Esercizio insiemi
Salve ragazzi, ho iniziato a studiare un esame di algebra e matematica discreata, ho iniziato con gli insiemi.
Adesso dopo alcuni esercizi che ho fatto e riusciti senza problemi, adesso ho il seguente esercizio che non riesco a fare:
Siano A, B, C tre insiemi, si provi che:
se $ A sube B $, allora $ B-(B-A)=A $
ce ne sono altri simili, però vorrei capire come devo approcciarmi per risolvere questi tipi di esercizi.
Grazie anticipatamente,
gaten
Adesso dopo alcuni esercizi che ho fatto e riusciti senza problemi, adesso ho il seguente esercizio che non riesco a fare:
Siano A, B, C tre insiemi, si provi che:
se $ A sube B $, allora $ B-(B-A)=A $
ce ne sono altri simili, però vorrei capire come devo approcciarmi per risolvere questi tipi di esercizi.
Grazie anticipatamente,
gaten
Risposte
Ti do un consiglio. Prendi un elemento che sta nell'insieme $B-(B-A)$ così ottieni una prima inclusione.
Salve gaten,
ti consiglio, come prima cosa, di provare con una verifica grafica, ovvero tramite i diagrammi di Eulero - Venn, visto che gli insiemi coinvolti sono solamente tre.
Cordiali saluti
ti consiglio, come prima cosa, di provare con una verifica grafica, ovvero tramite i diagrammi di Eulero - Venn, visto che gli insiemi coinvolti sono solamente tre.
Cordiali saluti
Salve Mrhaha,
se non mi sbaglio ciò che tu hai consigliato lo si utilizza per dimostrare una uguaglianza tra due insiemi e non una deduzione logica, corregimi se sbaglio.
Cordiali saluti
se non mi sbaglio ciò che tu hai consigliato lo si utilizza per dimostrare una uguaglianza tra due insiemi e non una deduzione logica, corregimi se sbaglio.
Cordiali saluti
No no è correttissimo,ma alla fine penso sia quello l'ingrippo. O almeno quando facevo queste tipologie di esercizi trovavo in quel caso difficoltà!
Cordiali saluti anche a te!
Cordiali saluti anche a te!
Ragazzi io ho cercato di usare eulero venn come diceva garnak. Sono arrivato a questo punto. Adesso dovrei completare, qualcuno può aiutarmi:
Ecco l'img per vedere i diagrammi:
http://imageshack.us/photo/my-images/703/eser.jpg/
Ecco l'img per vedere i diagrammi:
http://imageshack.us/photo/my-images/703/eser.jpg/
Salve gaten,
premetto che la dimostrazione sarebbe più elegante se dimostrata logicamente (come è di norma), ma non avendo alcuna conoscenza in logica preferisco altrimenti:
http://imageshack.us/photo/my-images/807/skf164.jpg/
Cordiali saluti
premetto che la dimostrazione sarebbe più elegante se dimostrata logicamente (come è di norma), ma non avendo alcuna conoscenza in logica preferisco altrimenti:
http://imageshack.us/photo/my-images/807/skf164.jpg/
Cordiali saluti
"gaten":
Siano A, B, C tre insiemi, si provi che:
se $ A sube B $, allora $ B-(B-A)=A $
ce ne sono altri simili, però vorrei capire come devo approcciarmi per risolvere questi tipi di esercizi.
Il diagramma di Eulero Venn va bene per verificare questa equivalenza, infatti nel tuo disegno
più in basso se da B togli (B-A) ottieni proprio A, e questo è quello che esprime questa equivalenza.
Se invece non si ricorre ai disegni l'approccio più fruttuoso, secondo me, per questo tipo di esercizi consiste nello sviluppare l'ipotesi ricordando bene le definizioni di ogni operazione.
Esempio concreto (l'apice vuol dire insieme complementare) :
Sia $A sub B$ (per l' ipotesi)
Sia $B - (B-A)$
$hArr$ $B nn (B-A)'$ (per definizione di differenza di insiemi)
$hArr$ $B nn (B nn A')'$ (per definizione di differenza di insiemi)
$hArr$ $B nn (B' uu A)$ (leggi di De Morgan)
$hArr$ $(B nn B') uu (B nn A)$ (legge distributiva)
$hArr$ $B nn A$ (perchè $B nn B'$ è vuoto)
$hArr$ $A$ (perchè $A sub B$)
Mi ripeto, la prima cosa è la sicura padronanza della definizione di ogni operazione che incontri,
in questo caso sapere come esprimere la differenza di insiemi in termini di connettivi elementari...
