Esercizio di algebra
BUON GIORNO vorrei un aiuto a svolgere questo esercizio di algebra.
ESERCIZIO: R anello prodotto diretto AxB con A e B anelli commutativi unitari non nulli. Provare che:
- se $car(A)=0$ oppure $car (B)=0$ allora $car(R)=0$
- se $car(A)!=0!=car(B)$ allora $car(R)=mcm(car(A),car(B))$
grazie mille a chiunque scriverà una risposta.......
ESERCIZIO: R anello prodotto diretto AxB con A e B anelli commutativi unitari non nulli. Provare che:
- se $car(A)=0$ oppure $car (B)=0$ allora $car(R)=0$
- se $car(A)!=0!=car(B)$ allora $car(R)=mcm(car(A),car(B))$
grazie mille a chiunque scriverà una risposta.......
Risposte
Questo esercizio si risolve essenzialmente sapendo le definizioni.
$Car(R)=0$ se $n(a,b)=0$ implica $n=0$. Ma infatti se $n(a,b)=0$ si ha che $na=0$ e $nb=0$, e per le ipotesi fatte una di queste
due relazioni implica $n=0$.
La caratteristica di un dominio di integrità $R$ è l'intero $n$ tale che $nZZ$ sia il nucleo dell'omomorfismo di anelli $f:ZZ \rightarrow R$ definito da $f(1)=1_A$.
Nel caso $R=A \times B$, con $Car(A)=n$ e $Car(B)=m$,l'omomorfismo è $f(1)=(1_A,1_B)$, e il suo nucleo è dato dagli $x\inZZ$ tali che $f(x)=0_A=(0,0)$, ovvero $x \in nZZ \cap mZZ=mcm(n,m)ZZ$
$Car(R)=0$ se $n(a,b)=0$ implica $n=0$. Ma infatti se $n(a,b)=0$ si ha che $na=0$ e $nb=0$, e per le ipotesi fatte una di queste
due relazioni implica $n=0$.
La caratteristica di un dominio di integrità $R$ è l'intero $n$ tale che $nZZ$ sia il nucleo dell'omomorfismo di anelli $f:ZZ \rightarrow R$ definito da $f(1)=1_A$.
Nel caso $R=A \times B$, con $Car(A)=n$ e $Car(B)=m$,l'omomorfismo è $f(1)=(1_A,1_B)$, e il suo nucleo è dato dagli $x\inZZ$ tali che $f(x)=0_A=(0,0)$, ovvero $x \in nZZ \cap mZZ=mcm(n,m)ZZ$
grazie per avermi risposto, anche io avevo pensato di applicare le definizioni ma non ne ero molto sicura... cmq grazie ancora...
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