Esercizio gruppi (ordini)
Ciao,
Sto cercando di svolgere questo esercizio.
Si consideri un gruppo $G$ di ordine $63$.
1. Provare che $G$ non è un gruppo semplice, cioè ha sottogruppi normali (non banali).
2. Provare che se d divide 63 allora in $G$ esiste un sottogruppo di ordine d.
3. Provare che il suo centro $Z(G)$ non ha ordine 9.
Per il punto 1. dal teorema di Cauchy sappiamo che esistono dei sottogruppi di ordine 3 e 7 in questo caso, visto che sono dei primi che dividono l'ordine del gruppo. Pertanto $G$ contiene dei sottogruppi non banali ed è pertanto semplice...
Per il punto 2. penso si debba usare il fatto che il gruppo d sarà ciclico. Dal fatto che $d | 63$ segue che $63=d * s$. Considerando il gruppo generato da s allora abbiamo $={ e, a^s, a^2s,...,a^(d-1)s}$ che ha quindi ordine d... Adesso penso di debba dimostrare che questo è sottogruppo di $G$...
E' almeno in parte corretto il mio ragionamento? Sono disperata
EDIT: sostituito centralizzante con centro....
Sto cercando di svolgere questo esercizio.
Si consideri un gruppo $G$ di ordine $63$.
1. Provare che $G$ non è un gruppo semplice, cioè ha sottogruppi normali (non banali).
2. Provare che se d divide 63 allora in $G$ esiste un sottogruppo di ordine d.
3. Provare che il suo centro $Z(G)$ non ha ordine 9.
Per il punto 1. dal teorema di Cauchy sappiamo che esistono dei sottogruppi di ordine 3 e 7 in questo caso, visto che sono dei primi che dividono l'ordine del gruppo. Pertanto $G$ contiene dei sottogruppi non banali ed è pertanto semplice...
Per il punto 2. penso si debba usare il fatto che il gruppo d sarà ciclico. Dal fatto che $d | 63$ segue che $63=d * s$. Considerando il gruppo generato da s allora abbiamo $
E' almeno in parte corretto il mio ragionamento? Sono disperata
EDIT: sostituito centralizzante con centro....
Risposte
Ciao, per il Teorema di Cauchy, sappiamo che esistono elementi di ordine $3$ e $7$.
Quello che devi verificare è che esiste almeno un sottogruppo normale non banale. Magari potresti usare il Teorema di Sylow.
Quello che devi verificare è che esiste almeno un sottogruppo normale non banale. Magari potresti usare il Teorema di Sylow.
Mmm per il primo punto c'è già un errore. Ti si chiede che i sottogruppi che esistono siano normali, cioè unici.
Hai provato ad usare Sylow?
Poi passiamo agli altri punti, anche perché per il secondo devo limare la mia risoluzione.
Ah, non è che al terzo punto ti si richieda che il centro (e non il centralizzante) abbia ordine 9? Anche centralizzante di chi?
Hai provato ad usare Sylow?
Poi passiamo agli altri punti, anche perché per il secondo devo limare la mia risoluzione.
Ah, non è che al terzo punto ti si richieda che il centro (e non il centralizzante) abbia ordine 9? Anche centralizzante di chi?
Si scusate, avete ragione.. Non avevo capito completamente la traccia dell'esercizio.
1. Considerando che $O(G)=63=3^2 * 7$ allora sappiamo per il 1° teorema di Sylow che esiste un 3-sottogruppo di Sylow. Adesso bisogna stabilire il numero $r_p$ di 3-sottogruppi di sylow. Ricordando che $r_p$ deve dividere l'ordine di G, ossia 63, le possibilità sono $1,7$. Ma $7$ non dà resto 1 nella divisione per $3$ quindi c'è un solo 3-sottogruppo di Sylow che risulta quindi essere normale.
2. Non so quì come procedere...
3.
Si in effetti chiede il centro, non ho capito per quale motivo ho scritto centralizzante
... Comunque chiede di provare che il centro NON abbia ordine 9...
Grazie a tutti.
1. Considerando che $O(G)=63=3^2 * 7$ allora sappiamo per il 1° teorema di Sylow che esiste un 3-sottogruppo di Sylow. Adesso bisogna stabilire il numero $r_p$ di 3-sottogruppi di sylow. Ricordando che $r_p$ deve dividere l'ordine di G, ossia 63, le possibilità sono $1,7$. Ma $7$ non dà resto 1 nella divisione per $3$ quindi c'è un solo 3-sottogruppo di Sylow che risulta quindi essere normale.
