[Esercizio] ideali
Dimostrare che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] l'insieme di tutti i polinomi con il termine costante pari è un ideale, ma non è un ideale principale.
Sia [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex] definito come [tex]T[x] = \{ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + k | k=2h, h \in \mathbb{Z} \}[/tex].
[tex]T[x][/tex] è un ideale in quanto, [tex]\forall f(x) \in T[x], \exists g(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex] tale che [tex]f(x)g(x) \in T[x][/tex].
Se [tex]g(x)=x-n, n \in \mathbb{Z}[/tex] si avrà [tex]f(x)g(x)=a_nx^{n+1} +a_{n-1}x^{n-1+1} + ... +a_1x^2 + kx + ... ka_nx^n + ka_{n-1}x^{n-1}+...+kn[/tex] dove [tex]kn=2hn=2(hn)[/tex], quindi con termine noto pari.
Segue allora che se [tex]g(x)=b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0[/tex], allora
[tex]f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1}+....+kb_0[/tex] dove [tex]kb_0=2hk_0=2(hk_0)[/tex].
Non essendo però unico l'elemento che genera [tex]T[x][/tex] allora l'ideale non può essere principale.
Che ne dite, può andare?
Grazie.
Sia [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex] definito come [tex]T[x] = \{ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + k | k=2h, h \in \mathbb{Z} \}[/tex].
[tex]T[x][/tex] è un ideale in quanto, [tex]\forall f(x) \in T[x], \exists g(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex] tale che [tex]f(x)g(x) \in T[x][/tex].
Se [tex]g(x)=x-n, n \in \mathbb{Z}[/tex] si avrà [tex]f(x)g(x)=a_nx^{n+1} +a_{n-1}x^{n-1+1} + ... +a_1x^2 + kx + ... ka_nx^n + ka_{n-1}x^{n-1}+...+kn[/tex] dove [tex]kn=2hn=2(hn)[/tex], quindi con termine noto pari.
Segue allora che se [tex]g(x)=b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0[/tex], allora
[tex]f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1}+....+kb_0[/tex] dove [tex]kb_0=2hk_0=2(hk_0)[/tex].
Non essendo però unico l'elemento che genera [tex]T[x][/tex] allora l'ideale non può essere principale.
Che ne dite, può andare?
Grazie.
Risposte
"GundamRX91":
[tex]\forall f(x) \in T[x], \exists g(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex] tale che [tex]f(x)g(x) \in T[x][/tex]
Il secondo quantificatore secondo me dovrebbe essere $\forall$, e comunque se scrivi $f(x)$ sembra che ti riferisci all'applicazine polinomiale più che al polinomio in sè, potevi scrivere semplicemente $f$ e $g$. Credo che potresti anche sintetizzare scrivendo $Z[x]T[x] \subset T[x]$ Comunque de gustibus...
"GundamRX91":
Non essendo però unico l'elemento che genera T[x] ...
Questo è esattamente quello che devi dimostrare, non è che se ripeti la tesi poi diventa vera.
Ok ci penso e poi riscrivo il tutto. Ora schiatto sul letto. Ciao e grazie 
Posto che devo sistemare il pasticcio notazionale , però mi trovo in difficoltà a dimostrare che [tex]T[x][/tex] non sia principale....
, però mi trovo in difficoltà a dimostrare che [tex]T[x][/tex] non sia principale....
Penso che potresti procedere per assurdo.
Domanda: sapresti trovare i generatori di $T[x]$ ?
Domanda: sapresti trovare i generatori di $T[x]$ ?
I generatori di [tex]T[x][/tex] potrei trovarli effettuando la divisione euclidea di un polinomio di [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] in modo tale che il resto sia zero?
La domanda è legata alla dimostrazione che dovrei fare? E riguarda il testo nascosto, che ho paura di guardare
???
La domanda è legata alla dimostrazione che dovrei fare? E riguarda il testo nascosto, che ho paura di guardare
???
"GundamRX91":
La domanda è legata alla dimostrazione che dovrei fare? E riguarda il testo nascosto, che ho paura di guardare
Eh? No no. Solo che visto che c'eri mi sembrava istruttivo cercare di determinare i generatori di quell'ideale.
"GundamRX91":
I generatori di T[x] potrei trovarli effettuando la divisione euclidea di un polinomio di Z[x] in modo tale che il resto sia zero?
Francamente io l'avevo pensata più semplice, la mia idea era di raccogliere la $x$ in un generico polinomio di $T[x]$... non scrivo i dettagli, voglio vedere se ti viene la stessa idea e nel caso se ti convince...