Giusto?! Rimango sempre del mio parere che la cosa migliore da fare è o avere una buona conoscenza in logica e dimostrare la proprietà logicamente, oppure rifarsi ai diagrammi di Eulero Venn.
dave lizewski, predonami potresti spiegarmi meglio come procedi senza utilizzare i diagrammi di eulero venn?
Potresti spiegarmi i "se e solo se" che mi hai scritto?
Grazie anticipatamente.
P.S
Con questo , intendi il significato delle operazioni ?? es. $ A uu B $ è un insieme costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B, e così via... intendi questo con padronanza?
Potresti spiegarmi i "se e solo se" che mi hai scritto?
Grazie anticipatamente.
P.S
la prima cosa è la sicura padronanza della definizione di ogni operazione che incontri
Con questo , intendi il significato delle operazioni ?? es. $ A uu B $ è un insieme costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B, e così via... intendi questo con padronanza?
C'è un altro esercizio dove chiede:
Se $ A sube B $ e $ B sube C $ $ => $ $ A sube C $
Tramite i diagrammi di Eulero Venn, ho risolto così:
http://imageshack.us/photo/my-images/814/eser2.jpg/
mentre tramite le definizioni di ogni operazioni , avrei risolto così, ma non nè sono sicuro:
se $ A sube B $ $ <=> (perogni x in A => x in B) $
e $ B sube C $ $ <=> (perogni x in B => x in C) $
$ => A sube C $ $ <=> (perogni x in A => x in C) $
va bene?
In realtà qui possiamo intuirlo logicamente che se A è un sottoinsieme di B e B è un sottoinsieme di C, logicamente A è un sottoinsieme di C, questo perchè B è un sottoinsieme di C, ma in B c'è A!!
Se $ A sube B $ e $ B sube C $ $ => $ $ A sube C $
Tramite i diagrammi di Eulero Venn, ho risolto così:
http://imageshack.us/photo/my-images/814/eser2.jpg/
mentre tramite le definizioni di ogni operazioni , avrei risolto così, ma non nè sono sicuro:
se $ A sube B $ $ <=> (perogni x in A => x in B) $
e $ B sube C $ $ <=> (perogni x in B => x in C) $
$ => A sube C $ $ <=> (perogni x in A => x in C) $
va bene?
In realtà qui possiamo intuirlo logicamente che se A è un sottoinsieme di B e B è un sottoinsieme di C, logicamente A è un sottoinsieme di C, questo perchè B è un sottoinsieme di C, ma in B c'è A!!
Salve gaten,
per il tuo esercizio ti ho trovato una dimostrazione logica (presa da due pagine del libro da me consultato) come intendevo prima:
Cordiali saluti
per il tuo esercizio ti ho trovato una dimostrazione logica (presa da due pagine del libro da me consultato) come intendevo prima:
Cordiali saluti
Eulero Venn?? Serve giusto alle elementari e solo per creare confusione in testa che per forza poi bisogna togliere al liceo o all'università.
Esercizi di quel genere servono proprio per farti uscire dallo schema imposto dai "cerchietti" e di capire la definizione formale di sottoinsieme. (E anche le definizioni di unione, intersezione, differenza,..)
Il modo standard per risolvere un problema del genere è mostrare la doppia inclusione, cioè:
prendo un elemento in B-(B-A) e faccio vedere che sta in A, prendo un elemento di A e faccio vedere che sta in B-(B-A).
Qui si vede benissimo che A è sottoinsieme di B (per ipotesi) e che A non è sottoinsieme di B-A (sono disgiunti), perciò A sta in B-(B-A). Si procede in modo analogo con l'altra inclusione.
tutto si basa sui seguenti fatti
-Definizione formale di sottoinsieme (A si dice sottoinsieme di B se e solo se: x $ \in $ A allora x $ \in $ B, per ogni x $ in $ A).
-Definizione di differenza simmetrica
-Se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di A allora A=B.
Cose che si trovano all'inzio di ogni singolo libro di matematica del primo anno dell'università di qualsiasi materia (analisi e algebra soprattutto)
Esercizi di quel genere servono proprio per farti uscire dallo schema imposto dai "cerchietti" e di capire la definizione formale di sottoinsieme. (E anche le definizioni di unione, intersezione, differenza,..)
