Esercizio gruppo ciclico
Salve ragazzi,
la mia domanda è: come posso trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico ed i loro elementi?
Relativamente all'argomento, il prof. ci ha fornito il seguente Teorema:
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico. Allora:
i) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici
ii) Se G è finito, allora per ogni divisore $k$ positivo di $n=|G|$ vi è uno ed un solo sottogruppo di G di ordine $k$
Domanda: questo teorema esiste solo ed esclusivamente per i gruppi moltiplicativi? Cioè, non c'è una corrispondenza con i gruppi additivi?
Ora, vi propongo un esercizio che ho svolto in parte:
Traccia:
Verificare che (Z*7, $*$) è ciclico e determinare tutti i suoi generatori e tutti i sottogruppi di Z*7
Come generatori ho trovato 3 e 5, quindi poichè <3>=<5>=Z*7 allora Z*7 è un gruppo ciclico con due generatori!
Ora, in base al teorema precedente, dovrei avere esattamente 4 sottogruppi poichè 1, 2, 3 e 6 dividono la cardinalità di Z*7
E' evidente che il sottogruppo k=1 è ${1}$ mentre il sottogruppo k=6 corrisponde con Z*7,
ma come posso trovare gli elementi che costituiscono rispettivamente i sottogruppi k=2 e k=3?
la mia domanda è: come posso trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico ed i loro elementi?
Relativamente all'argomento, il prof. ci ha fornito il seguente Teorema:
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico. Allora:
i) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici
ii) Se G è finito, allora per ogni divisore $k$ positivo di $n=|G|$ vi è uno ed un solo sottogruppo di G di ordine $k$
Domanda: questo teorema esiste solo ed esclusivamente per i gruppi moltiplicativi? Cioè, non c'è una corrispondenza con i gruppi additivi?
Ora, vi propongo un esercizio che ho svolto in parte:
Traccia:
Verificare che (Z*7, $*$) è ciclico e determinare tutti i suoi generatori e tutti i sottogruppi di Z*7
Come generatori ho trovato 3 e 5, quindi poichè <3>=<5>=Z*7 allora Z*7 è un gruppo ciclico con due generatori!
Ora, in base al teorema precedente, dovrei avere esattamente 4 sottogruppi poichè 1, 2, 3 e 6 dividono la cardinalità di Z*7
E' evidente che il sottogruppo k=1 è ${1}$ mentre il sottogruppo k=6 corrisponde con Z*7,
ma come posso trovare gli elementi che costituiscono rispettivamente i sottogruppi k=2 e k=3?
Risposte
Hai considerato la possibilità di fare i conti esplicitamente?
Voglio dire, visto che già sai chi sono [tex]\langle 1 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 5 \rangle[/tex], ti rimangono da calcolare solo [tex]\langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle[/tex] e [tex]\langle 6 \rangle[/tex]; dato che i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex] sono tutti ciclici, quei due che cerchi sono necessariamente tra questi ultimi tre, no?
Voglio dire, visto che già sai chi sono [tex]\langle 1 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 5 \rangle[/tex], ti rimangono da calcolare solo [tex]\langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle[/tex] e [tex]\langle 6 \rangle[/tex]; dato che i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex] sono tutti ciclici, quei due che cerchi sono necessariamente tra questi ultimi tre, no?
"xsl":
Relativamente all'argomento, il prof. ci ha fornito il seguente Teorema:
Sia $(G, *)$ un gruppo ciclico. Allora:
i) Tutti i sottogruppi di G sono ciclici
ii) Se G è finito, allora per ogni divisore $k$ positivo di $n=|G|$ vi è uno ed un solo sottogruppo di G di ordine $k$
Domanda: questo teorema esiste solo ed esclusivamente per i gruppi moltiplicativi? Cioè, non c'è una corrispondenza con i gruppi additivi?
Questo teorema vale per qualunque gruppo ciclico, il $\cdot$ indica solo l'operazione di gruppo, che non è necessariamente la moltiplicazione.
