Esercizio di Alg.2 sui gruppi

[serafila]

Salve a tutti, mi controllate che ho svolto il seguente esercizio correttamente?

Sia p un numero primo e G un p-gruppo finito, ovvero |G| = p^n, con n > 0. Si dimostri
che il centro di G non è banale, ovvero Z(G) diverso da {e}.

In generale il centro di un gruppo T è Z(T)={t in T | tx=xt per ogni x in T}
In questo caso: Z(G)={g in G | gx=xg per ogni x in G}={p^n in G per qualche n | p^n*p^m=p^m*p^n per ogni p^m in G}=
={p^n in G per qualche n | p^(n+m)=p^(m+n) per ogni p^m in G}=
={p^n in G per qualche n} diverso {e}

Altri modi di risolverlo? Consigli, suggerimenti?

[Studente Anonimo]

In base a cosa scrivi gli elementi di G nella forma [tex]p^n[/tex]?

E' un risultato classico, l'idea per dimostrarlo è questa: G è l'unione disgiunta delle sue classi di coniugio,

[tex]G = C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_k[/tex] (unione disgiunta),

e se fosse [tex]Z(G) = \{1\}[/tex], diciamo [tex]C_1 = Z(G) = \{1\}[/tex], allora [tex]|C_i| > 1[/tex] per ogni [tex]i > 1[/tex] e quindi siccome la classe di coniugio di un elemento [tex]x \in G[/tex] ha tanti elementi quant'e' l'indice del centralizzante di [tex]x[/tex] in [tex]G[/tex], che divide [tex]|G|=p^n[/tex] ed e' uguale a 1 se e solo se [tex]x \in Z(G)[/tex], [tex]p[/tex] divide [tex]|C_i|[/tex] per ogni [tex]i > 1[/tex] e quindi esisterebbe un intero [tex]m > 0[/tex] tale che [tex]|G| = 1+pm[/tex], il che contraddice il fatto che [tex]p[/tex] divide [tex]|G|[/tex]. Vedi anche qui.