"perplesso":
[quote="GundamRX91"]La domanda è legata alla dimostrazione che dovrei fare? E riguarda il testo nascosto, che ho paura di guardare
Eh? No no. Solo che visto che c'eri mi sembrava istruttivo cercare di determinare i generatori di quell'ideale.
[/quote]
Ah!! Ok, allora guardo la tua soluzione con attenzione
"perplesso":
[quote="GundamRX91"]I generatori di T[x] potrei trovarli effettuando la divisione euclidea di un polinomio di Z[x] in modo tale che il resto sia zero?
Francamente io l'avevo pensata più semplice, la mia idea era di raccogliere la $x$ in un generico polinomio di $T[x]$... non scrivo i dettagli, voglio vedere se ti viene la stessa idea e nel caso se ti convince...
[/quote]Uhmmmm... ma se raccolgo la [tex]x[/tex] di un generico polinomio [tex]f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0[/tex] otterrei un polinomio con l'ultimo termine che ha l'indeterminata al denominatore, a meno che non si faccia un raccoglimento parziale, ma a questo punto non sarebbe proprio un generico polinomio.... Ho idea che tu intendessi altro, vero?
La mi idea era questa: prendi un generico polinomio di $T[x]$, diciamo $a_nx^n +....+2a_0$, a questo punto immagina di mettere da una parte tutti i termini col coefficiente dispari e dall'altra tutti quelli con coefficiente pari (fra questi c'è il termine noto), e infine raccogli $x$ nel primo gruppo di termini ed evidenzia $2$ nel secondo, alla fine dovresti ottenere
$a_nx^n +....+2a_0 = x*f+2*g$
con $f,g$ polinomi di $Z[x]$. Questo significa che $T[x] \subset (x)+(2)$ D'altra parte ogni elemento di $(x)+(2)$ ha il termine noto pari e quindi è banalmente contenuto in $T[x]$. Pertanto $(x)+(2) \subset T[x]$ e quindi $T[x] = (x)+(2) = (x,2)$
$a_nx^n +....+2a_0 = x*f+2*g$
con $f,g$ polinomi di $Z[x]$. Questo significa che $T[x] \subset (x)+(2)$ D'altra parte ogni elemento di $(x)+(2)$ ha il termine noto pari e quindi è banalmente contenuto in $T[x]$. Pertanto $(x)+(2) \subset T[x]$ e quindi $T[x] = (x)+(2) = (x,2)$
Segnalo questo.
Adattando l'argomento si dimostra che se [tex]A[/tex] è un anello commutativo unitario, allora
[tex]A[X][/tex] è un PID (dominio a ideali principali) se e solo se [tex]A[/tex] è un campo.
Ne avevo parlato con Paolo90 qui.
Adattando l'argomento si dimostra che se [tex]A[/tex] è un anello commutativo unitario, allora
[tex]A[X][/tex] è un PID (dominio a ideali principali) se e solo se [tex]A[/tex] è un campo.
Ne avevo parlato con Paolo90 qui.
"perplesso":
La mi idea era questa: prendi un generico polinomio di $T[x]$, diciamo $a_nx^n +....+2a_0$, a questo punto immagina di mettere da una parte tutti i termini col coefficiente dispari e dall'altra tutti quelli con coefficiente pari (fra questi c'è il termine noto), e infine raccogli $x$ nel primo gruppo di termini ed evidenzia $2$ nel secondo, alla fine dovresti ottenere
$a_nx^n +....+2a_0 = x*f+2*g$
con $f,g$ polinomi di $Z[x]$. Questo significa che $T[x] \subset (x)+(2)$ D'altra parte ogni elemento di $(x)+(2)$ ha il termine noto pari e quindi è banalmente contenuto in $T[x]$. Pertanto $(x)+(2) \subset T[x]$ e quindi $T[x] = (x)+(2) = (x,2)$
Credo di aver capito (anche consultando il link indicato da Martino, che ringrazio, con la notazione di ideale nella forma [tex](x,n)[/tex]). In effetti io avevo generalizzato un pò troppo con il mio polinomio, quando invece bastava considerare quelli con termine noto pari.
Ora mi rimane da capire la dimostrazione che [tex]T[x][/tex] non è un'ideale principale
Per ora grazie, mi farò sentire presto
La questione è semplice: se [tex](2,x)[/tex] fosse generato da un solo elemento [tex]f(x)[/tex] allora [tex]f(x)[/tex] dividerebbe [tex]2[/tex] e [tex]x[/tex] e quindi dividerebbe il loro MCD, che è [tex]1[/tex], in altre parole [tex]f(x)=1[/tex] oppure [tex]f(x)=-1[/tex], ma allora [tex](f(x)) = \mathbb{Z}[X][/tex].
E più in generale, se [tex]A[/tex] è un anello commutativo e unitario e [tex]a \in A[/tex] è diverso da zero allora l'ideale [tex](a,x)[/tex] è principale se e solo se [tex]a[/tex] è invertibile. Da questo segue immediatamente che se [tex]A[X][/tex] è un PID allora [tex]A[/tex] è un campo (cf. il mio intervento precedente).
E più in generale, se [tex]A[/tex] è un anello commutativo e unitario e [tex]a \in A[/tex] è diverso da zero allora l'ideale [tex](a,x)[/tex] è principale se e solo se [tex]a[/tex] è invertibile. Da questo segue immediatamente che se [tex]A[X][/tex] è un PID allora [tex]A[/tex] è un campo (cf. il mio intervento precedente).
"Martino":
La questione è semplice: se [tex](2,x)[/tex] fosse generato da un solo elemento [tex]f(x)[/tex] allora [tex]f(x)[/tex] dividerebbe [tex]2[/tex] e [tex]x[/tex] e quindi dividerebbe il loro MCD, che è [tex]1[/tex], in altre parole [tex]f(x)=1[/tex] oppure [tex]f(x)=-1[/tex], ma allora [tex](f(x)) = \mathbb{Z}[X][/tex].
che è assurdo in quanto si è supposto che [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex].
"Martino":
E più in generale, se [tex]A[/tex] è un anello commutativo e unitario e [tex]a \in A[/tex] è diverso da zero allora l'ideale [tex](a,x)[/tex] è principale se e solo se [tex]a[/tex] è invertibile. Da questo segue immediatamente che se [tex]A[X][/tex] è un PID allora [tex]A[/tex] è un campo (cf. il mio intervento precedente).
Quindi è corretto dire che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] gli unici ideali principali sono [tex](1,x)[/tex] e [tex](-1,x)[/tex], perchè sono gli unici elementi invertibili di [tex]\mathbb{Z}[/tex]?
"GundamRX91":No, è assurdo perché non si riesce a scrivere [tex]1 = 2f(x) + xg(x)[/tex] (questo è facile da verificare! Pensa al grado del polinomio di destra).
che è assurdo in quanto si è supposto che [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex].
"GundamRX91":No, gli ideali principali di [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] sono della forma [tex](f(x))[/tex] con [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[X][/tex] (per definizione!). Per esempio [tex](x)[/tex] è principale.
Quindi è corretto dire che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] gli unici ideali principali sono [tex](1,x)[/tex] e [tex](-1,x)[/tex], perchè sono gli unici elementi invertibili di [tex]\mathbb{Z}[/tex]?
Si ha ovviamente [tex](1,x) = (-1,x) = (1) = \mathbb{Z}[X][/tex].
"Martino":No, è assurdo perché non si riesce a scrivere [tex]1 = 2f(x) + xg(x)[/tex] (questo è facile da verificare! Pensa al grado del polinomio di destra).
[quote="GundamRX91"]che è assurdo in quanto si è supposto che [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex].
[/quote]
E' di grado 1?
"Martino":No, gli ideali principali di [tex]\mathbb{Z}[X][/tex] sono della forma [tex](f(x))[/tex] con [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[X][/tex] (per definizione!). Per esempio [tex](x)[/tex] è principale.
[quote="GundamRX91"]Quindi è corretto dire che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] gli unici ideali principali sono [tex](1,x)[/tex] e [tex](-1,x)[/tex], perchè sono gli unici elementi invertibili di [tex]\mathbb{Z}[/tex]?
Si ha ovviamente [tex](1,x) = (-1,x) = (1) = \mathbb{Z}[X][/tex].[/quote]
Aspetta, forse mi sto confondendo. Io sapevo che in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ogni ideale è principale perchè è nella forma [tex]n\mathbb{Z}=(n)[/tex], cioè dai multipli di [tex]n[/tex]. E' corretto questo?
"GundamRX91":No, è assurdo perché non si riesce a scrivere [tex]1 = 2f(x) + xg(x)[/tex] (questo è facile da verificare! Pensa al grado del polinomio di destra).
[quote="Martino"][quote="GundamRX91"]che è assurdo in quanto si è supposto che [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex].