Vale che se $(G,\cdot)$ è un gruppo ciclico di ordine $n$ (con $\cdot$ indico ancora una qualunque operazione che rende il supporto di $G$ un gruppo), allora è isomorfo a $(ZZ//nZZ,+)$ (e stavolta con $+$ indico l'usuale somma fra classi di resto)
E poichè i sottogruppi di $ZZ//nZZ$ sono ben conosciuti (in particolare ce n'è uno per ogni ordine bla bla), il tuo teorema è dimostrato (anche se il fatto che i sottogruppi di un ciclico sono ciclici si vede facilmente anche senza passare da $ZZ//nZZ$)
"Gugo82":
Hai considerato la possibilità di fare i conti esplicitamente?
Voglio dire, visto che già sai chi sono [tex]\langle 1 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 5 \rangle[/tex], ti rimangono da calcolare solo [tex]\langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle[/tex] e [tex]\langle 6 \rangle[/tex]; dato che i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex] sono tutti ciclici, quei due che cerchi sono necessariamente tra questi ultimi tre, no?
Nel mio post ti ho già scritto che 2, 3 e 6 sono sicuramente sottogruppi!
La mia domanda è: come posso trovare gli elementi che stanno in <2> ed in <3>?
li calcoli esplicitamente... basta applicare la definizione di gruppo generato da un elemento!
"xsl":
[quote="Gugo82"]Hai considerato la possibilità di fare i conti esplicitamente?
Voglio dire, visto che già sai chi sono [tex]\langle 1 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 5 \rangle[/tex], ti rimangono da calcolare solo [tex]\langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle[/tex] e [tex]\langle 6 \rangle[/tex]; dato che i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex] sono tutti ciclici, quei due che cerchi sono necessariamente tra questi ultimi tre, no?
Nel mio post ti ho già scritto che 2, 3 e 6 sono sicuramente sottogruppi!
La mia domanda è: come posso trovare gli elementi che stanno in <2> ed in <3>?[/quote]
Sono i multipli di 2 e di 3...
"vict85":
[quote="xsl"][quote="Gugo82"]Hai considerato la possibilità di fare i conti esplicitamente?
Voglio dire, visto che già sai chi sono [tex]\langle 1 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 5 \rangle[/tex], ti rimangono da calcolare solo [tex]\langle 2 \rangle, \langle 4 \rangle[/tex] e [tex]\langle 6 \rangle[/tex]; dato che i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex] sono tutti ciclici, quei due che cerchi sono necessariamente tra questi ultimi tre, no?
Nel mio post ti ho già scritto che 2, 3 e 6 sono sicuramente sottogruppi!
La mia domanda è: come posso trovare gli elementi che stanno in <2> ed in <3>?[/quote]
Sono i multipli di 2 e di 3...[/quote]
Guarda che siamo in un gruppo moltiplicativo! Quindi dovrebbero essere le potenze di 2 e di 3!
Allora prendiamo in considerazione 2:
il sottogruppo generato da 2 dovrebbe essere $<2>$$={2^k | k in Z}$
In base al Teorema che vi ho postato questo sottogruppo dovrebbe avere 2 elementi, ma se vado a fare i calcoli, che mi avete suggerito, scopro che non ne ha 2 ma ne ha 3:
${1, 2, 4}$
Quindi su cosa mi baso per calcolare gli elementi contenuti da un sottogruppo di gruppo ciclico?
Ciao.
"xsl":Perché?
il sottogruppo generato da 2 dovrebbe essere $<2>$$={2^k | k in Z}$
In base al Teorema che vi ho postato questo sottogruppo dovrebbe avere 2 elementi
"xsl":
Guarda che siamo in un gruppo moltiplicativo! Quindi dovrebbero essere le potenze di 2 e di 3!
Allora prendiamo in considerazione 2:
il sottogruppo generato da 2 dovrebbe essere $<2>$$={2^k | k in Z}$
In base al Teorema che vi ho postato questo sottogruppo dovrebbe avere 2 elementi, ma se vado a fare i calcoli, che mi avete suggerito, scopro che non ne ha 2 ma ne ha 3:
${1, 2, 4}$
Quindi su cosa mi baso per calcolare gli elementi contenuti da un sottogruppo di gruppo ciclico?
Ma secondo te dico le cose a caso?
Se ti trovi in $ZZ//nZZ$ allora il gruppo è additivo. Se il gruppo è $G$ e $g$ un generatore allora $<2>$ che senso ha? Il sottogruppo sarebbe $
(Nell'esercizio sopra) il gruppo ciclico che ho proposto è (Z*7, $*$) ... l'operazione non è quella dell'addizione!