2. Non so quì come procedere...
3.
Ah, non è che al terzo punto ti si richieda che il centro (e non il centralizzante) abbia ordine 9? Anche centralizzante di chi?
Si in effetti chiede il centro, non ho capito per quale motivo ho scritto centralizzante
... Comunque chiede di provare che il centro NON abbia ordine 9... Grazie a tutti.
Il punto 2) è molto semplice, alla fine i divisori di 63 sono pochi, e per due di questi hai già fatto vedere che il sottogruppo di quell'ordine c'è.
Per il punto 3) prova a vedere come è fatto G, nel senso di come è possibile decomporlo.
Per il punto 3) prova a vedere come è fatto G, nel senso di come è possibile decomporlo.
Mmm perchè $7$ nella divisione per $3$ non dà resto 1? $7=3*2+1$ quindi direi che non puoi escludere nulla.
Io guarderei al numero dei $7$-sylow.
Quanto al punto due, come suggerito, considera che un divisore generico $d$ deve essere della forma $3^i7^j$ ove $i=0,1,2$ e $j=0,1$. I casi banali puoi facilmente escluderli. Dove nei casi banali indico anche $d=9$ e $d=7$ che per Sylow sappiamo esistere. Quindi in definitiva rimangono $2$ casi che puoi sbrigare facilmente. Devi stare attenta solo a ricordarti una cosa. Quando $HK$ è un sottogruppo?
Per il punto 3 io considererei il quoziente $G//Z(G)$ e vedi un po' com'è fatto questo gruppo?
Io guarderei al numero dei $7$-sylow.
Quanto al punto due, come suggerito, considera che un divisore generico $d$ deve essere della forma $3^i7^j$ ove $i=0,1,2$ e $j=0,1$. I casi banali puoi facilmente escluderli. Dove nei casi banali indico anche $d=9$ e $d=7$ che per Sylow sappiamo esistere. Quindi in definitiva rimangono $2$ casi che puoi sbrigare facilmente. Devi stare attenta solo a ricordarti una cosa. Quando $HK$ è un sottogruppo?
Per il punto 3 io considererei il quoziente $G//Z(G)$ e vedi un po' com'è fatto questo gruppo?
1. Hai pienamente ragione mistake89. In effetti per provare che $G$ è un sottogruppo non semplice bisogna guardare al numero $r_7$ di $7$-sottogruppi di Sylow e facendo lo stesso discorso di prima, si ottiene $r_7=1$ quindi è normale.
2. Il caso di $d=3^0*7^0$ si può escludere visto che per definizione il sottogruppo di un gruppo non può essere un sottoinsieme vuoto di $G$. Allora l'unico caso che mi rimane da analizzare, tolti quelli banali e quelli già visti con Sylow, è per $d=3*7=21$. Per dimostrare che esso è sottogruppo allora dovremmo prendere due elementi di $S$, con $S sube G$ e mostrare che il prodotto di questi due elementi è ancora in $S$. Però onestamente non saprei come prendere questi elementi, penso si debba fare un discorso generico e non specifico, con moltiplicazione etc, anche perchè a parte il fatto che $O(S)=21$ non sò nient'altro.
3. Beh considerando che $Z(G)$ è l'insieme degli elementi di $G$ che commutano tra loro, mi verrebbe da dire che $G//Z(G)$ non è abeliano.. Però non capisco come questo mi possa aiutare a dimostrare che $O(Z(G))!=9$
Grazie ancora per la disponibilità
2. Il caso di $d=3^0*7^0$ si può escludere visto che per definizione il sottogruppo di un gruppo non può essere un sottoinsieme vuoto di $G$. Allora l'unico caso che mi rimane da analizzare, tolti quelli banali e quelli già visti con Sylow, è per $d=3*7=21$. Per dimostrare che esso è sottogruppo allora dovremmo prendere due elementi di $S$, con $S sube G$ e mostrare che il prodotto di questi due elementi è ancora in $S$. Però onestamente non saprei come prendere questi elementi, penso si debba fare un discorso generico e non specifico, con moltiplicazione etc, anche perchè a parte il fatto che $O(S)=21$ non sò nient'altro.
