Esercizio irriducibilità

[antofilo-votailprof]

Ciao ragazzi.
Ho il seguente esercizio:
Dato f = 4x^4 - x^3 +4x^2 + 3x -1 in Q[X] e I ideale generato da f, dire se il Q[x]/I è campo.

Come sto pensando e perché mi sono bloccato.

Risulta che Q[x]/I è campo se l'ideale I è massimale, ovvero (poichè I è generato da f), se f è irriducibile su Q[x].

Se quanto detto è giusto basta verificare che f non sia riducibile.
Bene qui mi sono fermato..

Osservo che non posso usare il criterio di Eisentein, e con altri metodi mi sto bloccando.
Riuscireste ad aiutarmi?
Grazie

[Reyzet]

Vedi se ha radici usando il teorema che le caratterizza su $Q$, se non le ha prova a spezzarlo in due polinomi di grado 2, moltiplicandone due generici e imponendo che il loro prodotto sia uguale al tuo polinomio.

È un po' laborioso ma questo è l'unico modo che ho in mente in questo momento