Gli elementi dei sottogruppi 2 e 3 quali sono? Riuscite a fornirmi una spiegazione esaustiva e chiara?
N.B. Per Z*7 intendo: l'insieme $Z$ dei numeri interi suddiviso in 7 classi e privo dello zero! Z*7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}
Gli elementi dei sottogruppi 2 e 3 quali sono? Riuscite a fornirmi una spiegazione esaustiva e chiara?
N.B. Per Z*7 intendo: l'insieme $Z$ dei numeri interi suddiviso in 7 classi e privo dello zero! Z*7 = {[1], [2], [3], [4], [5], [6]}
In un gruppo come quello si calcolano direttamente usando ciò che si conosce sul gruppo ciclico.
Partiamo dal fatto che ha ordine [tex]6[/tex] e quindi ha un sottogruppo di ordine [tex]3[/tex] e uno di ordine [tex]2[/tex]. Basta cercarli...
Quindi [tex][2]^3 = [8] = [1][/tex] e quindi [tex][4]^3 = [1][/tex]. Proseguendo [tex][3]^2 = [2][/tex]. [tex][3]^3 = [6][/tex]. Quindi [tex]\left<[6]\right>[/tex] è il sottogruppo di ordine [tex]2[/tex]. [tex]\left<[2]\right>[/tex] quello di ordine [tex]3[/tex] e [tex][3][/tex] e [tex][5][/tex] sono generatori.
Partiamo dal fatto che ha ordine [tex]6[/tex] e quindi ha un sottogruppo di ordine [tex]3[/tex] e uno di ordine [tex]2[/tex]. Basta cercarli...
Quindi [tex][2]^3 = [8] = [1][/tex] e quindi [tex][4]^3 = [1][/tex]. Proseguendo [tex][3]^2 = [2][/tex]. [tex][3]^3 = [6][/tex]. Quindi [tex]\left<[6]\right>[/tex] è il sottogruppo di ordine [tex]2[/tex]. [tex]\left<[2]\right>[/tex] quello di ordine [tex]3[/tex] e [tex][3][/tex] e [tex][5][/tex] sono generatori.
Ok! Grazie ancora per la disponibilità!
Ho delle perplessità riguardo i calcoli per trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico anche per colpa del prof! Vi posto il suo procedimento (sempre relativo all'esercizio che vi ho proposto):
La linea di risoluzione del prof. è la seguente (ha utilizzato il teorema postato in precedenza) dopo aver trovato $<3>$ come generatore:
- Per ogni $k$ divisore di $6$ si ha un sottogruppo, quindi:
$k=1; k=2; k=3; k=6$ per ciascuno di questi avremo un solo sottogruppo.
- per il sottogruppo $k=1$ denotato con H1, si ha: $H1={1}$, mentre per il sottogruppo $k=6$ denotato con H4, si ha: H4=Z*7
- $o(3^k) = 6/(MCD(k, 6))=2 -> o(3^k)=2 -> MCD(k, 6)=3$
$3^3=[6]$ quindi denotando con H2 il sottogruppo $k=2$ si ha: $H2={6^0, 6^1}$;
- $o(3^k)=6/(MCD(k, 6)) = 3 -> MCD(k, 6)=2$
$3^2=[2]$
$3^4=[4]$
quindi denotando il sottogruppo $k=3$ con H3 si ha: $H3={1, 3^2, 3^4}$
Tutta questa procedura vi convince?? io ci ho capito poco sinceramente!
Ho delle perplessità riguardo i calcoli per trovare i sottogruppi di un gruppo ciclico anche per colpa del prof! Vi posto il suo procedimento (sempre relativo all'esercizio che vi ho proposto):
La linea di risoluzione del prof. è la seguente (ha utilizzato il teorema postato in precedenza) dopo aver trovato $<3>$ come generatore:
- Per ogni $k$ divisore di $6$ si ha un sottogruppo, quindi:
$k=1; k=2; k=3; k=6$ per ciascuno di questi avremo un solo sottogruppo.