3. Beh considerando che $Z(G)$ è l'insieme degli elementi di $G$ che commutano tra loro, mi verrebbe da dire che $G//Z(G)$ non è abeliano.. Però non capisco come questo mi possa aiutare a dimostrare che $O(Z(G))!=9$
Grazie ancora per la disponibilità
Al punto 2) $7^0 3^0 =1$ questo sottogruppo è il sottogruppo banale, non l'insieme vuoto.
I p-sylow che ci sono hanno ordine 9 e ordine 7. Quindi ti mancano da verificare gli ordini 3 e 21. Comincia dal 3 e usalo per provare il caso 21.
I 3-sylow hanno ordine 9.. quindi come possono essere fatti?
Al punto 3) fai un tentativo per assurdo, supponendo che il centro abbia ordine 9.
questo sottogruppo è il sottogruppo banale, non l'insieme vuoto.I p-sylow che ci sono hanno ordine 9 e ordine 7. Quindi ti mancano da verificare gli ordini 3 e 21. Comincia dal 3 e usalo per provare il caso 21.
I 3-sylow hanno ordine 9.. quindi come possono essere fatti?
Al punto 3) fai un tentativo per assurdo, supponendo che il centro abbia ordine 9.
Non ho speranze!! 
Comunque, non vorrei dire corbellerie ma il fatto che esista un sottogruppo di ordine 3 ci viene detto dal Teorema di Cauchy, dato che 3 è un primo che divide $O(G)$... Giusto?
Comunque, non vorrei dire corbellerie ma il fatto che esista un sottogruppo di ordine 3 ci viene detto dal Teorema di Cauchy, dato che 3 è un primo che divide $O(G)$... Giusto?
Si. Ma può esserti d'aiuto farti qualche domanda su "chi è", cioè chi può/possono essere sti gruppi di ordine 3..
Intendo dire.. non usare solo Cauchy "in astratto" per ricavare la conclusione che il gruppo di ordine 3 c'è.
Sporcati le mani
Intendo dire.. non usare solo Cauchy "in astratto" per ricavare la conclusione che il gruppo di ordine 3 c'è.
Sporcati le mani
Penso sia il sottogruppo generato dall'elemento $g$ , con $g sube G$. Cioè, chiamato $S$ questo sottogruppo, allora avremmo che $S= { e, g, g^2}$.. E' così?
Scusami se è un ulteriore cavolata, ma onestamente sono nel pallone... Credo di non sapere più nemmeno come mi chiamo
Scusami se è un ulteriore cavolata, ma onestamente sono nel pallone... Credo di non sapere più nemmeno come mi chiamo
Io ragionerei in astratto, credo sia più semplice. Se infatti esiste un sottogruppo $H$ di ordine $3$, e ciò è vero per cauchy, ed essendo il $7$-sylow $K$ normale si ha che $HK$ è un sottogruppo. Di ordine esattamente $21$
Si, chiaro. Le consigliavo di sporcarsi le mani per dedurne che comunque sia un sottogruppo di ordine 3 sta dentro un 3-sylow per forza.
Manca il punto 3) Samy.. prova a ragionare per assurdo. Almeno, io lo farei così.
E chiediti come può essere fatto un 3-sylow.
Manca il punto 3) Samy.. prova a ragionare per assurdo. Almeno, io lo farei così.
E chiediti come può essere fatto un 3-sylow.
Sìsì certamente. Ma non volevo contraddirti (anche perché sei molto più avanti di me) ma solo suggerire un modo più lineare di procedere.
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto che mi state dando 
Perfetto!! Pensavo proprio di fare così, però non lo avrei mai detto così bene
Per il punto 3. Supponiamo per assurdo che $O(Z(G))=9$. Per definizione di centro si sa che è $Z(G)={x in G | gx=xg, AA g in G}$ ossia il sottogruppo che contiene tutti gli elementi che commutano con ogni elemento di $G$. Adesso però non so come andare avanti.. Cioè penso che possa c'entrare qualcosa l'aver visto all'inizio che i $3$-sottogruppi di Sylow sono in numero $7$ e quindi questi non essendo normali non sono abeliani...
Come ho detto sopra un $3$- Sylow non è abeliano quindi stiamo dicendo che il centro del gruppo (che per definizione è abeliano) ha ordine $3^2$...
