Esercizio su anelli
Si consideri nell'anello $M_3(Q)$ il seguente insieme $ A=(( ( a , c , b),( b , a , c ),( c , b , a ) )|a,b,c in Q) $
a)Provare che A è un anello commutativo contenuto in $M_3(Q)$
b)Costruire( e verificare che è tale) un isomorfismo di anelli unitari $ (Q[x])/((f)) -> A $ dove $f=x^3-1$
c)Costruire (e verificare che è tale) un omomorfismo di anelli unitari $ (Q[x])/((g)) -> A $ dove $g=x^4-x^3-x+1$.Calcolare il nucleo di tale omomorfismo.
d)Calcolare il reticolo degli ideali $(Q[x])/((g))$ specificando quali fra essi sono primi o massimali.
Allora il punto a) e b) lo so fare poi per il punto c) ho fatto vedere che f divide g q quindi posso costruire l'omomorfismo, ma non so come andare avanti.
Per il puntod) ho fattorizzato g e cioè $g=(x-1)^2*(x^2+x+1)$ quindi gli ideali sono $(x-1)/(g)$ e $(x^2+x+1)/(g)$ ma come faccio a stabilire che sono primi o massimali?Q non è un PID quindi non posso dire che massimali=primi giusto?
a)Provare che A è un anello commutativo contenuto in $M_3(Q)$
b)Costruire( e verificare che è tale) un isomorfismo di anelli unitari $ (Q[x])/((f)) -> A $ dove $f=x^3-1$
c)Costruire (e verificare che è tale) un omomorfismo di anelli unitari $ (Q[x])/((g)) -> A $ dove $g=x^4-x^3-x+1$.Calcolare il nucleo di tale omomorfismo.
d)Calcolare il reticolo degli ideali $(Q[x])/((g))$ specificando quali fra essi sono primi o massimali.
Allora il punto a) e b) lo so fare poi per il punto c) ho fatto vedere che f divide g q quindi posso costruire l'omomorfismo, ma non so come andare avanti.
Per il puntod) ho fattorizzato g e cioè $g=(x-1)^2*(x^2+x+1)$ quindi gli ideali sono $(x-1)/(g)$ e $(x^2+x+1)/(g)$ ma come faccio a stabilire che sono primi o massimali?Q non è un PID quindi non posso dire che massimali=primi giusto?
Risposte
Mi sembrano gli esercizi di La Scala vero? 
Dal punto b) hai che $QQ[x]//(f) \cong A$ Ma $g=(x-1)f$
Per cui se cerchi bene un omomorfismo (che poi è una proiezione) ce l'hai già
Basta mandare gli elementi di $QQ[x]//(g)$ nei rispettivi elementi di $QQ[x]//(f)$.
Prova, dovrebbe funzionare!
Dal punto b) hai che $QQ[x]//(f) \cong A$ Ma $g=(x-1)f$
Per cui se cerchi bene un omomorfismo (che poi è una proiezione) ce l'hai già
Basta mandare gli elementi di $QQ[x]//(g)$ nei rispettivi elementi di $QQ[x]//(f)$.Prova, dovrebbe funzionare!
"mistake89":
Mi sembrano gli esercizi di La Scala vero?
Dal punto b) hai che $QQ[x]//(f) \cong A$ Ma $g=(x-1)f$
Per cui se cerchi bene un omomorfismo (che poi è una proiezione) ce l'hai già
Prova, dovrebbe funzionare!
Si sono di La Scala!!!
Comunque c'ero arrivata al fatto che alla fine l'omomorfismo è fra $QQ[x]//(g)$e $QQ[x]//(f)$, ma come me lo costruisco?per il punto d)invece hai suggerimenti?
Ma è già costruito, si tratta della proiezione dal primo anello nel secondo.
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