- per il sottogruppo $k=1$ denotato con H1, si ha: $H1={1}$, mentre per il sottogruppo $k=6$ denotato con H4, si ha: H4=Z*7
- $o(3^k) = 6/(MCD(k, 6))=2 -> o(3^k)=2 -> MCD(k, 6)=3$
$3^3=[6]$ quindi denotando con H2 il sottogruppo $k=2$ si ha: $H2={6^0, 6^1}$;
- $o(3^k)=6/(MCD(k, 6)) = 3 -> MCD(k, 6)=2$
$3^2=[2]$
$3^4=[4]$
quindi denotando il sottogruppo $k=3$ con H3 si ha: $H3={1, 3^2, 3^4}$
Tutta questa procedura vi convince?? io ci ho capito poco sinceramente!
La procedura è (ovviamente) giusta, per capirla bene riguardati il mio post precedente sull'isomorfismo fra i gruppi ciclici di ordine $n$ e i gruppi $ZZ//nZZ$, e ricorda che $(ZZ//pZZ) ^*$ (gruppo moltiplicativo formato dagli invertibili di $ZZ//pZZ$), se $p$ è primo, è un gruppo ciclico di ordine $p-1$, quindi è isomorfo a $ZZ//(p-1)ZZ$ (additivo). Ora non dovresti avere problemi a capire la soluzione del prof (se sai come si calcolano gli ordini degli elementi in $ZZ//nZZ$)
P.S. Sapere un pò di teoria non guasterebbe, prima di dire che la colpa è del prof (anche se certe volte può essere vero)
P.S. Sapere un pò di teoria non guasterebbe, prima di dire che la colpa è del prof (anche se certe volte può essere vero)
"xsl":
Nel mio post ti ho già scritto che 2, 3 e 6 sono sicuramente sottogruppi!
Occhio... [tex]k=1,2,3,6[/tex] non sono sottogruppi (che poi non significa nulla, no?).
Casomai [tex]k=1,2,3,6[/tex] sono gli ordini dei sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}_7^\star[/tex].
Per quanto riguarda il resto, ossia determinare esplicitamente i sottogruppi [tex]\langle 2\rangle, \langle 4\rangle, \langle 6\rangle[/tex], è così difficile mettersi a calcolare esplicitamente?
"alvinlee88":
La procedura è (ovviamente) giusta, per capirla bene riguardati il mio post precedente sull'isomorfismo fra i gruppi ciclici di ordine $n$ e i gruppi $ZZ//nZZ$, e ricorda che $(ZZ//pZZ) ^*$ (gruppo moltiplicativo formato dagli invertibili di $ZZ//pZZ$), se $p$ è primo, è un gruppo ciclico di ordine $p-1$, quindi è isomorfo a $ZZ//(p-1)ZZ$ (additivo). Ora non dovresti avere problemi a capire la soluzione del prof (se sai come si calcolano gli ordini degli elementi in $ZZ//nZZ$)
P.S. Sapere un pò di teoria non guasterebbe, prima di dire che la colpa è del prof (anche se certe volte può essere vero)
L'isomorfismo tra gruppi non l'ha nemmeno nominato!
Ragazzi, adesso mi sono rivisto l'esercizio per bene e vi chiedo se le mie osservazioni sono giuste:
nel momento in cui il prof. ha applicato le due formule per calcolare il $k$ di H2 e H3, in alternativa avrei potuto dividere [tex]|Z^*_7|[/tex] per le rispettive cardinalità dei due sottogruppi per ottenere l'elemento $3^k$ generatore per ognuno di essi? (le conosco in quanto me lo dice sempre il teorema che vi ho postato)
Cioè, considero H2 e so (in base al teorema) che la cardinalità è $k=2$, facendo [tex]|Z^*_7| / 2 = 3[/tex] quindi il sottogruppo H2 è generato da $3^3$, quindi:
$H2 = {(3^3)^0, (3^3)^1}={1, 6}$
Stesso discorso per H3: so che ha cardinalità $k=3$, facendo [tex]|Z^*_7| / 3 = 2[/tex] quindi il sottogruppo H3 è generato da $3^2$, quindi:
$H3 = {(3^2)^0, (3^2)^1, (3^2)^2}={1, 2, 4}$
è giusto?