"mistake89":
Se infatti esiste un sottogruppo $H$ di ordine $3$, e ciò è vero per cauchy, ed essendo il $7$-sylow $K$ normale si ha che $HK$ è un sottogruppo. Di ordine esattamente $21$
Perfetto!! Pensavo proprio di fare così, però non lo avrei mai detto così bene
Per il punto 3. Supponiamo per assurdo che $O(Z(G))=9$. Per definizione di centro si sa che è $Z(G)={x in G | gx=xg, AA g in G}$ ossia il sottogruppo che contiene tutti gli elementi che commutano con ogni elemento di $G$. Adesso però non so come andare avanti.. Cioè penso che possa c'entrare qualcosa l'aver visto all'inizio che i $3$-sottogruppi di Sylow sono in numero $7$ e quindi questi non essendo normali non sono abeliani...
E chiediti come può essere fatto un 3-sylow
Come ho detto sopra un $3$- Sylow non è abeliano quindi stiamo dicendo che il centro del gruppo (che per definizione è abeliano) ha ordine $3^2$...
Se $G//Z(G)$ è ciclico (e cioè è vero perchè ha ordine 7) allora $G$ è abeliano, ma se $G$ è abeliano allora $Z(G)=G$. E questo non è possibile.
Per questo il centro di un gruppo non può avere indice primo.
Per questo il centro di un gruppo non può avere indice primo.
Ok.... Grazie!
Samy attenta, i 3-sylow hanno ordine 9, quindi o sono isomorfi a $Z_9$ oppure a $Z_3 xx Z_3$, quindi sono in ogni caso abeliani.
La strada che ha preso Mistake mi pare molto più breve e pulita di quella verso la quale ti stavo portando io (che non avevo in mente la caratterizzazione sul quoziente $G/ (Z(G))$.
In ogni caso la scrivo lo stesso, giusto per completezza:
Se il centro ha ordine 9 allora si tratta di un $3-sylow$. Ma il centro è normale in G, quindi risulterebbe normale anche (a questo punto l'unico) il 3-sylow. Quindi G ha un sottogruppo normale di ordine 9 e un sottogruppo normale di ordine 7, con intersezione vuota (per via degli ordini degli elementi) ed entrambi abeliani.
Il loro prodotto (diretto) è ancora abeliano, e coincide con tutto G perchè ha ordine 63.
Ma allora G sarebbe tutto abeliano, contro l'ipotesi che il centro avesse ordine 9 (alla fine la contraddizione a cui si giunge è la stessa in entrambi i modi).
@Mistake: non mi sono sentita contraddetta prima mi fa anzi molto piacere dirti che leggo spesso i tuoi post e che a mio parere sei molto bravo.
La strada che ha preso Mistake mi pare molto più breve e pulita di quella verso la quale ti stavo portando io (che non avevo in mente la caratterizzazione sul quoziente $G/ (Z(G))$.
In ogni caso la scrivo lo stesso, giusto per completezza:
Se il centro ha ordine 9 allora si tratta di un $3-sylow$. Ma il centro è normale in G, quindi risulterebbe normale anche (a questo punto l'unico) il 3-sylow. Quindi G ha un sottogruppo normale di ordine 9 e un sottogruppo normale di ordine 7, con intersezione vuota (per via degli ordini degli elementi) ed entrambi abeliani.
Il loro prodotto (diretto) è ancora abeliano, e coincide con tutto G perchè ha ordine 63.
Ma allora G sarebbe tutto abeliano, contro l'ipotesi che il centro avesse ordine 9 (alla fine la contraddizione a cui si giunge è la stessa in entrambi i modi).
@Mistake: non mi sono sentita contraddetta prima
mi fa anzi molto piacere dirti che leggo spesso i tuoi post e che a mio parere sei molto bravo.
"claudiamatica":
Samy attenta, i 3-sylow hanno ordine 9, quindi o sono isomorfi a $Z_9$ oppure a $Z_3 xx Z_3$, quindi sono in ogni caso abeliani.
Non ho capito... Non abbiamo detto all'inizio che potevano essere in numero 7?
Grazie x la pazienza davvero
"claudiamatica":
@Mistake: non mi sono sentita contraddetta prima
Ti ringrazio
In realtà risolvere esercizi con strumenti semplici ( o per meglio dire adeguati) è una bella qualità.
"mistake89":
In realtà risolvere esercizi con strumenti semplici ( o per meglio dire adeguati) è una bella qualità.
Già... Oltre questo essere chiari nel far capire lo strumento utilizzato è un'ulteriore qualità
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo