Esercizio gruppo automorfismi
Buongiorno a tutti.
Ho a che fare con il seguente esercizio: "dimostrare che nessun gruppo ciclico non banale di ordine infinito o dispari può essere il gruppo degli automorfismi di un gruppo G".
sono riuscito a dimostrare che il gruppo è abeliano e tutti gli elementi sono di ordine 2. Quindi se G è finito è il prodotto diretto di un numero finito di copie di C2 , ma se è infinito?
Ho a che fare con il seguente esercizio: "dimostrare che nessun gruppo ciclico non banale di ordine infinito o dispari può essere il gruppo degli automorfismi di un gruppo G".
sono riuscito a dimostrare che il gruppo è abeliano e tutti gli elementi sono di ordine 2. Quindi se G è finito è il prodotto diretto di un numero finito di copie di C2 , ma se è infinito?
Risposte
Avendo un pò più di tempo posto il mio tentativo di soluzione:
Sia \(\displaystyle G \) tale che il suo gruppo degli automorfismi è ciclico di ordine non pari (quindi anche di ordine infinito). Allora \(\displaystyle I(G) \simeq G/Z(G) \) , ed essendo i sottogruppi di gruppi ciclici a loro volta ciclici, ne consegue che $G/{Z(G)}$ e ciclico. Questo implica che \(\displaystyle G \) sia abeliano. Essendo \(\displaystyle G \) abeliano, la funzione \(\displaystyle f:G\rightarrow G, f(x)=x^{-1} \) è un automorfismo. Dato che \(\displaystyle f^2 = id \) e i gruppi ciclici infiniti o di ordine dispari non hanno elementi di ordine \(\displaystyle 2 \), ne consegue che \(\displaystyle f=id \) ossia che ogni elemento di \(\displaystyle G \) ha ordine \(\displaystyle 2 \). Si verifica facilmente che \(\displaystyle G \) è uno \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\)-spazio vettoriale tramite l'operazione \(\displaystyle 0\cdot v=0_G , 1\cdot v=v \) (la proprietà in cui conta il fatto che tutti gli elementi abbiano ordine \(\displaystyle 2 \) è la \(\displaystyle (\lambda + \mu)\cdot g = \lambda \cdot g + \mu \cdot g \) nel caso in cui \(\displaystyle \lambda=\mu=1 \) ). Ora, essendo il campo primo, il gruppo degli automorfismi di \(\displaystyle G \) coincide con il gruppo delle trasformazioni lineari di \(\displaystyle G \). Se \(\displaystyle G \) ha dimensione maggiore o uguale a 2, allora esistono applicazioni lineari che non commutano tra loro (ad esempio, se \(\displaystyle u,v \) sono due vettori di base, le \(\displaystyle f,g:G\rightarrow G \) definite da \(\displaystyle f(u)=v , f(v)=u , f(w)=0_G \) per ogni altro vettore \(\displaystyle w \) di base, e \(\displaystyle g(u)=u,g(v)=u+v,g(w)=0_G \) per ogni altro vettore \(\displaystyle w \) di base), e quindi il gruppo degli automorfismi non può essere abeliano. Se \(\displaystyle G \) ha dimensione \(\displaystyle 1 \), allora \(\displaystyle G\simeq C_2 \) e quindi il suo gruppo degli automorfismi è banale. Ne consegue che l'unico gruppo ciclico che sia gruppo degli automorfismi di qualche gruppo è il gruppo banale.
Può andare?
Sia \(\displaystyle G \) tale che il suo gruppo degli automorfismi è ciclico di ordine non pari (quindi anche di ordine infinito). Allora \(\displaystyle I(G) \simeq G/Z(G) \) , ed essendo i sottogruppi di gruppi ciclici a loro volta ciclici, ne consegue che $G/{Z(G)}$ e ciclico. Questo implica che \(\displaystyle G \) sia abeliano. Essendo \(\displaystyle G \) abeliano, la funzione \(\displaystyle f:G\rightarrow G, f(x)=x^{-1} \) è un automorfismo. Dato che \(\displaystyle f^2 = id \) e i gruppi ciclici infiniti o di ordine dispari non hanno elementi di ordine \(\displaystyle 2 \), ne consegue che \(\displaystyle f=id \) ossia che ogni elemento di \(\displaystyle G \) ha ordine \(\displaystyle 2 \). Si verifica facilmente che \(\displaystyle G \) è uno \(\displaystyle \mathbb{Z}_2\)-spazio vettoriale tramite l'operazione \(\displaystyle 0\cdot v=0_G , 1\cdot v=v \) (la proprietà in cui conta il fatto che tutti gli elementi abbiano ordine \(\displaystyle 2 \) è la \(\displaystyle (\lambda + \mu)\cdot g = \lambda \cdot g + \mu \cdot g \) nel caso in cui \(\displaystyle \lambda=\mu=1 \) ). Ora, essendo il campo primo, il gruppo degli automorfismi di \(\displaystyle G \) coincide con il gruppo delle trasformazioni lineari di \(\displaystyle G \). Se \(\displaystyle G \) ha dimensione maggiore o uguale a 2, allora esistono applicazioni lineari che non commutano tra loro (ad esempio, se \(\displaystyle u,v \) sono due vettori di base, le \(\displaystyle f,g:G\rightarrow G \) definite da \(\displaystyle f(u)=v , f(v)=u , f(w)=0_G \) per ogni altro vettore \(\displaystyle w \) di base, e \(\displaystyle g(u)=u,g(v)=u+v,g(w)=0_G \) per ogni altro vettore \(\displaystyle w \) di base), e quindi il gruppo degli automorfismi non può essere abeliano. Se \(\displaystyle G \) ha dimensione \(\displaystyle 1 \), allora \(\displaystyle G\simeq C_2 \) e quindi il suo gruppo degli automorfismi è banale. Ne consegue che l'unico gruppo ciclico che sia gruppo degli automorfismi di qualche gruppo è il gruppo banale.
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