nel momento in cui il prof. ha applicato le due formule per calcolare il $k$ di H2 e H3, in alternativa avrei potuto dividere [tex]|Z^*_7|[/tex] per le rispettive cardinalità dei due sottogruppi per ottenere l'elemento $3^k$ generatore per ognuno di essi? (le conosco in quanto me lo dice sempre il teorema che vi ho postato)
Cioè, considero H2 e so (in base al teorema) che la cardinalità è $k=2$, facendo [tex]|Z^*_7| / 2 = 3[/tex] quindi il sottogruppo H2 è generato da $3^3$, quindi:
$H2 = {(3^3)^0, (3^3)^1}={1, 6}$
Stesso discorso per H3: so che ha cardinalità $k=3$, facendo [tex]|Z^*_7| / 3 = 2[/tex] quindi il sottogruppo H3 è generato da $3^2$, quindi:
$H3 = {(3^2)^0, (3^2)^1, (3^2)^2}={1, 2, 4}$
è giusto?
Si è giusto in questo caso, in realtà il metodo di risoluzione è un pò differente, e richiede appunto quanto ti dicevo sull'isomorfismo. Comunque se non l'hai fatto nessun problema, vedo se riesco a fartelo capire in due parole che non è niente di difficile, e sono convinto che poi tutto ti risulterà più chiaro.
Lo faccio con un esempio, proprio questo: $(ZZ//7ZZ)^{\times}$ è ciclico, e un suo generatore è $3$: $<3> ={3^0=1,3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5}$. E' un gruppo ciclico con $6$ elementi, quindi è come se fosse $ZZ//6ZZ$, additivo. Questo "come se fosse" va inteso nel senso che puoi identificare i due gruppi, e lo fai attraverso una cosa chiamata isomorfismo, che è una funzione fra i due gruppi che rispetta le operazioni e che è bigettiva. Nel nostro caso particolare tale funzione è $f:(ZZ//6ZZ,+)\rightarrow ((ZZ//7ZZ)^{\times},\cdot)$ definita da $f(1)=3$, ossia tale funzione manda un generatore del primo gruppo in un generatore dell'altro. In parole povere, in tal modo associamo agli elementi $i$ di $ZZ//6ZZ$ gli elementi $3^i$ di $(ZZ//7ZZ)^{\times}$, e tale corrispondenza è biunivoca e tale che $f(a+b)=f(a)\cdotf(b)$ (poichè $3^(a+b)=3^a\cdot3^b$ (quest'ultima proprietà la rende un omomorfismo). Un isomorfismo è una bella cosa perchè preserva praticamente tutto, compreso gli ordini degli elementi.
Con questa $f$ puoi quindi trasferire tutti i problemi di un gruppo all'altro, dove è più facile risolverli. Per esempio, se cerchi un elemento di ordine $3$ in $(ZZ//7ZZ)^{\times}$, basta che prendi $f(k)=3^k$, dove $k$ è un elemento di ordine $3$ in $ZZ//6ZZ$. Ci abbiamo guadagnato qualcosa? Si, perchè nei gruppi $ZZ//nZZ$ (additivi) vale quanto segue: l'ordine di un elemento $k$ è $n/{(n,k)}$, dove $(a,b)=M.C.D(a,b)$. Quindi se vuoi trovare un elemento di ordine $3$ in $ZZ//nZZ$ devi imporre che $ord(k)=6/{(6,k)}$ sia uguale a $3$, ovvero che $M.C.D(6,k)$ sia uguale a $2$. Ci sono 2 $k$ che vanno bene, e sono $k=2,4$. Quindi $2$ e $4$ sono elementi di ordine $2$ in $ZZ//6ZZ$, e dunque $3^2$ e $3^4$ sono elementi di ordine $2$ in $(ZZ//7ZZ)^{\times}$. Prendendone uno qualunque, diciamo $3^2$, si ha che $<3^2>$ sarà il gruppo di ordine $3$ cercato. Nota che se avessi scelto $3^4$ avresti ottenuto la stessa cosa, infatti $<3^2> = <3^4>$ (verificalo). Sai dire perchè?
Ora la soluzione del tuo prof dovrebbe essere molto più chiara.
