Esercizio classi equivalenza.

[_GaS_11]

Perdonate la banalità, ma per me le classi di equivalenza sono qualcosa di nuovo, pertanto voglio essere soltanto sicuro di quello che ho svolto.
Assegnato un numero reale $T>0$ si consideri sulla retta reale la seguente relazione tra $x$ e $y$: esiste un $kinZZ$ tale che $x-y=kT$. Si dimostri che è una relazione d'equivalenza.
Quali sono le funzioni reali che assumono valore costante in ciascuna classe d'equivalenza?
SOLUZIONE.
Inizialmente si tratta di verificare le tre proprietà.
- Riflessiva: $x-x=kT=0=>k=0inZZ$. Ok.
- Simmetrica: $x-y=kT;y-x=-kT=>-kinZZ$ Ok.
- Transitiva: Sia $zinRR:z-y=k'T;k'inZZ$. $y=z-k'T=>x+k'T-z=kT=>x-z=(k-k')T;(k-k')inZZ$. Ok.
La relazione è d'equivalenza.
$y=x-kT$. Per ogni classe d'equivalenza la funzione è una retta parallela a $y=x$. Questa è la funzione che soddisfa il requisito.

[Frink1]

Per la relazione tutto giusto. Sulla funzione non mi esprimo, non avevo mai sentito una domanda del genere

[_GaS_11]

Grazie.
Sull'ultima più avanti riprovo.

[_GaS_11]

Ripensandoci sarebbe meglio individuare le classi d'equivalenza.
Esempio ( tutte le definizioni sono nel primo post ): $T=pi;x=1=>[1]={1+kpi,kinZZ}$. Quindi $2notin[1]$, ma $[2]={2+kpi,kinZZ}$. Quindi per ogni $rinRR$ la funzione reale che assume valore costante in ciascuna classe d'equivalenza è la retta passante per $rinRR$, parallela all'asse $y$: $x=r$.
Dovrebbe proprio essere questo.