Esercizio gruppi (ordini)
Ciao,
Sto cercando di svolgere questo esercizio.
Si consideri un gruppo $G$ di ordine $63$.
1. Provare che $G$ non è un gruppo semplice, cioè ha sottogruppi normali (non banali).
2. Provare che se d divide 63 allora in $G$ esiste un sottogruppo di ordine d.
3. Provare che il suo centro $Z(G)$ non ha ordine 9.
Per il punto 1. dal teorema di Cauchy sappiamo che esistono dei sottogruppi di ordine 3 e 7 in questo caso, visto che sono dei primi che dividono l'ordine del gruppo. Pertanto $G$ contiene dei sottogruppi non banali ed è pertanto semplice...
Per il punto 2. penso si debba usare il fatto che il gruppo d sarà ciclico. Dal fatto che $d | 63$ segue che $63=d * s$. Considerando il gruppo generato da s allora abbiamo $={ e, a^s, a^2s,...,a^(d-1)s}$ che ha quindi ordine d... Adesso penso di debba dimostrare che questo è sottogruppo di $G$...
E' almeno in parte corretto il mio ragionamento? Sono disperata
EDIT: sostituito centralizzante con centro....
Sto cercando di svolgere questo esercizio.
Si consideri un gruppo $G$ di ordine $63$.
1. Provare che $G$ non è un gruppo semplice, cioè ha sottogruppi normali (non banali).
2. Provare che se d divide 63 allora in $G$ esiste un sottogruppo di ordine d.
3. Provare che il suo centro $Z(G)$ non ha ordine 9.
Per il punto 1. dal teorema di Cauchy sappiamo che esistono dei sottogruppi di ordine 3 e 7 in questo caso, visto che sono dei primi che dividono l'ordine del gruppo. Pertanto $G$ contiene dei sottogruppi non banali ed è pertanto semplice...
Per il punto 2. penso si debba usare il fatto che il gruppo d sarà ciclico. Dal fatto che $d | 63$ segue che $63=d * s$. Considerando il gruppo generato da s allora abbiamo $
E' almeno in parte corretto il mio ragionamento? Sono disperata
EDIT: sostituito centralizzante con centro....
Risposte
Samy si, potrebbero essere 7, ma sono in ogni caso abeliani visto che sono isomorfi a $Z_9$ o $Z_3 xx Z_3$.
Se però il centro ha ordine 9 allora è un 3-sylow ed è normale, visto che è il centro.
Un p-sylow è normale se e solo se è l'unico p-sylow per quell'ordine. Quindi in questo caso risulterebbe esserci un unico 3-sylow.
Dubbi?
Se però il centro ha ordine 9 allora è un 3-sylow ed è normale, visto che è il centro.
Un p-sylow è normale se e solo se è l'unico p-sylow per quell'ordine. Quindi in questo caso risulterebbe esserci un unico 3-sylow.
Dubbi?
Ma il 3-sylow non è normale visto che non ha ordine 1 e da questo segue che l'ordine del centro quindi non è 9. Ho capito bene?
Che intendi dire con "non ha ordine 1"? che non è unico?
Tu non lo sai a priori se i 3-Sylow sono 1 o sono 7, però se il 3-sylow è unico (e questo accade se e solo se è normale) allora G è abeliano (perchè isomorfo al prodotto diretto di abeliani).
Poichè $|Z(G)|=9$ implica che $Z(G)$ è un 3-Sylow
e poichè $Z(G)$ è normale, da questa ipotesi segue che $Z(G)$ è l'unico 3-sylow.
Ma allora il 3-sylow è unico, quindi G è abeliano per quanto detto sopra. Il che contrasta col fatto che il centro fosse un sottogruppo proprio.
Chiaro (questo inutile ragionamento, visto che si poteva direttamente dire come ha detto Mistake
)?
Tu non lo sai a priori se i 3-Sylow sono 1 o sono 7, però se il 3-sylow è unico (e questo accade se e solo se è normale) allora G è abeliano (perchè isomorfo al prodotto diretto di abeliani).
Poichè $|Z(G)|=9$ implica che $Z(G)$ è un 3-Sylow
e poichè $Z(G)$ è normale, da questa ipotesi segue che $Z(G)$ è l'unico 3-sylow.
Ma allora il 3-sylow è unico, quindi G è abeliano per quanto detto sopra. Il che contrasta col fatto che il centro fosse un sottogruppo proprio.
Chiaro (questo inutile ragionamento, visto che si poteva direttamente dire come ha detto Mistake
)?
Ok tutto chiaro... Grazie!
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