Lo faccio con un esempio, proprio questo: $(ZZ//7ZZ)^{\times}$ è ciclico, e un suo generatore è $3$: $<3> ={3^0=1,3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5}$. E' un gruppo ciclico con $6$ elementi, quindi è come se fosse $ZZ//6ZZ$, additivo. Questo "come se fosse" va inteso nel senso che puoi identificare i due gruppi, e lo fai attraverso una cosa chiamata isomorfismo, che è una funzione fra i due gruppi che rispetta le operazioni e che è bigettiva. Nel nostro caso particolare tale funzione è $f:(ZZ//6ZZ,+)\rightarrow ((ZZ//7ZZ)^{\times},\cdot)$ definita da $f(1)=3$, ossia tale funzione manda un generatore del primo gruppo in un generatore dell'altro. In parole povere, in tal modo associamo agli elementi $i$ di $ZZ//6ZZ$ gli elementi $3^i$ di $(ZZ//7ZZ)^{\times}$, e tale corrispondenza è biunivoca e tale che $f(a+b)=f(a)\cdotf(b)$ (poichè $3^(a+b)=3^a\cdot3^b$ (quest'ultima proprietà la rende un omomorfismo). Un isomorfismo è una bella cosa perchè preserva praticamente tutto, compreso gli ordini degli elementi.
Con questa $f$ puoi quindi trasferire tutti i problemi di un gruppo all'altro, dove è più facile risolverli. Per esempio, se cerchi un elemento di ordine $3$ in $(ZZ//7ZZ)^{\times}$, basta che prendi $f(k)=3^k$, dove $k$ è un elemento di ordine $3$ in $ZZ//6ZZ$. Ci abbiamo guadagnato qualcosa? Si, perchè nei gruppi $ZZ//nZZ$ (additivi) vale quanto segue: l'ordine di un elemento $k$ è $n/{(n,k)}$, dove $(a,b)=M.C.D(a,b)$. Quindi se vuoi trovare un elemento di ordine $3$ in $ZZ//nZZ$ devi imporre che $ord(k)=6/{(6,k)}$ sia uguale a $3$, ovvero che $M.C.D(6,k)$ sia uguale a $2$. Ci sono 2 $k$ che vanno bene, e sono $k=2,4$. Quindi $2$ e $4$ sono elementi di ordine $2$ in $ZZ//6ZZ$, e dunque $3^2$ e $3^4$ sono elementi di ordine $2$ in $(ZZ//7ZZ)^{\times}$. Prendendone uno qualunque, diciamo $3^2$, si ha che $<3^2>$ sarà il gruppo di ordine $3$ cercato. Nota che se avessi scelto $3^4$ avresti ottenuto la stessa cosa, infatti $<3^2> = <3^4>$ (verificalo). Sai dire perchè?
Ora la soluzione del tuo prof dovrebbe essere molto più chiara.
$<3^2> = <3^4>$ perchè è come se avessi $<2> = <4>$ ma questi hanno ordine 3:
$<2> = {2*m | m in Z} = {0, 2, 4} = {4*m | m in Z} = <4>$
in [tex](Z_6, +)[/tex]
$<2> = {2*m | m in Z} = {0, 2, 4} = {4*m | m in Z} = <4>$
in [tex](Z_6, +)[/tex]
"xsl":
$<3^2> = <3^4>$ perchè è come se avessi $<2> = <4>$ ma questi hanno ordine 3:
Fin qui va bene
"xsl":
$<2> = {2*m | m in Z} = {0, 2, 4} = {4*m | m in Z} = <4>$
in [tex](Z_6, +)[/tex]
Da qui sembrerebbe che hai fatto i conti e hai verificato. Ma vediamo se hai capito il perchè : prendi $(ZZ//841ZZ)^{\times}$, ti dico io che è ciclico di ordine $812$ generato da $3$, e come puoi verificare (ovviamente non a mano, ma grazie a quanto ho scritto prima) $3^4=81$ e $3^8=674$ sono due elementi di ordine $203$. Perchè generano lo stesso sottogruppo?
$3^8$ come fa ad essere $758$ in [tex]Z^*_8_4_1[/tex]? Non mi risulta..
"xsl":
$3^8$ come fa ad essere $758$ in [tex]Z^*_8_4_1[/tex]? Non mi risulta..
Si ho sbagliato un conto, ho edidato. Ma ovviamente il punto non è questo...
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