Esercizio gruppo ciclico
Salve ragazzi,
la mia domanda è: come posso trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico ed i loro elementi?
Relativamente all'argomento, il prof. ci ha fornito il seguente Teorema:
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico. Allora:
i) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici
ii) Se G è finito, allora per ogni divisore $k$ positivo di $n=|G|$ vi è uno ed un solo sottogruppo di G di ordine $k$
Domanda: questo teorema esiste solo ed esclusivamente per i gruppi moltiplicativi? Cioè, non c'è una corrispondenza con i gruppi additivi?
Ora, vi propongo un esercizio che ho svolto in parte:
Traccia:
Verificare che (Z*7, $*$) è ciclico e determinare tutti i suoi generatori e tutti i sottogruppi di Z*7
Come generatori ho trovato 3 e 5, quindi poichè <3>=<5>=Z*7 allora Z*7 è un gruppo ciclico con due generatori!
Ora, in base al teorema precedente, dovrei avere esattamente 4 sottogruppi poichè 1, 2, 3 e 6 dividono la cardinalità di Z*7
E' evidente che il sottogruppo k=1 è ${1}$ mentre il sottogruppo k=6 corrisponde con Z*7,
ma come posso trovare gli elementi che costituiscono rispettivamente i sottogruppi k=2 e k=3?
la mia domanda è: come posso trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico ed i loro elementi?
Relativamente all'argomento, il prof. ci ha fornito il seguente Teorema:
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico. Allora:
i) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici
ii) Se G è finito, allora per ogni divisore $k$ positivo di $n=|G|$ vi è uno ed un solo sottogruppo di G di ordine $k$
Domanda: questo teorema esiste solo ed esclusivamente per i gruppi moltiplicativi? Cioè, non c'è una corrispondenza con i gruppi additivi?
Ora, vi propongo un esercizio che ho svolto in parte:
Traccia:
Verificare che (Z*7, $*$) è ciclico e determinare tutti i suoi generatori e tutti i sottogruppi di Z*7
Come generatori ho trovato 3 e 5, quindi poichè <3>=<5>=Z*7 allora Z*7 è un gruppo ciclico con due generatori!
Ora, in base al teorema precedente, dovrei avere esattamente 4 sottogruppi poichè 1, 2, 3 e 6 dividono la cardinalità di Z*7
E' evidente che il sottogruppo k=1 è ${1}$ mentre il sottogruppo k=6 corrisponde con Z*7,
ma come posso trovare gli elementi che costituiscono rispettivamente i sottogruppi k=2 e k=3?
Risposte
Allora:
$3^4 = 3^8$ è vero in [tex](Z^*_8_4_1,[/tex]$*$ [tex])[/tex] e ciò vuol dire che $<4> = <8>$ infatti:
in [tex](Z^*_8_1_2, +)[/tex] $o(k)=812/(MCD(k, 812))=203=4 -> MCD(k, 812) = 4$
ed è sicuramente vero che $MCD(8, 812) = 4 -> 8 in <4>$
oltre che:
$MCD(12, 812)=4 -> 12 in <4>$
$MCD(16, 812)=4 -> 16 in <4>$
$MCD(20, 812)=4 -> 20 in <4>$
e cosi via...
dunque:
$<4> = {4*m | m in Z} = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} = {8*m | m in Z} = <8>$
$3^4 = 3^8$ è vero in [tex](Z^*_8_4_1,[/tex]$*$ [tex])[/tex] e ciò vuol dire che $<4> = <8>$ infatti:
in [tex](Z^*_8_1_2, +)[/tex] $o(k)=812/(MCD(k, 812))=203=4 -> MCD(k, 812) = 4$
ed è sicuramente vero che $MCD(8, 812) = 4 -> 8 in <4>$
oltre che:
$MCD(12, 812)=4 -> 12 in <4>$
$MCD(16, 812)=4 -> 16 in <4>$
$MCD(20, 812)=4 -> 20 in <4>$
e cosi via...
dunque:
$<4> = {4*m | m in Z} = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} = {8*m | m in Z} = <8>$
"xsl":
Allora:
$3^4 = 3^8$ è vero in [tex](Z^*_8_4_1,[/tex]$*$ [tex])[/tex]
?
"xsl":
e ciò vuol dire che $<4> = <8>$ infatti:
in [tex](Z^*_8_1_2, +)[/tex]
Non ci vuole la "star", essa indica che prendo gli invertibili rispetto alla moltiplicazione di un certo insieme (che all'inizio non è un gruppo rispetto alla moltiplicazione)
Cioè, o dici [tex](Z^*_{841}, \cdot)[/tex] oppure dici [tex](Z_{812}, +)[/tex]
"xsl":Non capisco quest'ultima uguaglianza
$o(k)=812/(MCD(k, 812))=203=4
"xsl":Qui è tutto molto confuso, e comunque non è vero il "così via". Ad esempio
$-> MCD(k, 812) = 4$
ed è sicuramente vero che $MCD(8, 812) = 4 -> 8 in <4>$
oltre che:
$MCD(12, 812)=4 -> 12 in <4>$
$MCD(16, 812)=4 -> 16 in <4>$
$MCD(20, 812)=4 -> 20 in <4>$
e cosi via...
