Esercizio gruppi e sottogruppi

[Lorenz548]

Mostrare che un gruppo $G$ non è l'unione di 2 sottogruppi propri $H_1$, $H_2$ $sub$ $G$. Può essere l'unione di 3 sottogruppi propri?

Per la prima domanda ho pensato:
Per il teorema di Lagrange (l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo)
Se $|G|=n$ deve essere almeno $|H_1|=|H_2| = n/2$ e $H_1 nnn H_2$ = $\varphi$
ma questo non è possibile perchè il neutro $e in H_1 nnn H_2$

E' corretto quello che ho scritto? Per la seconda domanda invece non saprei dire. Grazie.

[Gatto891]

La prima parte dovrebbe essere giusta per i gruppi finiti, però non so se puoi estenderla anche ai gruppi infiniti... io avrei dimostrato che se $H_1, H_2$ sono due sottogruppi, allora $H_1 uu H_2$ è un sottogruppo se e solo se $H_1 \sube H_2$ o viceversa da cui segue la tua tesi.

[cirasa]

In merito alla seconda domanda, la risposta è sì, è possibile. Per esempio, $(ZZ_2\times ZZ_2,+)$ è unione di $H_1=<(1,0)>$, $H_2=<(0,1)>$ e $H_3=<(1,1)>$.

Edit: Volevo farti notare che la traccia non richiede che i due sottogruppi siano disgiunti, quindi la tua dimostrazione non va bene, in quanto non è detto che $H_1\cap H_2=\emptyset$.

[Lorenz548]

"Gatto89": io avrei dimostrato che se $H_1, H_2$ sono due sottogruppi, allora $H_1 uu H_2$ è un sottogruppo se e solo se $H_1 \sube H_2$ o viceversa da cui segue la tua tesi.

Grazie del consiglio, in effetti così la dimostrazione è molto più bella e generale.

[Martino]

"Lorenz548":Mostrare che un gruppo $G$ non è l'unione di 2 sottogruppi propri $H_1$, $H_2$ $sub$ $G$. Può essere l'unione di 3 sottogruppi propri?

Buffo nella mia tesi di laurea mi sono occupato di classificare i gruppi che possono scriversi come unione di $n$ sottogruppi propri, per $n$ da $3$ a $25$

In realtà questa tua domanda è il punto di partenza. Esiste il seguente teorema:

Teorema (Scorza, 1926): un gruppo $G$ è unione di tre sottogruppi propri se e solo se ammette $ZZ_2 xx ZZ_2$ come immagine omomorfa.

In generale chiamando $sigma(G)$ il minimo numero di sottogruppi propri che occorrono per ricoprire (insiemisticamente) $G$ si può dimostrare che a meno di passare ad immagini omomorfe, c'è solo un numero finito di gruppi $G$ con $sigma(G)$ fissata. Per esempio nel caso di $3$ c'è solo $ZZ_2 xx ZZ_2$. Il primo numero (maggiore di $2$) diverso da $sigma(G)$ per ogni gruppo $G$ è $7$.

[Gatto891]

"cirasa":
Edit: Volevo farti notare che la traccia non richiede che i due sottogruppi siano disgiunti, quindi la tua dimostrazione non va bene, in quanto non è detto che $H_1\cap H_2=\emptyset$.

Però se $H_1 nn H_2 != \emptyset$ allora $|H_1 uu H_2| < n$ e quindi non può essere uguale a $G$.