[Esercizio] ideali
Dimostrare che in [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] l'insieme di tutti i polinomi con il termine costante pari è un ideale, ma non è un ideale principale.
Sia [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex] definito come [tex]T[x] = \{ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + k | k=2h, h \in \mathbb{Z} \}[/tex].
[tex]T[x][/tex] è un ideale in quanto, [tex]\forall f(x) \in T[x], \exists g(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex] tale che [tex]f(x)g(x) \in T[x][/tex].
Se [tex]g(x)=x-n, n \in \mathbb{Z}[/tex] si avrà [tex]f(x)g(x)=a_nx^{n+1} +a_{n-1}x^{n-1+1} + ... +a_1x^2 + kx + ... ka_nx^n + ka_{n-1}x^{n-1}+...+kn[/tex] dove [tex]kn=2hn=2(hn)[/tex], quindi con termine noto pari.
Segue allora che se [tex]g(x)=b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0[/tex], allora
[tex]f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1}+....+kb_0[/tex] dove [tex]kb_0=2hk_0=2(hk_0)[/tex].
Non essendo però unico l'elemento che genera [tex]T[x][/tex] allora l'ideale non può essere principale.
Che ne dite, può andare?
Grazie.
Sia [tex]T[x] \subset \mathbb{Z}[x][/tex] definito come [tex]T[x] = \{ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + k | k=2h, h \in \mathbb{Z} \}[/tex].
[tex]T[x][/tex] è un ideale in quanto, [tex]\forall f(x) \in T[x], \exists g(x) \in \mathbb{Z}[x][/tex] tale che [tex]f(x)g(x) \in T[x][/tex].
Se [tex]g(x)=x-n, n \in \mathbb{Z}[/tex] si avrà [tex]f(x)g(x)=a_nx^{n+1} +a_{n-1}x^{n-1+1} + ... +a_1x^2 + kx + ... ka_nx^n + ka_{n-1}x^{n-1}+...+kn[/tex] dove [tex]kn=2hn=2(hn)[/tex], quindi con termine noto pari.
Segue allora che se [tex]g(x)=b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0[/tex], allora
[tex]f(x)g(x)=a_nb_mx^{n+m} + a_nb_{m-1}x^{n+m-1}+....+kb_0[/tex] dove [tex]kb_0=2hk_0=2(hk_0)[/tex].
Non essendo però unico l'elemento che genera [tex]T[x][/tex] allora l'ideale non può essere principale.
Che ne dite, può andare?
Grazie.
Risposte
Credo di dovermi scusare con Martino... Ripassando la teoria dei polinomi ho "trovato" quanto mi serviva:
L'anello [tex]\mathbb{K}[x][/tex] dei polinomi ad una indeterminata e a coefficienti in un campo [tex]\mathbb{K}[/tex] è un dominio a ideali principali, cioè un anello commutativo in cui ogni ideale è principale.
Dimostrazione:
Sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]\mathbb{K}[x][/tex] e sia [tex]d(x) \in I[/tex] un polinomio monico di grado minimo. Esiste allora uno ed uno solo polinomio di questo tipo.
Da [tex]I=(d)[/tex] si che per ogni [tex]p(x) \in I[/tex], [tex]p(x)[/tex] è un multiplo di [tex]d(x)[/tex]. A tal fine dividiamo [tex]p(x)[/tex] per [tex]d(x)[/tex]:
[tex]p(x)=q(x)d(x) + r(x)[/tex] con [tex]-1 \le \delta(r(x)) < \delta(d(x))[/tex]
Dato che [tex]d(x) \in I[/tex] allora anche [tex]q(x)d(x) \in I[/tex]. [tex]I[/tex] è chiuso anche rispetto l'operazione di sottrazione per cui [tex]p(x) - q(x)d(x) \in I \Rightarrow r(x) \in I[/tex]. Ma essendo il grado di [tex]d(x)[/tex] minimo e, per ipotesi, il grado di [tex]r(x)[/tex] minore del grado di [tex]d(x)[/tex] segue che [tex]r(x)=0[/tex] e da cui si ha la tesi: [tex]p(x)=q(x)d(x)[/tex].
L'anello [tex]\mathbb{K}[x][/tex] dei polinomi ad una indeterminata e a coefficienti in un campo [tex]\mathbb{K}[/tex] è un dominio a ideali principali, cioè un anello commutativo in cui ogni ideale è principale.
Dimostrazione:
Sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]\mathbb{K}[x][/tex] e sia [tex]d(x) \in I[/tex] un polinomio monico di grado minimo. Esiste allora uno ed uno solo polinomio di questo tipo.
Da [tex]I=(d)[/tex] si che per ogni [tex]p(x) \in I[/tex], [tex]p(x)[/tex] è un multiplo di [tex]d(x)[/tex]. A tal fine dividiamo [tex]p(x)[/tex] per [tex]d(x)[/tex]:
[tex]p(x)=q(x)d(x) + r(x)[/tex] con [tex]-1 \le \delta(r(x)) < \delta(d(x))[/tex]
Dato che [tex]d(x) \in I[/tex] allora anche [tex]q(x)d(x) \in I[/tex]. [tex]I[/tex] è chiuso anche rispetto l'operazione di sottrazione per cui [tex]p(x) - q(x)d(x) \in I \Rightarrow r(x) \in I[/tex]. Ma essendo il grado di [tex]d(x)[/tex] minimo e, per ipotesi, il grado di [tex]r(x)[/tex] minore del grado di [tex]d(x)[/tex] segue che [tex]r(x)=0[/tex] e da cui si ha la tesi: [tex]p(x)=q(x)d(x)[/tex].
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