 \cdot P_2 \cdot \ldots \cdot P_r[/tex], allora [tex]N(a + i b) = N(P_1) N(P_2) \cdots N(P_r)[/tex], dove [tex]N[/tex] denota la norma (che va intesa, per essere precisi, nel senso proprio della teoria dei campi, ma che, in questo caso particolare, è semplicemente il modulo complesso). Inoltre, si può dimostrare che se [tex]P[/tex] è primo allora [tex]N(P) = p^\epsilon[/tex] dove [tex]p[/tex] è l'unico numero primo di [tex]\mathbb Z[/tex] tale che [tex](p) = (P) \cap \mathbb Z[/tex] e [tex]\epsilon \in \{1,2\}[/tex].

Ad esempio, [tex]N(1 - 8i) = 1 + 64 = 65 = 5 \cdot 13[/tex]. Ora, sappiamo che [tex]5 = (1 + 2i)(1-2i)[/tex] e che [tex]13 = (2 + 3i)(2 - 3i)[/tex]; pertanto i tuoi fattori li dovrai pescare nell'insieme [tex]\{1 + 2i, 1 - 2i, 2 + 3i, 2 - 3i\}[/tex]. A questo punto hai un numero ridotto di possibilità, le provi tutte fintanto che non trovi quella giusta...

Questo metodo è super-efficace, in pochi istanti senza praticamente fare conti risolvi tutti questi problemi. Credo sia addirittura possibile fare una dimostrazione elementare dei fatti che ho citato (se hai voglia di provarci, la leggerò con attenzione e volentieri, ma non chiedete a me di farla perché sono estremamente pigro: conosco una dimostrazione che uccide questi problemi con i cannoni e tanto mi basta per la mia serenità mentale). D'altra parte [tex]\mathbb Z[/tex] è un anello davvero bellissimo... è Euclideo! E conosciamo l'algoritmo di divisione esplicitamente! Anche qui, usando l'algoritmo di divisione molti problemi si risolvono meccanicamente, senza bisogno di appigliarsi a coincidenze fortuite. Lo svantaggio, è che è un po' calcoloso...

P.S. Un altro strumento potente è il teorema di Kummer per calcolare esplicitamente la fattorizzazione di primi [tex]p \in \mathbb Z[/tex] nella chiusura integrale [tex]R_K[/tex] di [tex]\mathbb Z[/tex] in un campo numerico [tex]K[/tex] ogni volta che [tex]p \nmid \text{disc}(R_K)[/tex]. Tra l'altro, usando questo fantastico teorema (che si può ridurre ad un semplice computo di una fibra schematica) il famoso teorema di Fermat sui primi che sono somma di due quadrati si può dimostrare in una riga... Bellissimo! In assoluto, la dimostrazione più bella che conosco di questo fatto!
P.P.S. L'ho detto per cultura generale di chi legge. Posso approfondire, ovviamente, se volete...

[star891]

Grazie mille maurer..ho capito!
penso che chi è in grado di usare i fucili laser , non sta qui a chiedere!
magari chi sta ancora imparando a usare la fionda, e si accorge che esistono i fucili laser più carini e colorati ha uno stimolo in più per imparare e si sbriga prima..quindi è bene che questi fucili laser si rivelino!
ho vaneggiato un po'

[maurer]

No, è esattamente quello che penso anch'io ed è esattamente il motivo per cui sfoglio sempre costantemente libri pieni zeppi di cose che non capisco ancora... per avere stimoli a correre in avanti e non fermarmi mai!

[j18eos]

"maurer":...Forse mi si obietterà che sto dando in mano dei fucili laser a persone che non sanno nemmeno usare la fionda, ma pazienza...

Obiezione proposta [size=85]e non ti arrabbiare[/size]! Modi di usare\fare la matematica: ai fucili laser preferisco sempre la fionda, se fallisco passo ai fucili laser!

@star89 Volendo utilizzare la metafora del gioco: le regole del gioco sono tutto ciò che hai studiato con la teoria, più giochi più impari meglio le regole, evitando anche i falli del gioco. Quello che ha scritto il caro maurer ti sia almeno e non solo da stimolo, come lo è per me!