Il modo standard per risolvere un problema del genere è mostrare la doppia inclusione, cioè:
prendo un elemento in B-(B-A) e faccio vedere che sta in A, prendo un elemento di A e faccio vedere che sta in B-(B-A).
Qui si vede benissimo che A è sottoinsieme di B (per ipotesi) e che A non è sottoinsieme di B-A (sono disgiunti), perciò A sta in B-(B-A). Si procede in modo analogo con l'altra inclusione.
tutto si basa sui seguenti fatti
-Definizione formale di sottoinsieme (A si dice sottoinsieme di B se e solo se: x $ \in $ A allora x $ \in $ B, per ogni x $ in $ A).
-Definizione di differenza simmetrica
-Se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di A allora A=B.
Cose che si trovano all'inzio di ogni singolo libro di matematica del primo anno dell'università di qualsiasi materia (analisi e algebra soprattutto)
"asdfghjkl2707":
Eulero Venn?? Serve giusto alle elementari e solo per creare confusione in testa che per forza poi bisogna togliere al liceo o all'università.
...
Non sono per niente d'accordo! Ti aiuta a capire e ti mostra graficamente quello che succede! Altro che confusione!
Salve a tutti,
personalmente, non condivido la rappresentazione degli insiemi tramite i diagrammi di Eulero - Venn, anche perchè di solito il loro studio, inizialmente, è poco formale (ma anche perchè hanno poco di universale o generale , specialmente se si hanno a che fare con un numero $n$ di insiemi in cui $n>3$, per far si che abbiamo ciò occorrono concetti algebreci che vanno al di là della semplice trattazione insiemistica intuitiva o anche assiomatica (consiglio: http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram - ed anche un articolo dell"American Mathematical Society": http://www.ams.org/notices/200611/fea-wagon.pdf))
Cordiali saluti
personalmente, non condivido la rappresentazione degli insiemi tramite i diagrammi di Eulero - Venn, anche perchè di solito il loro studio, inizialmente, è poco formale (ma anche perchè hanno poco di universale o generale , specialmente se si hanno a che fare con un numero $n$ di insiemi in cui $n>3$, per far si che abbiamo ciò occorrono concetti algebreci che vanno al di là della semplice trattazione insiemistica intuitiva o anche assiomatica (consiglio: http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram - ed anche un articolo dell"American Mathematical Society": http://www.ams.org/notices/200611/fea-wagon.pdf))
Cordiali saluti
Con questo , intendi il significato delle operazioni ?? es. A∪B è un insieme costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B, e così via... intendi questo con padronanza?
ecco, questo è il motivo per cui bisogna abbandonare Eulero Venn.
Non che non sia utile per visualizzare situazioni, per carità..
Però è dannoso utilizzarlo se lo si crede la dimostrazione degli enunicati relativi agli insiemi.
Bisogna partire dalle definizioni formali, come diceva qualcuno.
e la definizione formale di unione ad esempio è:
$ A U B={x: x \in A $ v $ x \in B} $
dove il v è il vel, od OR, cioè la disgiunzione inclusiva, di cui si deve sapere la tavola di verità.
Non basta dire "è l' insieme di tutti gli elementi di A e di tutti gli elementi di B" perchè questa non è una definizione matematica formale e non ambigua.
E poi la ragione di certi esercizi non è quella di essere compresi tramite disegni... è come dire che il teorema di lagrange si dimostra facendo vedere la figura. All'università, ma già anche al liceo, dalla seconda in poi direi, bisogna imparare a ragionare in termini formali, partendo dalle definizioni per dimostrare le relazioni di inclusione fra insiemi. Eulero Venn è bene lasciarlo nei fogli di brutta, che vengano buttati via una volta fatta la dimostrazione formale.
Ma è corretto ragionare formalmente,ma se sai ragionare formalmente il grafico di eulero non dovrebbe essere un problema. Io penso che agevoli!
Ma alla fine può darsi che mi sbaglio,ma io la penso così!
Ma alla fine può darsi che mi sbaglio,ma io la penso così!
Salve asdfghjkl2707,
la definizione di unione che tu dai:
$ A U B={x: x \in A $ v $ x \in B} $
è deducibile dall'assioma o schema di astrazione.
Cordiali saluti
la definizione di unione che tu dai:
$ A U B={x: x \in A $ v $ x \in B} $
è deducibile dall'assioma o schema di astrazione.
Cordiali saluti
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