$MCD(28,812)=28!=4$. Inoltre sai già che $12,16,20..$ stanno in $<4>$ ,perchè passi dall' MCD?
"xsl":
$<4> = {4*m | m in Z} = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} = {8*m | m in Z} = <8>$
Non ho assolutamente capito come hai fatto a concludere ciò da quanto hai scritto...
Ok! Allora spiegalo te! L'esercizio non l'ho proposto io e credo che il forum non serve per fare l'interrogatorio a coloro che chiedono aiuto nel forum!
Visto che credi che ho sbagliato, spiegalo tu. Ciao.
Visto che credi che ho sbagliato, spiegalo tu. Ciao.
"xsl":
Ok! Allora spiegalo te! L'esercizio non l'ho proposto io e credo che il forum non serve per fare l'interrogatorio a coloro che chiedono aiuto nel forum!
Visto che credi che ho sbagliato, spiegalo tu. Ciao.
Questo non è affatto un'interrogatorio, volevo vedere se avevi capito o meno. Volevo renderemi conto se ti interessava capire o se volevi solo aver risolto l'esercizio. A mio parere è importante che tu ti renda conto che quanto hai scritto nel post precedente non ha molto senso, e che ci rifletta sopra alla luce della mia risposta. A questo serve il forum, non a risolvere gli esercizi alla gente.
Comunque la risposta alla mia domanda è :"perchè c'è un teorema che dice che in un gruppo ciclico esiste un unico sottogruppo per ogni ordine che divide l'ordine del gruppo (ed è ciclico)", che fra l'altro è il teorema da te enunciato nel primo post e su cui hai chiesto delucidazioni.
"alvinlee88":
Comunque la risposta alla mia domanda è :"perchè c'è un teorema che dice che in un gruppo ciclico esiste un unico sottogruppo per ogni ordine che divide l'ordine del gruppo (ed è ciclico)", che fra l'altro è il teorema da te enunciato nel primo post e su cui hai chiesto delucidazioni.
Già è vero! Ti chiedo scusa...pensavo che tu volessi in maniera approssimativa dei calcoli
Comunque, tenendo conto del tuo esercizio, posso dire ad esempio che $3^4=3^8=3^12$? Cioè in [tex]Z_8_1_2[/tex] $4, 8, 12$ generano lo stesso sottogruppo?
Te lo chiedo perchè considerando: $n * a = 0$, posto $n=203$ (l'ordine di $<4>$), calcolando [tex][203[/tex] $*$ [tex]12]_8_1_2 = [0]_8_1_2[/tex]
"xsl":
Già è vero! Ti chiedo scusa...pensavo che tu volessi in maniera approssimativa dei calcoli
No problem
"xsl":No, gli elementi sono diversi, sono i sottogruppi da essi generati a essere uguali, ovvero $<3^4> = <3^8> = <3^12>$.
Comunque, tenendo conto del tuo esercizio, posso dire ad esempio che $3^4=3^8=3^12$?
"xsl":
Cioè in [tex]Z_8_1_2[/tex] $4, 8, 12$ generano lo stesso sottogruppo?
Si ,perchè questi tre elementi hanno tutti ordine $203$, come puoi calcolare facilmente essendo che in $ZZ//nZZ$ si ha $o(k)=n/{M.C.D.(k,n)}$ (prova a dimostrare questa formula, ricordando la definizione di ordine di un elemento e ricordando che siamo in notazione additiva)
Nota che dire $k*203=0$ è diverso da dire che $o(k)=203$ :da $k*203=0$ puoi solo dedurre che l'ordine di $k$ è un divisore di $203,$ non sai se è proprio lui. Per esempio $203*28=0$ in $ZZ//812ZZ$ ma $o(28)=29$, non $203$.
"alvinlee88":
Si ,perchè questi tre elementi hanno tutti ordine $203$, come puoi calcolare facilmente essendo che in $ZZ//nZZ$ si ha $o(k)=n/{M.C.D.(k,n)}$ (prova a dimostrare questa formula, ricordando la definizione di ordine di un elemento e ricordando che siamo in notazione additiva)
Nota che dire $k*203=0$ è diverso da dire che $o(k)=203$ :da $k*203=0$ puoi solo dedurre che l'ordine di $k$ è un divisore di $203,$ non sai se è proprio lui. Per esempio $203*28=0$ in $ZZ//812ZZ$ ma $o(28)=29$, non $203$.
Si hai ragione! Quindi è meglio in questo caso utilizzare l'esempio notevole come hai fatto tu!
Sono anche d'accordo con il fatto che $o(28)=29$, infatti $o(28)=203/(MCD(28, 203)=7)=29$
Comunque si può vedere che $<28>$ è diverso da $<4>$ in quanto si ha che $MCD(28, 812)$ non è $4$?
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