[/quote]E' di grado 1?[/quote]Il polinomio [tex]2f(x)+xg(x)[/tex] può essere uguale al polinomio [tex]1[/tex] solo se ha grado zero (dato che il polinomio [tex]1[/tex] ha grado zero!), ma [tex]2f(x)+xg(x)[/tex] ha grado almeno 1 se [tex]g(x) \neq 0[/tex], quindi deduci che [tex]g(x)=0[/tex]. Ottieni quindi [tex]1=2f(x)[/tex], e questo è chiaramente assurdo perché [tex]2[/tex] non è invertibile in [tex]\mathbb{Z}[X][/tex]. Se la cosa non ti convince fai lo stesso ragionamento di prima: [tex]1 = 2 f(x)[/tex] implica che [tex]f(x)[/tex] ha grado zero, cioè è costante, [tex]f(x)=f \in \mathbb{Z}[/tex] e quindi ottieni [tex]2f=1[/tex]. Questo è assurdo perché [tex]2[/tex] non è invertibile in [tex]\mathbb{Z}[/tex] (e qui spero che ci possiamo fermare
)."GundamRX91":Sì è corretto ma non vedo cosa c'entri. Noi stiamo affrontando l'anello [tex]\mathbb{Z}[X][/tex], e gli ideali di questo anello non sono tutti principali. Abbiamo appena visto che per esempio l'ideale [tex](2,x)[/tex] non è principale.
Aspetta, forse mi sto confondendo. Io sapevo che in [tex]\mathbb{Z}[/tex] ogni ideale è principale perchè è nella forma [tex]n\mathbb{Z}=(n)[/tex], cioè dai multipli di [tex]n[/tex]. E' corretto questo?
Si non c'entra nulla, è che sto cercando di chiarirmi le idee
In [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] scrivi che gli ideali principali sono nella forma [tex](f(x))[/tex] con [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex], quindi nell'esempio [tex](x)[/tex] , [tex]x[/tex] è il polinomio [tex]f=x[/tex] (o [tex]f(x)=x[/tex]... ancora non ho capito quando usare una notazione o l'altra....) ?
In [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] scrivi che gli ideali principali sono nella forma [tex](f(x))[/tex] con [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex], quindi nell'esempio [tex](x)[/tex] , [tex]x[/tex] è il polinomio [tex]f=x[/tex] (o [tex]f(x)=x[/tex]... ancora non ho capito quando usare una notazione o l'altra....) ?
Sì certo, [tex]x[/tex] è il polinomio [tex]f(x)=x[/tex]. Osserva che [tex](x)[/tex] non è altro che l'insieme dei polinomi senza termine noto (con termine noto nullo). Anche [tex](x^{21}+601x-111)[/tex] è un ideale principale, quello generato dal polinomio [tex]f(x) = x^{21}+601x-111[/tex].
Se [tex]a \in A[/tex] anello (commutativo unitario), la notazione standard è [tex](a)[/tex] per l'ideale principale generato da [tex]a[/tex], a volte si usa la notazione [tex]aA[/tex], e la definizione è [tex](a) = aA = \{ab\ |\ b \in A\}[/tex].
Se [tex]a \in A[/tex] anello (commutativo unitario), la notazione standard è [tex](a)[/tex] per l'ideale principale generato da [tex]a[/tex], a volte si usa la notazione [tex]aA[/tex], e la definizione è [tex](a) = aA = \{ab\ |\ b \in A\}[/tex].
Ok.
Uhmmm... però vedendo l'esempio mi viene da pensare che che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] gli ideali principali sono quelli definiti da polinomi non riducibili.... (quello è irriducibile, vero?) ??
Uhmmm... però vedendo l'esempio mi viene da pensare che che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] gli ideali principali sono quelli definiti da polinomi non riducibili.... (quello è irriducibile, vero?) ??
Dai ti prego no!
Un ideale principale di un anello commutativo unitario [tex]A[/tex] è per definizione un ideale della forma
[tex](a) = aA = \{ab\ |\ b \in A\}[/tex].
Fine.
Dato un QUALSIASI polinomio [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[X][/tex], l'ideale [tex](f(x))[/tex] è principale. [tex](x^2)[/tex] è principale, [tex](x^{198})[/tex] è principale.
Scusa mi fermo qui perché se no mi innervosisco mi dispiace.
Alla prossima.
Un ideale principale di un anello commutativo unitario [tex]A[/tex] è per definizione un ideale della forma
[tex](a) = aA = \{ab\ |\ b \in A\}[/tex].
Fine.
Dato un QUALSIASI polinomio [tex]f(x) \in \mathbb{Z}[X][/tex], l'ideale [tex](f(x))[/tex] è principale. [tex](x^2)[/tex] è principale, [tex](x^{198})[/tex] è principale.
Scusa mi fermo qui perché se no mi innervosisco
mi dispiace.Alla prossima.
Scusa Martino, non era mia intenzione.
Grazie comunque (ora vedo di lavorarci su però)
Grazie comunque (ora vedo di lavorarci su però)
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