Esercizio: anelli commutativi e/o campi
Salve!
Cerco aiuto su come impostare le dimostrazioni nel seguente esercizio.
Esercizio:
Data la matrice $A = ((1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$
a) provare che l'insieme $X = {U,A,A^2,A^3}$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione matriciale
Nota: con $X$ si intende la matrice unitaria $4 x 4$.
b) Provare che $S = {aU + bA + cA^2 + dA^3 | a,b,c,d in RR}$ è un sottoanello commutativo di $M_4(RR)$ . Stabilire inoltre se si tratti di un campo o meno.
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Per il punto b) ho qualche idea, tipo dimostrare che sono inclusi gli elementi neutri per moltiplicazione ed addizione e verificarne la rispettiva stabilità per controllare che sia un sottoanello; verificare se ogni elemento ammette inverso per sapere se si tratta di un campo o meno.
La dimostrazione per il punto a) che mi viene in mente mi sembra molto ovvia (nonché sbagliata immagino).
Qualcuno mi da una spintarella nella giusta direzione?
Cerco aiuto su come impostare le dimostrazioni nel seguente esercizio.
Esercizio:
Data la matrice $A = ((1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$
a) provare che l'insieme $X = {U,A,A^2,A^3}$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione matriciale
Nota: con $X$ si intende la matrice unitaria $4 x 4$.
b) Provare che $S = {aU + bA + cA^2 + dA^3 | a,b,c,d in RR}$ è un sottoanello commutativo di $M_4(RR)$ . Stabilire inoltre se si tratti di un campo o meno.
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Per il punto b) ho qualche idea, tipo dimostrare che sono inclusi gli elementi neutri per moltiplicazione ed addizione e verificarne la rispettiva stabilità per controllare che sia un sottoanello; verificare se ogni elemento ammette inverso per sapere se si tratta di un campo o meno.
La dimostrazione per il punto a) che mi viene in mente mi sembra molto ovvia (nonché sbagliata immagino).
Qualcuno mi da una spintarella nella giusta direzione?
Risposte
"Whispers":
Nota: con $X$ si intende la matrice unitaria $4 x 4$.
Intendi dire $U$?
Per il punto a) c'è poco da fare se non un po' di conti. Si tratta sostanzialmente di provare che \(A^4\, A^5, A^6\) coincidono con qualcuna tra le quattro matrici seguenti:
\[U, A, A^2, A^3.\]
Comincia con \(A^4\).
\[U, A, A^2, A^3.\]
Comincia con \(A^4\).
Esattamente!
Sìsì intendevo $U$ come matrice unitaria 
Per il punto b) invece mi passate la mia idea?
Conosci il criterio del sottoanello? Invece di utilizzare direttamente la definizione di sottoanello puoi limitarti a questo utile risultato:
Proposizione. Siano \(A\) un anello e \(B\subseteq A\) un suo sottoinsieme. Allora \(B\leq A\), ossia \(B\) è un sottoanello di \(A\) se e soltanto se
i) \(1_A\in B\);
ii) \(\forall x,y\in B\,\,\,\, x-y,x\cdot y \in B\).
La dimostrazione è molto semplice e te la lascio.
Proposizione. Siano \(A\) un anello e \(B\subseteq A\) un suo sottoinsieme. Allora \(B\leq A\), ossia \(B\) è un sottoanello di \(A\) se e soltanto se
i) \(1_A\in B\);
ii) \(\forall x,y\in B\,\,\,\, x-y,x\cdot y \in B\).
La dimostrazione è molto semplice e te la lascio.
Grazie Mille :]
"Whispers":
Sìsì intendevo $U$ come matrice unitaria
Secondo me è meglio dire "matrice identica". Le matrici unitarie sono un'altra cosa.
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