Esercizio coniugati non riesco a risolvere

[daniele_cia]

Salve a tutti, ho il seguente esercizio di algebra " Quanti sono gli elementi coniugati a (123)(45678) in S8 ? "

Ragionamento: come in ogni altro esercizio sui coniugati vado ad esaminare le permutazioni contandole:
(123) = $ ( ( 8 ),( 3 ) ) $
(45678) = 5 !
n. coniugati = $ ( ( 8 ),( 3 ) ) $ * 5! * 2! = 13440

nella soluzione del professore invece di 5! scrive 4! e proprio non capisco il perchè . Potreste cortesemente spiegarmelo?

[Lorenzo Morandi]

Se hai un insieme di $n$ elementi distinti e vuoi contare quanti cicli di lunghezza $n$ ci sono, devi fare $\frac{n!}{n}=(n-1)!$. Infatti conti quante permutazioni puoi fare degli elementi, ma devi fare attenzione che alcune rappresentano lo stesso ciclo, ad esempio $(1,2,3)=(2,3,1)=(3,1,2)$. Dal momento che "ruotando" gli elementi il ciclo rimane lo stesso, basta dividere per il numero di "rotazioni", che è semplicemente $n$. Per lo stesso motivo nella formula che hai scritto c'è anche un $2!$, che deriva proprio dai possibili cicli con le cifre $1,2,3$: $(1,2,3)$ e $(1,3,2)$.